Двойной конус и полярный конус - Dual cone and polar cone

Множество C и его двойной конус C^*.

Множество C и его полярный конус C^о. Двойственный конус и полярный конус симметричны друг другу относительно начала координат.

Двойной конус и полярный конус тесно связанные концепции в выпуклый анализ, филиал математика.

Двойной конус

В векторном пространстве

В двойной конус C^* из подмножество C в линейное пространство Икс над реалы, например Евклидово пространство р^п, с двойное пространство Икс^* это набор

${displaystyle C ^ {*} = left {yin X ^ {*}: langle y, xangle geq 0quad forall xin Cight},}$

куда ${displaystyle langle y, xangle}$ это соединение дуальности между Икс и Икс^*, т.е. ${displaystyle langle y, xangle = y (x)}$.

C^* всегда выпуклый конус, даже если C ни то, ни другое выпуклый ни конус.

В топологическом векторном пространстве

Если Икс это топологическое векторное пространство над действительными или комплексными числами, то двойной конус подмножества C ⊆ Икс - следующий набор непрерывных линейных функционалов на Икс:

${displaystyle C ^ {prime}: = left {fin X ^ {prime}: operatorname {Re} left (f (x) ight) geq 0 {ext {для всех}} xin Cight}}$,^[1]

какой полярный комплекта -C.^[1] Не важно что C является, ${displaystyle C ^ {prime}}$ будет выпуклым конусом. Если C ⊆ {0} тогда ${displaystyle C ^ {prime} = X ^ {prime}}$.

В гильбертовом пространстве (внутренний двойственный конус)

С другой стороны, многие авторы определяют дуальный конус в контексте реального Гильбертово пространство (Такие как р^п снабженный внутренним евклидовым произведением), чтобы быть тем, что иногда называют внутренний двойной конус.

${displaystyle C_ {ext {internal}} ^ {*}: = left {yin X: langle y, xangle geq 0quad forall xin Cight}.}$

Используя это последнее определение для C^*, у нас это когда C является конусом, выполняются следующие свойства:^[2]

• Ненулевой вектор у в C^* тогда и только тогда, когда выполняются оба следующих условия:

1. у это нормальный в начале гиперплоскость который поддерживает C.
2. у и C лежать по одну сторону от поддерживающей гиперплоскости.

• C^* является закрыто и выпуклый.
• ${displaystyle C_ {1} subteq C_ {2}}$ подразумевает ${displaystyle C_ {2} ^ {*} подэтап C_ {1} ^ {*}}$.
• Если C непустой интерьер, то C^* является заостренный, т.е. C * не содержит строки целиком.
• Если C конус и замыкание C указывает, то C^* непустой интерьер.
• C^** является замыканием наименьшего выпуклого конуса, содержащего C (следствие теорема об отделении гиперплоскостей )

Самодвойные конусы

Конус C в векторном пространстве Икс как говорят самодвойственный если Икс может быть оснащен внутренний продукт ⟨⋅, ⋅⟩ такие, что внутренний двойственный конус относительно этого внутреннего произведения равен C.^[3] Те авторы, которые определяют двойственный конус как внутренний двойственный конус в реальном гильбертовом пространстве, обычно говорят, что конус самодвойственный, если он равен своему внутреннему двойственному конусу. Это немного отличается от приведенного выше определения, которое допускает изменение внутреннего продукта. Например, приведенное выше определение делает конус в р^п с эллипсоидальным основанием самодвойственным, потому что внутренний продукт может быть изменен, чтобы сделать основание сферическим, а конус со сферическим основанием в р^п равно своему внутреннему двойнику.

Неотрицательный ортодоксальный из р^п и пространство всего положительно полуопределенные матрицы самодвойственны, как и конусы с эллипсоидальным основанием (часто называемые «сферическими конусами», «конусами Лоренца» или иногда «конусами мороженого»). Так все шишки в р³ основание которого является выпуклой оболочкой правильного многоугольника с нечетным числом вершин. Менее регулярный пример - конус в р³ основание которого является «домом»: выпуклая оболочка квадрата и точка вне квадрата, образующая равносторонний треугольник (соответствующей высоты) с одной из сторон квадрата.

Полярный конус

Поляра замкнутого выпуклого конуса C замкнутый выпуклый конус C^о, наоборот.

Для набора C в Икс, то полярный конус из C это набор^[4]

${displaystyle C ^ {o} = left {yin X ^ {*}: langle y, xangle leq 0quad forall xin Cight}.}.}$

Видно, что полярный конус равен минусу двойственного конуса, т.е. C^о = −C^*.

Для замкнутого выпуклого конуса C в Икс, полярный конус эквивалентен полярный набор за C.^[5]

Смотрите также

• Биполярная теорема
• Полярный набор

Рекомендации

Библиография

• Болтянский, В.Г.; Мартини, H .; Солтан, П. (1997). Экскурсии в комбинаторную геометрию. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  3-540-61341-2.
• Goh, C.J .; Ян, X.Q. (2002). Двойственность в оптимизации и вариационные неравенства. Лондон; Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис. ISBN  0-415-27479-6.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рамм, А.Г. (2000). Shivakumar, P.N .; Штраус, А. (ред.). Теория операторов и ее приложения. Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1990-9.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.