Спектральная теорема Фрейденталя - Freudenthal spectral theorem

В математика, то Спектральная теорема Фрейденталя это результат Теория пространства Рисса доказано Ганс Фройденталь в 1936 году. В нем примерно говорится, что любой элемент, в котором преобладает положительный элемент в Пространство Рисса с свойство главной проекции в некотором смысле можно равномерно аппроксимировать формулой простые функции.

Многочисленные известные результаты могут быть получены из спектральной теоремы Фрейденталя. Известный Теорема Радона – Никодима, срок действия Формула Пуассона и спектральная теорема из теории нормальные операторы можно показать, что все они следуют как частные случаи спектральной теоремы Фрейденталя.

Заявление

Позволять е - любой положительный элемент в пространстве Рисса E. Положительный элемент п в E называется составной частью е если ${ Displaystyle р клин (е-р) = 0}$. Если ${ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {n}}$ попарно непересекающийся компоненты е, любая реальная линейная комбинация ${ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {n}}$ называется е-простая функция.

Спектральная теорема Фрейденталя утверждает: Пусть E - любое пространство Рисса с главным проекционным свойством и е любой положительный элемент в E. Тогда для любого элемента ж в главном идеале, порожденном е, существуют последовательности ${ displaystyle {s_ {n} }}$ и ${ Displaystyle {т_ {п} }}$ из е-простые функции, такие что ${ displaystyle {s_ {n} }}$ монотонно возрастает и сходится е-равномерно к ж, и ${ Displaystyle {т_ {п} }}$ монотонно убывает и сходится е-равномерно ж.

Связь с теоремой Радона – Никодима.

Позволять ${ Displaystyle (Х, Sigma)}$ быть измерить пространство и ${ displaystyle M _ { sigma}}$ реальное пространство подписанный ${ displaystyle sigma}$-добавочные меры на ${ Displaystyle (Х, Sigma)}$. Можно показать, что ${ displaystyle M _ { sigma}}$ это Дедекинд полный Банаховая решетка с общая норма вариации, а значит, свойство главной проекции. Для любой положительной меры ${ displaystyle mu}$, ${ displaystyle mu}$-простые функции (как определено выше) могут быть показаны как точно соответствующие ${ displaystyle mu}$-измеримый простые функции на ${ Displaystyle (Х, Sigma)}$ (в обычном смысле). Более того, поскольку по спектральной теореме Фрейденталя любая мера ${ displaystyle nu}$ в группа сгенерирована к ${ displaystyle mu}$ монотонно аппроксимируется снизу формулой ${ displaystyle mu}$-измеримые простые функции на ${ Displaystyle (Х, Sigma)}$, к Теорема о монотонной сходимости Лебега ${ displaystyle nu}$ можно показать, что соответствует ${ Displaystyle L ^ {1} (X, Sigma, mu)}$ функция и устанавливает изометрический решеточный изоморфизм между полосой, порожденной ${ displaystyle mu}$ и банахова решетка ${ Displaystyle L ^ {1} (X, Sigma, mu)}$.

Смотрите также

• Теорема Радона – Никодима

Рекомендации

• Заанен, Адриан К. (1996), Введение в теорию операторов в пространствах Рисса, Springer, ISBN  3-540-61989-5
• Zaanen, Adriaan C .; Люксембург, В. А. Дж. (1971), Пространства Рисса I, Северная Голландия, ISBN  0-7204-2451-8