Ядро Пуассона - Poisson kernel

В теория потенциала, то Ядро Пуассона является интегральное ядро, используемый для решения двумерной Уравнение лапласа, данный Граничные условия Дирихле на единичный диск. Ядро можно понимать как производная из Функция Грина для уравнения Лапласа. Он назван в честь Симеон Пуассон.

Ядра Пуассона обычно находят применение в теория управления и двумерные задачи в электростатика.На практике определение ядер Пуассона часто расширяют на п-мерные задачи.

Двумерные ядра Пуассона

На единичном диске

в комплексная плоскость, ядро Пуассона для единичного диска имеет вид

{ Displaystyle P_ {r} ( theta) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} r ^ {| n |} e ^ {in theta} = { frac {1-r ^ {2}} {1-2r cos theta + r ^ {2}}} = operatorname {Re} left ({ frac {1 + re ^ {i theta}} {1-re ^ {i theta}}} right), 0 leq r <1.}

Это можно представить двумя способами: либо как функцию р и θ, или как семейство функций θ проиндексировано р.

Если ${ Displaystyle D = {z: | z | <1 }}$ это открытый единичный диск в C, Т - граница диска, а ж функция на Т что лежит в L¹(Т), то функция ты данный

{ displaystyle u (re ^ {я theta}) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} P_ {r} ( theta -t) f (е ^ {это}) , mathrm {d} t, 0 leq r <1}

является гармонический в D и имеет радиальный предел, соответствующий ж почти всюду на границе Т диска.

Что граничное значение ты является ж можно утверждать, используя тот факт, что как р → 1 функции п_р(θ) для мужчин приблизительная единица в сверточная алгебра L¹(Т). Как линейные операторы они стремятся к Дельта-функция Дирака точечно на L^п(Т). Посредством принцип максимума, ты единственная такая гармоническая функция на D.

Свертки с этой приблизительной единицей дают пример ядро суммируемости для Ряд Фурье функции в L¹(Т) (Кацнельсон 1976 ). Позволять ж ∈ L¹(Т) имеют ряды Фурье {ж_k}. После преобразование Фурье свертка с п_р(θ) превращается в умножение на последовательность {р^{| k |}} ∈ л¹(Z).^{[требуется дальнейшее объяснение ]} Взяв обратное преобразование Фурье полученного произведения {р^{| k |}ж_k} дает Авель означает А_рж из ж:

{ displaystyle A_ {r} f (e ^ {2 pi ix}) = sum _ {k in mathbf {Z}} f_ {k} r ^ {| k |} e ^ {2 pi ikx }.}

Переставляя это абсолютно сходящийся серия показывает, что ж граничное значение грамм + час, куда грамм (соотв. час) это голоморфный (соотв. антиголоморфный ) функция на D.

Когда также требуется, чтобы гармоническое продолжение было голоморфным, тогда решения являются элементами Харди космос. Это верно, когда отрицательные коэффициенты Фурье ж все исчезают. В частности, ядро Пуассона обычно используется для демонстрации эквивалентности пространств Харди на единичном круге и единичной окружности.

Пространство функций, являющихся пределами на T функций из ЧАС^п(z) можно назвать ЧАС^п(Т). Это замкнутое подпространство в L^п(Т) (по крайней мере, для п≥1). С L^п(Т) это Банахово пространство (для 1 ≤ п ≤ ∞), так и ЧАС^п(Т).

В верхней полуплоскости

В единичный диск может быть конформно отображенный к верхняя полуплоскость посредством определенных Преобразования Мебиуса. Поскольку конформное отображение гармонической функции также является гармоническим, ядро Пуассона переносится на верхнюю полуплоскость. В этом случае интегральное уравнение Пуассона принимает вид

{ displaystyle u (x + iy) = int _ {- infty} ^ { infty} P_ {y} (x-t) f (t) dt, qquad y> 0.}

Само ядро дается формулой

{ displaystyle P_ {y} (x) = { frac {1} { pi}} { frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

Учитывая функцию ${ Displaystyle е в L ^ {p} ( mathbf {R})}$ , то L^п Космос интегрируемых функций на вещественной прямой, ты можно понимать как гармоническое продолжение ж в верхнюю полуплоскость. Аналогично ситуации с диском, когда ты голоморфна в верхней полуплоскости, то ты является элементом пространства Харди, ${ displaystyle H ^ {p},}$ и, в частности,

{ displaystyle | u | _ {H ^ {p}} = | f | _ {L ^ {p}}}

Таким образом, снова пространство Харди ЧАС^п в верхней полуплоскости находится Банахово пространство, и, в частности, его ограничение на действительную ось является замкнутым подпространством ${ displaystyle L ^ {p} ( mathbf {R}).}$ Ситуация аналогична случаю только с единичным диском; в Мера Лебега для единичной окружности конечна, а для действительной прямой - нет.

На шаре

Для шара радиуса ${ displaystyle r, B_ {r} subset mathbf {R} ^ {n},}$ ядро Пуассона принимает вид

{ displaystyle P (x, zeta) = { frac {r ^ {2} - | x | ^ {2}} {r omega _ {n-1} | x- zeta | ^ {n}} }}

куда ${ displaystyle x in B_ {r}, zeta in S}$ (поверхность ${ displaystyle B_ {r}}$ ), и ${ displaystyle omega _ {n-1}}$ это площадь поверхности агрегата (п−1) -сфера.

Тогда, если ты(Икс) - непрерывная функция, определенная на S, соответствующий интеграл Пуассона - функция п[ты](Икс) определяется

{ displaystyle P [u] (x) = int _ {S} u ( zeta) P (x, zeta) d sigma ( zeta).}

Можно показать, что п[ты](Икс) гармонична на шаре ${ displaystyle B_ {r}}$ и это п[ты](Икс) продолжается до непрерывной функции на замкнутом шаре радиуса р, а граничная функция совпадает с исходной функцией ты.