Единичная сфера - Википедия - Unit sphere

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Единичная сфера»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Март 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Некоторые 1-сферы. ${ displaystyle | { boldsymbol {x}} | _ {2}}$ - норма для евклидова пространства, обсуждаемая в первом разделе ниже.

В математика, а единица измерения сфера это множество точек расстояние 1 от фиксированной центральной точки, где может использоваться обобщенное понятие расстояния; закрытый единица измерения мяч это множество точек расстояние меньше или равно 1 от фиксированной центральной точки. Обычно конкретная точка обозначается как источник исследуемого пространства, и подразумевается, что единичная сфера или единичный шар имеет центр в этой точке. Поэтому говорят об «единичном шаре» или «единичной сфере».

Например, одномерная сфера - это поверхность того, что обычно называют «кругом», в то время как внутренняя часть и поверхность такого круга вместе составляют двумерный шар. Точно так же двумерная сфера - это поверхность евклидова твердого тела, известная в просторечии как «сфера», в то время как внутренняя часть и поверхность вместе представляют собой трехмерный шар.

Единичная сфера - это просто сфера из радиус один. Важность единичной сферы заключается в том, что любую сферу можно преобразовать в единичную с помощью комбинации перевод и масштабирование. Таким образом, свойства сфер в целом можно свести к изучению единичной сферы.

Единичные сферы и шары в евклидовом пространстве

В Евклидово пространство из п размеры, (п−1)-мерная единичная сфера - это множество всех точек ${ displaystyle (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ которые удовлетворяют уравнению

${ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} = 1.}$

В п-мерный единичный открытый шар - это множество всех точек, удовлетворяющих неравенство

${ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} <1,}$

и п-мерный замкнутый единичный шар - это множество всех точек, удовлетворяющих неравенство

${ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} leq 1.}$

Общие формулы площади и объема

Классическое уравнение единичной сферы - это уравнение эллипсоида с радиусом 1 и без изменений Икс-, у-, или же z- оси:

${ displaystyle f (x, y, z) = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1}$

Объем единичного шара в п-мерное евклидово пространство и площадь поверхности единичной сферы появляются во многих важных формулах анализ. Объем единичного шара в п размеры, которые мы обозначим V_п, можно выразить с помощью гамма-функция. это

${ displaystyle V_ {n} = { frac { pi ^ {n / 2}} { Gamma (1 + n / 2)}} = { begin {case} { pi ^ {n / 2}} / {(n / 2)!} & mathrm {if ~} n geq 0 mathrm {~ ~ четное,} ~ { pi ^ { lfloor n / 2 rfloor} 2 ^ { lceil n / 2 rceil}} / {n !!} & mathrm {если ~} n geq 0 mathrm {~ ~ нечетное,} end {case}}}$

куда п!! это двойной факториал.

Гиперобъем (п−1) -мерная единичная сфера (т.е., «площадь» границы п-мерный единичный шар), который обозначим А_п, можно выразить как

${ displaystyle A_ {n} = nV_ {n} = { frac {n pi ^ {n / 2}} { Gamma (1 + n / 2)}} = { frac {2 pi ^ {n / 2}} { Gamma (n / 2)}} ,,}$

где последнее равенство выполняется только для п > 0.

Площади поверхности и объемы для некоторых значений ${ displaystyle n}$ являются следующими:

${ displaystyle n}$	${ displaystyle A_ {n}}$ (площадь поверхности)		${ displaystyle V_ {n}}$ (объем)
0	${ displaystyle 0 (1/0!) pi ^ {0}}$	0	${ displaystyle (1/0!) pi ^ {0}}$	1
1	${ displaystyle 1 (2 ^ {1} / 1 !!) pi ^ {0}}$	2	${ displaystyle (2 ^ {1} / 1 !!) pi ^ {0}}$	2
2	${ Displaystyle 2 (1/1!) pi ^ {1} = 2 pi}$	6.283	${ Displaystyle (1/1!) pi ^ {1} = pi}$	3.141
3	${ Displaystyle 3 (2 ^ {2} / 3 !!) pi ^ {1} = 4 pi}$	12.57	${ Displaystyle (2 ^ {2} / 3 !!) pi ^ {1} = (4/3) pi}$	4.189
4	${ Displaystyle 4 (1/2!) pi ^ {2} = 2 pi ^ {2}}$	19.74	${ Displaystyle (1/2!) pi ^ {2} = (1/2) pi ^ {2}}$	4.935
5	${ Displaystyle 5 (2 ^ {3} / 5 !!) pi ^ {2} = (8/3) pi ^ {2}}$	26.32	${ Displaystyle (2 ^ {3} / 5 !!) pi ^ {2} = (8/15) pi ^ {2}}$	5.264
6	${ Displaystyle 6 (1/3!) pi ^ {3} = pi ^ {3}}$	31.01	${ Displaystyle (1/3!) pi ^ {3} = (1/6) pi ^ {3}}$	5.168
7	${ Displaystyle 7 (2 ^ {4} / 7 !!) pi ^ {3} = (16/15) pi ^ {3}}$	33.07	${ displaystyle (2 ^ {4} / 7 !!) pi ^ {3} = (16/105) pi ^ {3}}$	4.725
8	${ Displaystyle 8 (1/4!) pi ^ {4} = (1/3) pi ^ {4}}$	32.47	${ Displaystyle (1/4!) pi ^ {4} = (1/24) pi ^ {4}}$	4.059
9	${ displaystyle 9 (2 ^ {5} / 9 !!) pi ^ {4} = (32/105) pi ^ {4}}$	29.69	${ Displaystyle (2 ^ {5} / 9 !!) pi ^ {4} = (32/945) pi ^ {4}}$	3.299
10	${ Displaystyle 10 (1/5!) pi ^ {5} = (1/12) pi ^ {5}}$	25.50	${ Displaystyle (1/5!) pi ^ {5} = (1/120) pi ^ {5}}$	2.550

где десятичные расширенные значения для п ≥ 2 округляются до отображаемой точности.

Рекурсия

В А_п значения удовлетворяют рекурсии:

${ displaystyle A_ {0} = 0}$

${ displaystyle A_ {1} = 2}$

${ displaystyle A_ {2} = 2 pi}$

${ displaystyle A_ {n} = { frac {2 pi} {n-2}} A_ {n-2}}$ за ${ displaystyle n> 2}$.

В V_п значения удовлетворяют рекурсии:

${ displaystyle V_ {0} = 1}$

${ displaystyle V_ {1} = 2}$

${ displaystyle V_ {n} = { frac {2 pi} {n}} V_ {n-2}}$ за ${ displaystyle n> 1}$.

Дробные размеры

Формулы для А_п и V_п можно вычислить для любого действительного числа п ≥ 0, и есть обстоятельства, при которых целесообразно искать площадь сферы или объем шара, когда п не является целым неотрицательным числом.

Это показывает гиперобъем (Икс–1) -мерная сфера (т.е., «площадь» поверхности Икс-мерный единичный шар) как непрерывная функцияИкс.

Это показывает объем шара в Икс размеры как непрерывная функцияИкс.

Другие радиусы

Площадь поверхности (п-1) -мерная сфера радиусом р является А_п р^п−1 и объем п-мерный шар с радиусом р является V_п р^п. Например, площадь А = 4π р² для поверхности трехмерного шара радиуса р. Объем V = 4π р³ / 3 для трехмерного шара радиусар.

Единичные шары в нормированных векторных пространствах

Точнее, открытый шар в нормированное векторное пространство ${ displaystyle V}$, с норма ${ displaystyle | cdot |}$, является

${ Displaystyle {х в V: | х | <1 }}$

Это интерьер из закрытый шар из (V,||·||):

${ Displaystyle {х в V: | х | Leq 1 }}$

Последнее представляет собой несвязанный союз первых и их общую границу, единичная сфера из (V,||·||):

${ Displaystyle {х в V: | х | = 1 }}$

«Форма» единичный мяч полностью зависит от выбранной нормы; он вполне может иметь «углы» и, например, может выглядеть как [−1,1]^п, в случае max-нормы в р^п. Естественно получается круглый мяч как единичный шар, относящийся к обычному Гильбертово пространство нормы, основанной в конечномерном случае на Евклидово расстояние; его граница - это то, что обычно подразумевается под единичная сфера.

Позволять ${ displaystyle x = (x_ {1}, ... x_ {n}) in mathbb {R} ^ {n}.}$ Определите обычный ${ displaystyle ell _ {p}}$-норма для п ≥ 1 как:

${ Displaystyle | х | _ {p} = ( sum _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} | ^ {p}) ^ {1 / p}}$

потом ${ Displaystyle | х | _ {2}}$ это обычный Гильбертово пространство норма.${ Displaystyle | х | _ {1}}$ называется нормой Хэмминга, или ${ displaystyle ell _ {1}}$-norm. состояние п ≥ 1 необходимо в определении ${ displaystyle ell _ {p}}$ норма, поскольку единичный шар в любом нормированном пространстве должен быть выпуклый как следствие неравенство треугольника.Позволять ${ Displaystyle | х | _ { infty}}$ обозначим max-норму или ${ displaystyle ell _ { infty}}$-норма x.

Обратите внимание, что для окружностей ${ displaystyle C_ {p}}$ двумерных единичных шаров (n = 2) имеем:

${ displaystyle C_ {1} = 4 { sqrt {2}}}$ - минимальное значение.

${ Displaystyle C_ {2} = 2 пи ,.}$

${ displaystyle C _ { infty} = 8}$ - максимальное значение.

Обобщения

Метрические пространства

Все три приведенных выше определения можно прямо обобщить на метрическое пространство, относительно выбранного начала координат. Однако топологические соображения (внутренняя часть, закрытие, граница) не обязательно должны применяться таким же образом (например, в ультраметрический пространства, все три одновременно являются открытыми и замкнутыми множествами), а единичная сфера может даже быть пустой в некоторых метрических пространствах.

Квадратичные формы

Если V является линейным пространством с действительным квадратичная форма F:V → R, то {p ∈ V : F(p) = 1} можно назвать единичной сферой^[1][2] или же единичная квазисфера из V. Например, квадратичная форма ${ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$, когда установлено равным единице, производит гипербола единиц который играет роль «единичного круга» в плоскости разделенные комплексные числа. Аналогично квадратичная форма x² дает пару линий для единичной сферы в двойной номер самолет.

Смотрите также

• мяч
• гиперсфера
• сфера
• суперэллипс
• единичный круг
• единичный диск
• пучок единичных сфер
• единичный квадрат

Примечания и ссылки

• Махлон М. Дэй (1958) Нормированные линейные пространства, стр. 24, Springer-Verlag.
• Deza, E .; Деза, М. (2006), Словарь расстояний, Эльзевьер, ISBN  0-444-52087-2. Проверено в Информационный бюллетень Европейского математического общества 64 (Июнь 2007 г.), п. 57. Эта книга организована в виде списка расстояний многих типов, каждое с кратким описанием.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Единичная сфера». MathWorld.