Болл (математика) - Ball (mathematics)

Эта статья включает в себя список общих использованная литература, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшить эта статья введение более точные цитаты. (Март 2013 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В Евклидово пространство, а мяч объем, ограниченный сферой

В математика, а мяч объемное пространство, ограниченное сфера; его также называют твердая сфера.^[1] Это может быть закрытый мяч (в том числе граничные точки составляющие сферу) или открытый мяч (без них).

Эти понятия определены не только в трехмерном Евклидово пространство но также для более низких и высоких размеров, и для метрические пространства в общем. А мяч или гипербол в п размеры называется п-мяч и ограничен (п − 1) -сфера. Так, например, мяч в Евклидова плоскость это то же самое, что и диск, площадь, ограниченная круг. В Евклидово 3-пространство, мяч считается объем ограниченный 2-мерная сфера. В одномерное пространство, мяч - это отрезок.

В других контекстах, например в Евклидова геометрия и неформальное использование, сфера иногда используется для обозначения мяч.

В евклидовом пространстве

В евклидовом п-пространство, an (открытое) п-шар радиуса р и центр Икс это множество всех точек на расстоянии меньше, чем р от Икс. Закрытый п-шар радиуса р - это множество всех точек на расстоянии, меньшем или равном р далеко от Икс.

В евклидовом п-пространством каждый шар ограничен гиперсфера. Мяч ограниченный интервал когда п = 1, это диск ограниченный круг когда п = 2, и ограничен сфера когда п = 3.

Объем

В п-мерный объем евклидова шара радиуса р в п-мерное евклидово пространство:^[2]

${ displaystyle V_ {n} (R) = { frac { pi ^ { frac {n} {2}}} { Gamma left ({ frac {n} {2}} + 1 right) }} R ^ {n},}$

гдеΓ является Леонард Эйлер с гамма-функция (который можно рассматривать как расширение факториал функция для дробных аргументов). Используя явные формулы для частные значения гамма-функции в целых и полуцелых числах дает формулы для объема евклидова шара, которые не требуют оценки гамма-функции. Эти:

${ Displaystyle { begin {align} V_ {2k} (R) & = { frac { pi ^ {k}} {k!}} R ^ {2k} ,, V_ {2k + 1} (R) & = { frac {2 ^ {k + 1} pi ^ {k}} {(2k + 1) !!}} R ^ {2k + 1} = { frac {2 (k!) (4 pi) ^ {k}} {(2k + 1)!}} R ^ {2k + 1} ,. End {align}}}$

В формуле для нечетных объемов двойной факториал (2k + 1)!! определено для нечетных целых чисел 2k + 1 так как (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 · … · (2k − 1) · (2k + 1).

В общих метрических пространствах

Позволять (M, d) быть метрическое пространство, а именно набор M с метрика (функция расстояния) d. Открытый (метрический) шар радиуса р > 0 с центром в точке п в M, обычно обозначаемый B_р(п) или B(п; р), определяется

${ Displaystyle B_ {r} (p) = {x in M ​​ mid d (x, p)$

Замкнутый (метрический) шар, который можно обозначить как B_р[п] или B[п; р], определяется

${ Displaystyle B_ {r} [p] = {x in M ​​ mid d (x, p) leq r }.}$

Обратите внимание, в частности, что шар (открытый или закрытый) всегда включает п сам, поскольку определение требует р > 0.

В закрытие открытого бала B_р(п) обычно обозначается B_р(п). Хотя всегда бывает так, что B_р(п) ⊆ B_р(п) ⊆ B_р[п], это не всегда бывает, что B_р(п) = B_р[п]. Например, в метрическом пространстве Икс с дискретная метрика, надо B₁(п) = {p} и B₁[п] = Икс, для любого п ∈ Икс.

А единичный мяч (открытый или закрытый) - шар радиуса 1.

Подмножество метрического пространства ограниченный если он содержится в каком-то шаре. Набор есть полностью ограниченный если, учитывая любой положительный радиус, он покрывается конечным числом шаров этого радиуса.

Открытые шары метрическое пространство может служить база, давая этому пространству топология, открытые множества которых возможны союзы открытых шаров. Эта топология на метрическом пространстве называется топология, индуцированная метрика d.

В нормированных векторных пространствах

Любые нормированное векторное пространство V с нормой ${ displaystyle | cdot |}$ также является метрическим пространством с метрикой ${ Displaystyle д (х, у) = | х-у |.}$ В таких пространствах произвольный шар ${ displaystyle B_ {r} (y)}$ очков ${ displaystyle x}$ вокруг точки ${ displaystyle y}$ с расстоянием менее ${ displaystyle r}$ можно рассматривать как масштабированный (по ${ displaystyle r}$) и переведены (автор ${ displaystyle y}$) копия единичный мяч ${ displaystyle B_ {1} (0).}$ Такие «центрированные» шары с ${ displaystyle y = 0}$ обозначаются ${ displaystyle B (r).}$

Обсуждаемые ранее евклидовы шары являются примером шаров в нормированном векторном пространстве.

п-норма

В Декартово пространство ℝ^п с п-норма L_п, это

${ displaystyle left | x right | _ {p} = left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + dotsb + | x_ {n}) | ^ {p} right) ^ {1 / p},}$

открытый шар вокруг начала координат с радиусом ${ displaystyle r}$ дается множеством

${ displaystyle B (r) = left {x in mathbb {R} ^ {n} ,: left | x right | _ {p} = left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + dotsb + | x_ {n} | ^ {p} right) ^ {1 / p}$

Для п = 2, в 2-мерной плоскости ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$, «шары» по L₁-норма (часто называемая такси или Манхэттен метрика) ограничены квадратами с их диагонали параллельно осям координат; те, согласно L_∞-норма, также называемая Чебышев метрические, имеют квадраты с их стороны параллельны осям координат как их границам. В L₂-norm, известная как евклидова метрика, генерирует хорошо известные диски внутри кругов и для других значений п, соответствующие шары - это площади, ограниченные Кривые Ламе (гипоэллипсы или гиперэллипсы).

Для п = 3, то L₁- шары находятся внутри октаэдров с соосными осями диагонали тела, то L_∞-шары внутри кубов с выровненными по осям края, а границы шаров при L_п с участием п > 2 находятся суперэллипсоиды. Очевидно, п = 2 порождает внутреннюю из обычных сфер.

Общая выпуклая норма

В более общем плане, учитывая любые центрально-симметричный, ограниченный, открыто, и выпуклый подмножество Икс из ℝ^п, можно определить норма на ℝ^п где шары все переведены и равномерно масштабированы копииИкс. Обратите внимание, что эта теорема не выполняется, если «открытое» подмножество заменяется «закрытым» подмножеством, потому что исходная точка квалифицируется, но не определяет норму наℝ^п.

В топологических пространствах

О шарах можно говорить в любом топологическое пространство Икс, не обязательно индуцированный метрикой. (Открытый или закрытый) п-размерный топологический шар из Икс любое подмножество Икс который гомеоморфный к (открытому или закрытому) евклидову п-мяч. Топологический п-шары важны в комбинаторная топология, как строительные блоки клеточные комплексы.

Любые открытые топологические п-бол гомеоморфен декартову пространству ℝ^п и к открытому единица измерения п-куб (гиперкуб) (0, 1)^п ⊆ ℝ^п. Любая замкнутая топологическая п-бол гомеоморфен замкнутому п-куб [0, 1]^п.

An п-бол гомеоморфен м-бол тогда и только тогда, когда п = м. Гомеоморфизмы между открытым п-мяч B и ℝ^п можно разделить на два класса, которые можно отнести к двум возможным топологические ориентации изB.

Топологический п-бол не должно быть гладкий; плавный; если гладко, то не обязательно диффеоморфный евклидову п-мяч.

Регионы

Ряд специальных регионы можно определить для мяча:

• кепка, ограниченный одной плоскостью
• сектор, ограниченный конической границей с вершиной в центре сферы
• сегмент, ограниченный парой параллельных плоскостей
• оболочка, ограниченный двумя концентрическими сферами разного радиуса
• клин, ограниченный двумя плоскостями, проходящими через центр сферы и поверхность сферы

Смотрите также

использованная литература

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Декабрь 2009 г.)

• Smith, D. J .; Ваманамурти, М. К. (1989). «Насколько мал единичный шар?». Математический журнал. 62 (2): 101–107. Дои:10.1080 / 0025570x.1989.11977419. JSTOR  2690391.
• Доукер, Дж. С. (1996). «Условия Робина на евклидовом шаре». Классическая и квантовая гравитация. 13 (4): 585–610. arXiv:hep-th / 9506042. Bibcode:1996CQGra..13..585D. Дои:10.1088/0264-9381/13/4/003.
• Грубер, Питер М. (1982). «Изометрии пространства выпуклых тел, содержащихся в евклидовом шаре». Израильский математический журнал. 42 (4): 277–283. Дои:10.1007 / BF02761407.