Сферическая крышка - Spherical cap

Пример сферического колпачка синего цвета (и еще одного красного).

3D модель сферического колпачка.

В геометрия, а сферическая крышка или же сферический купол является частью сфера или из мяч отрезанный самолет. Это также сферический сегмент одного основания, т.е. ограниченного единой плоскостью. Если плоскость проходит через центр сферы, так что высота шляпки равна радиус сферы сферический колпачок называется полушарие.

Объем и площадь поверхности

В объем сферического колпачка и площадь криволинейной поверхности могут быть рассчитаны с использованием комбинации

Радиус ${ displaystyle r}$ сферы
Радиус ${ displaystyle a}$ основания шапки
Высота ${ displaystyle h}$ шапки
В полярный угол ${ displaystyle theta}$ между лучами от центра сферы к вершине шляпки (полюса) и краю диск формирование основы кепки

	С помощью ${ displaystyle r}$ и ${ displaystyle h}$	С помощью ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle h}$	С помощью ${ displaystyle r}$ и ${ displaystyle theta}$
Объем	${ displaystyle V = { frac { pi h ^ {2}} {3}} (3r-h)}$ ^[1]	${ displaystyle V = { frac {1} {6}} pi h (3a ^ {2} + h ^ {2})}$	${ displaystyle V = { frac { pi} {3}} r ^ {3} (2+ cos theta) (1- cos theta) ^ {2}}$
Площадь	${ displaystyle A = 2 pi rh}$ ^[1]	${ Displaystyle А = пи (а ^ {2} + ч ^ {2})}$	${ Displaystyle А = 2 пи г ^ {2} (1- соз тета)}$

Если ${ displaystyle phi}$ обозначает широта в географические координаты, тогда ${ Displaystyle тета + фи = пи / 2 = 90 ^ { circ} ,}$ .

Отношения между ${ displaystyle h}$ и ${ displaystyle r}$ актуально до тех пор, пока ${ Displaystyle 0 Leq ч Leq 2r}$ . Например, красная часть рисунка также является сферической крышкой, для которой ${ displaystyle h> r}$ .

Формулы с использованием ${ displaystyle r}$ и ${ displaystyle h}$ можно переписать, чтобы использовать радиус ${ displaystyle a}$ основания колпачка вместо ${ displaystyle r}$ , с использованием теорема Пифагора:

{ displaystyle r ^ {2} = (r-h) ^ {2} + a ^ {2} = r ^ {2} + h ^ {2} -2rh + a ^ {2} ,,}

так что

{ displaystyle r = { frac {a ^ {2} + h ^ {2}} {2h}} ,.}

Подстановка этого в формулы дает:

{ displaystyle V = { frac { pi h ^ {2}} {3}} left ({ frac {3a ^ {2} + 3h ^ {2}} {2h}} - h right) = { frac {1} {6}} pi h (3a ^ {2} + h ^ {2}) ,,}

{ displaystyle A = 2 pi { frac {(a ^ {2} + h ^ {2})} {2h}} h = pi (a ^ {2} + h ^ {2}) ,. }

Интуитивное получение площади поверхности из сферический сектор объем

Обратите внимание, что помимо аргумента, основанного на исчислении, ниже, площадь сферической крышки может быть получена из объема ${ displaystyle V_ {sec}}$ из сферический сектор интуитивно понятным аргументом,^[2] в качестве

{ displaystyle A = { frac {3} {r}} V_ {sec} = { frac {3} {r}} { frac {2 pi r ^ {2} h} {3}} = 2 пи рх ,.}

Интуитивный аргумент основан на суммировании общего объема сектора с бесконечно малым. треугольные пирамиды. Используя объем пирамиды (или конуса) формула ${ Displaystyle V = { гидроразрыва {1} {3}} бх '}$ , куда ${ displaystyle b}$ бесконечно малая площадь каждого пирамидального основания (расположенного на поверхности сферы) и ${ displaystyle h '}$ это высота каждой пирамиды от основания до вершины (в центре сферы). Поскольку каждый ${ displaystyle h '}$ в пределе постоянна и эквивалентна радиусу ${ displaystyle r}$ сферы, сумма бесконечно малых пирамидальных оснований будет равна площади сферического сектора, и:

{ displaystyle V_ {sec} = sum {V} = sum { frac {1} {3}} bh '= sum { frac {1} {3}} br = { frac {r} { 3}} sum b = { frac {r} {3}} A}

Определение объема и площади поверхности с помощью исчисления

Вращение зеленой области создает сферическую шапку с высотой

{ displaystyle h}

и радиус сферы

{ displaystyle r}

.

Формулы объема и площади можно получить, исследуя вращение функции

{ displaystyle f (x) = { sqrt {r ^ {2} - (x-r) ^ {2}}} = { sqrt {2rx-x ^ {2}}}}

за ${ displaystyle x in [0, h]}$ , используя формулы поверхность вращения для области и твердые революции для объема.

{ displaystyle A = 2 pi int _ {0} ^ {h} f (x) { sqrt {1 + f '(x) ^ {2}}} , dx}

Производная от ${ displaystyle f}$ является

{ displaystyle f '(x) = { frac {r-x} { sqrt {2rx-x ^ {2}}}}}

и поэтому

{ displaystyle 1 + f '(x) ^ {2} = { frac {r ^ {2}} {2rx-x ^ {2}}}}

Таким образом, формула для площади

{ displaystyle A = 2 pi int _ {0} ^ {h} { sqrt {2rx-x ^ {2}}} { sqrt { frac {r ^ {2}} {2rx-x ^ { 2}}}} , dx = 2 pi int _ {0} ^ {h} r , dx = 2 pi r left [x right] _ {0} ^ {h} = 2 pi rh}

Объем

{ displaystyle V = pi int _ {0} ^ {h} f (x) ^ {2} , dx = pi int _ {0} ^ {h} (2rx-x ^ {2}) , dx = pi left [rx ^ {2} - { frac {1} {3}} x ^ {3} right] _ {0} ^ {h} = { frac { pi h ^ {2}} {3}} (3к-час)}

Приложения

Объемы объединения и пересечения двух пересекающихся сфер

Объем союз двух пересекающихся сфер радиусов ${ displaystyle r_ {1}}$ и ${ displaystyle r_ {2}}$ является^[3]

{ Displaystyle V = V ^ {(1)} - V ^ {(2)} ,,}

куда

{ displaystyle V ^ {(1)} = { frac {4 pi} {3}} r_ {1} ^ {3} + { frac {4 pi} {3}} r_ {2} ^ { 3}}

- сумма объемов двух изолированных сфер, а

{ displaystyle V ^ {(2)} = { frac { pi h_ {1} ^ {2}} {3}} (3r_ {1} -h_ {1}) + { frac { pi h_ { 2} ^ {2}} {3}} (3r_ {2} -h_ {2})}

сумма объемов двух сферических крышек, образующих их пересечение. Если ${ displaystyle d leq r_ {1} + r_ {2}}$ - расстояние между центрами двух сфер, исключение переменных ${ displaystyle h_ {1}}$ и ${ displaystyle h_ {2}}$ ведет^[4]^[5]

{ displaystyle V ^ {(2)} = { frac { pi} {12d}} (r_ {1} + r_ {2} -d) ^ {2} left (d ^ {2} + 2d ( r_ {1} + r_ {2}) - 3 (r_ {1} -r_ {2}) ^ {2} right) ,.}

Объем сферической шапки с изогнутым основанием

Объем сферической крышки с изогнутым основанием можно рассчитать, рассматривая две сферы с радиусами ${ displaystyle r_ {1}}$ и ${ displaystyle r_ {2}}$ , разделенные некоторым расстоянием ${ displaystyle d}$ , и у которых их поверхности пересекаются в точках ${ displaystyle x = h}$ . То есть кривизна основания происходит от сферы 2. Таким образом, объем равен разнице между крышкой сферы 2 (с высотой ${ displaystyle (r_ {2} -r_ {1}) - (д-ч)}$ ) и колпачок сферы 1 (высотой ${ displaystyle h}$ ),

${ displaystyle { begin {align} V & = { frac { pi h ^ {2}} {3}} (3r_ {1} -h) - { frac { pi [(r_ {2} -r_ {1}) - (dh)] ^ {2}} {3}} [3r_ {2} - ((r_ {2} -r_ {1}) - (dh))] ,, V & = { frac { pi h ^ {2}} {3}} (3r_ {1} -h) - { frac { pi} {3}} (dh) ^ {3} left ({ frac {r_ {2} -r_ {1}} {dh}} - 1 right) ^ {2} left [{ frac {2r_ {2} + r_ {1}} {dh}} + 1 right] , . end {выравнивается}}}$

Эта формула действительна только для конфигураций, удовлетворяющих ${ displaystyle 0$ и ${ displaystyle d- (r_ {2} -r_ {1})$ . Если сфера 2 очень большая, так что ${ displaystyle r_ {2} gg r_ {1}}$ , следовательно ${ displaystyle d gg h}$ и ${ displaystyle r_ {2} приблизительно d}$ , что имеет место для сферической крышки с основанием, имеющим незначительную кривизну, приведенное выше уравнение равно объему сферической крышки с плоским основанием, как и ожидалось.

Области пересекающихся сфер

Рассмотрим две пересекающиеся сферы радиусов ${ displaystyle r_ {1}}$ и ${ displaystyle r_ {2}}$ , центры которых разделены расстоянием ${ displaystyle d}$ . Они пересекаются, если

{ displaystyle | r_ {1} -r_ {2} | leq d leq r_ {1} + r_ {2}}

По закону косинусов полярный угол сферической шапки на сфере радиуса ${ displaystyle r_ {1}}$ является

{ displaystyle cos theta = { frac {r_ {1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2} + d ^ {2}} {2r_ {1} d}}}

Используя это, площадь поверхности сферической крышки на сфере радиуса ${ displaystyle r_ {1}}$ является

{ displaystyle A_ {1} = 2 pi r_ {1} ^ {2} left (1 + { frac {r_ {2} ^ {2} -r_ {1} ^ {2} -d ^ {2 }} {2r_ {1} d}} right)}

Площадь поверхности, ограниченная параллельными дисками

Изогнутая поверхность сферический сегмент ограничены двумя параллельными дисками, разность площадей их соответствующих сферических крышек. Для сферы радиуса ${ displaystyle r}$ , и шапки с высотой ${ displaystyle h_ {1}}$ и ${ displaystyle h_ {2}}$ , площадь

{ displaystyle A = 2 pi r | h_ {1} -h_ {2} | ,,}

или, используя географические координаты с широтой ${ displaystyle phi _ {1}}$ и ${ displaystyle phi _ {2}}$ ,^[6]

{ displaystyle A = 2 pi r ^ {2} | sin phi _ {1} - sin phi _ {2} | ,,}

Например, если предположить, что Земля представляет собой сферу радиусом 6371 км, площадь поверхности Арктики (к северу от Полярного круга, на широте 66,56 ° по состоянию на август 2016 г.^[7]) равно 2 $π$ ·6371²| грех 90 ° - грех 66,56 ° | = 21,04 млн км², или 0,5 · | sin 90 ° - sin 66,56 ° | = 4,125% от общей площади поверхности Земли.

Эту формулу также можно использовать, чтобы продемонстрировать, что половина площади поверхности Земли находится между 30 ° южной широты и 30 ° северной широты в сферической зоне, которая охватывает все Тропики.

Обобщения

Разделы других твердых тел

В сфероидальный купол получается путем отделения части сфероид так что получившийся купол кругосимметричный (имеющий ось вращения), а также эллипсоидальный купол происходит из эллипсоид.

Гиперсферическая крышка

Как правило, ${ displaystyle n}$ -габаритный объем гиперсферической шапки высоты ${ displaystyle h}$ и радиус ${ displaystyle r}$ в ${ displaystyle n}$ -мерное евклидово пространство задается формулой:^{[нужна цитата ]} ${ displaystyle V = { frac { pi ^ { frac {n-1} {2}} , r ^ {n}} {, Gamma left ({ frac {n + 1} {2 }} right)}} int limits _ {0} ^ { arccos left ({ frac {rh} {r}} right)} sin ^ {n} (t) , mathrm { d} t}$ куда ${ displaystyle Gamma}$ (в гамма-функция ) дан кем-то ${ displaystyle Gamma (z) = int _ {0} ^ { infty} t ^ {z-1} mathrm {e} ^ {- t} , mathrm {d} t}$ .

Формула для ${ displaystyle V}$ можно выразить через объем агрегата н-мяч ${ displaystyle C_ {n} = { scriptstyle pi ^ {n / 2} / Gamma [1 + { frac {n} {2}}]}}$ и гипергеометрическая функция ${ displaystyle {} _ {2} F_ {1}}$ или регуляризованная неполная бета-функция ${ Displaystyle I_ {х} (а, б)}$ в качестве

{ displaystyle V = C_ {n} , r ^ {n} left ({ frac {1} {2}} , - , { frac {rh} {r}} , { frac { Gamma [1 + { frac {n} {2}}]} {{ sqrt { pi}} , Gamma [{ frac {n + 1} {2}}]}} {, ,} _ {2} F_ {1} left ({ tfrac {1} {2}}, { tfrac {1-n} {2}}; { tfrac {3} {2}}; left ({ tfrac {rh} {r}} right) ^ {2} right) right) = { frac {1} {2}} C_ {n} , r ^ {n} I _ {(2rh -h ^ {2}) / r ^ {2}} left ({ frac {n + 1} {2}}, { frac {1} {2}} right)}

,

и формула площади ${ displaystyle A}$ можно выразить через площадь единичного n-шара ${ displaystyle A_ {n} = { scriptstyle 2 pi ^ {n / 2} / Gamma [{ frac {n} {2}}]}}$ в качестве

{ displaystyle A = { frac {1} {2}} A_ {n} , r ^ {n-1} I _ {(2rh-h ^ {2}) / r ^ {2}} left ({ frac {n-1} {2}}, { frac {1} {2}} right)}

,

куда ${ displaystyle 0 leq h leq r}$ .

Ранее в ^[8] (1986, Академ. Изд. СССР) были выведены следующие формулы: ${ Displaystyle A = A_ {n} p_ {n-2} (q), V = C_ {n} p_ {n} (q)}$ , куда ${ Displaystyle д = 1-ч / р (0 Leq q Leq 1), р_ {п} (д) = (1-G_ {п} (д) / G_ {п} (1)) / 2}$ ,

${ displaystyle G_ {n} (q) = int limits _ {0} ^ {q} (1-t ^ {2}) ^ {(n-1) / 2} dt}$ .

Для нечетных ${ displaystyle n = 2k + 1:}$

${ displaystyle G_ {n} (q) = sum _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {i} { binom {k} {i}} { frac {q ^ {2i + 1}} {2i + 1}}}$ .

Асимптотика

Это показано в ^[9] что если ${ displaystyle n to infty}$ и ${ displaystyle q { sqrt {n}} = { text {const.}}}$ , тогда ${ displaystyle p_ {n} (q) to 1-F ({q { sqrt {n}}})}$ куда ${ Displaystyle F ()}$ является интегралом от стандартное нормальное распределение.

Более количественная оценка ${ Displaystyle A / A_ {n} = п ^ { Theta (1)} cdot [(2-h / r) h / r] ^ {n / 2}}$ .Для больших крышек (то есть когда ${ Displaystyle (1-ч / г) ^ {4} CDOT п = О (1)}$ в качестве ${ displaystyle n to infty}$ ) оценка упрощается до ${ Displaystyle п ^ { Theta (1)} cdot e ^ {- (1-ч / г) ^ {2} п / 2}}$ .^[10]

Смотрите также

Круговой сегмент - аналогичный 2D объект
Телесный угол - содержит формулу для крышек n-сфер
Сферический сегмент
Сферический сектор
Сферический клин

дальнейшее чтение

Ричмонд, Тимоти Дж. (1984). «Доступная для растворителя площадь поверхности и исключенный объем в белках: аналитическое уравнение для перекрывающихся сфер и значение гидрофобного эффекта». Журнал молекулярной биологии. 178 (1): 63–89. Дои:10.1016/0022-2836(84)90231-6. PMID 6548264.
Люстиг, Рольф (1986). «Геометрия четырех твердых сплавленных сфер в произвольной пространственной конфигурации». Молекулярная физика. 59 (2): 195–207. Bibcode:1986МолФ..59..195Л. Дои:10.1080/00268978600102011.
Гибсон, К. Д .; Шерага, Гарольд А. (1987). «Объем пересечения трех сфер неравного размера: упрощенная формула». Журнал физической химии. 91 (15): 4121–4122. Дои:10.1021 / j100299a035.
Гибсон, К. Д .; Шерага, Гарольд А. (1987). «Точный расчет объема и площади поверхности сплавленных молекул твердых сфер с неодинаковыми атомными радиусами». Молекулярная физика. 62 (5): 1247–1265. Bibcode:1987МолФ..62.1247Г. Дои:10.1080/00268978700102951.
Петижан, Мишель (1994). «Об аналитическом расчете поверхностей и объемов Ван-дер-Ваальса: некоторые численные аспекты». Журнал вычислительной химии. 15 (5): 507–523. Дои:10.1002 / jcc.540150504.
Grant, J. A .; Пикап, Б. Т. (1995). «Гауссовское описание молекулярной формы». Журнал физической химии. 99 (11): 3503–3510. Дои:10.1021 / j100011a016.
Буса, Ян; Дзурина, Юзеф; Айрян, Эдик; Айрян, Шура (2005). «ARVO: пакет fortran для расчета доступной для растворителя площади поверхности и исключенного объема перекрывающихся сфер с помощью аналитических уравнений». Компьютерная физика Коммуникации. 165 (1): 59–96. Bibcode:2005CoPhC.165 ... 59B. Дои:10.1016 / j.cpc.2004.08.002.

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Сферический колпак». MathWorld. Вывод и некоторые дополнительные формулы.
Онлайн-калькулятор объема и площади сферической крышки.
Резюме сферических формул.

[handbook-1] а ^б Полянин Андрей Д; Манжиров, Александр В. (2006), Справочник по математике для инженеров и ученых, CRC Press, стр. 69, ISBN 9781584885023.

[2] Шехтман, Зор. «Юнизор - Геометрия3D - Сферические сектора». YouTube. Зор Шехтман. Получено 31 декабря 2018.

[3] Коннолли, Майкл Л. (1985). «Расчет молекулярного объема». Журнал Американского химического общества. 107 (5): 1118–1124. Дои:10.1021 / ja00291a006.

[4] Pavani, R .; Рангино, Г. (1982). «Метод вычисления объема молекулы». Компьютеры и химия. 6 (3): 133–135. Дои:10.1016/0097-8485(82)80006-5.

[5] Бонди, А. (1964). «Ван-дер-Ваальсовые объемы и радиусы». Журнал физической химии. 68 (3): 441–451. Дои:10.1021 / j100785a001.

[6] Скотт Э. Дональдсон, Стэнли Г. Сигел (2001). Успешная разработка программного обеспечения. ISBN 9780130868268. Получено 29 августа 2016.

[7] "Наклон эклиптики (среднее значение)". Neoprogrammics.com. Получено 2014-05-13.

[Minimax-86-8] Чуднов, Александр М. (1986). «Об алгоритмах формирования и приема минимаксных сигналов (рус.)». Проблемы передачи информации. 22 (4): 49–54.

[Game-91-9] Чуднов, Александр М (1991). «Теоретико-игровые задачи синтеза алгоритмов генерации и приема сигналов (рус.)». Проблемы передачи информации. 27 (3): 57–65.

[10] Аня Беккер, Лео Дукас, Николас Гама и Тийс Лаарховен. 2016. Новые направления поиска ближайшего соседа с приложениями для решетчатого просеивания. В Трудах двадцать седьмого ежегодного симпозиума ACM-SIAM по дискретным алгоритмам (SODA '16) Роберт Крауггеймер (ред.). Общество промышленной и прикладной математики, Филадельфия, Пенсильвания, США, 10-24.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]