Эллипсоид - Ellipsoid

Примеры эллипсоидов с уравнением ${ textstyle {x ^ {2} над a ^ {2}} + {y ^ {2} over b ^ {2}} + {z ^ {2} over c ^ {2}} = 1: }$

• Сфера, а = б = с = 4; верх
• Сфероид, а = б = 5, с = 3; левая нижняя,
• Трехосный эллипсоид, а = 4,5, б = 6; с = 3, внизу справа

An эллипсоид это поверхность, которая может быть получена из сфера деформируя его с помощью направленного масштабирование или, в более общем смысле, аффинное преобразование.

Эллипсоид - это квадратичная поверхность; это поверхность это можно определить как нулевой набор из многочлен степени два от трех переменных. Среди квадратичных поверхностей эллипсоид характеризуется одним из двух следующих свойств. Каждый планарный поперечное сечение является либо эллипс, либо пуст, либо сведен к одной точке (это объясняет название, означающее «эллипсовидный»). это ограниченный, а значит, его можно заключить в достаточно большую сферу.

Эллипсоид имеет три попарных перпендикуляр оси симметрии которые пересекаются в центр симметрии, называемый центром эллипсоида. В отрезки линии которые ограничены на осях симметрии эллипсоидом, называются главные оси, или просто оси эллипсоида. Если три оси имеют разную длину, эллипсоид называется трехосный или редко неравносторонний, а оси определены однозначно.

Если две оси имеют одинаковую длину, то эллипсоид представляет собой эллипсоид революция, также называемый сфероид. В этом случае эллипсоид инвариантен относительно вращение вокруг третьей оси, и, таким образом, существует бесконечно много способов выбора двух перпендикулярных осей одинаковой длины. Если третья ось короче, эллипсоид представляет собой сплюснутый сфероид; если он длиннее, это вытянутый сфероид. Если три оси имеют одинаковую длину, эллипсоид представляет собой сферу.

Стандартное уравнение

С помощью Декартова система координат в котором начало координат - центр эллипсоида, а оси координат - оси эллипсоида, неявное уравнение эллипсоида имеет стандартный вид

${ displaystyle {x ^ {2} over a ^ {2}} + {y ^ {2} over b ^ {2}} + {z ^ {2} over c ^ {2}} = 1, }$

где а, б, c положительные действительные числа.

Точки (а, 0, 0), (0, б, 0) и (0, 0, c) лежать на поверхности. Отрезки от начала координат до этих точек называются главными полуосями эллипсоида, потому что а, б, c составляют половину длины главных осей. Они соответствуют большая полуось и малая полуось из эллипс.

Если ${ displaystyle a = b> c,}$ у одного есть сплюснутый сфероид; если ${ Displaystyle а = Ь <с,}$ у одного есть вытянутый сфероид; если ${ Displaystyle а = Ь = с,}$ у одного есть сфера.

Параметризация

Эллипсоид может быть параметризован несколькими способами, которые проще выразить, если оси эллипсоида совпадают с осями координат. Обычный выбор

${ Displaystyle { begin {выровнен} Икс & = а грех ( тета) соз ( varphi), у & = Ь грех ( тета) грех ( varphi), z & = с соз ( тета), конец {выровнено}} , !}$

где

${ displaystyle 0 leq theta leq pi, qquad 0 leq varphi <2 pi.}$

Эти параметры можно интерпретировать как сферические координаты, где ${ displaystyle theta}$ полярный угол и ${ displaystyle varphi}$ азимутальный угол точки (Икс, y, z) эллипсоида.^[1]

Измерение от центра, а не от полюса,

${ Displaystyle { begin {выровнен} x & = a cos ( theta) cos ( lambda), y & = b cos ( theta) sin ( lambda), z & = c sin ( тета), конец {выровнено}} , !}$

где

${ displaystyle - { frac { pi} {2}} leq theta leq { frac { pi} {2}}, qquad 0 leq lambda <2 pi,}$

${ displaystyle theta}$ это уменьшенная широта, параметрическая широта, или эксцентрическая аномалия и ${ displaystyle lambda}$ азимут или долгота.

Измерение углов непосредственно к поверхности эллипсоида, а не к описанной сфере,

${ Displaystyle { begin {bmatrix} x y z end {bmatrix}} = R { begin {bmatrix} cos ( gamma) cos ( lambda) cos ( gamma) sin ( lambda) sin ( gamma) end {bmatrix}} , !}$

где

${ displaystyle { begin {align} R = {} & { frac {abc} { sqrt {c ^ {2} (b ^ {2} cos ^ {2} lambda + a ^ {2} sin ^ {2} lambda) cos ^ {2} gamma + a ^ {2} b ^ {2} sin ^ {2} gamma}}}, [3pt] & - { frac { pi} {2}} leq gamma leq { frac { pi} {2}}, qquad 0 leq lambda <2 pi. end {выравнивается}}}$

${ displaystyle gamma}$ будет геоцентрической широтой на Земле, и ${ displaystyle lambda}$ азимут или долгота. Это истинные сферические координаты с началом в центре эллипсоида.^{[нужна цитата ]}

Для геодезии, геодезическая широта, угол между вертикалью и экваториальной плоскостью, наиболее часто используется. Геодезическая широта не определяется для обычного эллипсоида, потому что она зависит от долготы.

Объем и площадь поверхности

Объем

В объем ограничена эллипсоидом

${ displaystyle V = { frac {4} {3}} pi abc.}$

Альтернативно выражается, где A, B и C - длины главных осей (А = 2а, B = 2b и C = 2c):

${ Displaystyle V = { гидроразрыва { pi} {6}} ABC}$.

Обратите внимание, что это уравнение сводится к уравнению объема сферы, когда все три эллиптических радиуса равны, и к уравнению объема шара. сплюснутый или вытянутый сфероид когда двое из них равны.

В объем эллипсоида ${ textstyle { frac {2} {3}}}$ объем ограниченный эллиптический цилиндр, и ${ textstyle { frac { pi} {6}}}$ объем описанной коробки.

В тома из вписанный и ограниченный коробки соответственно:

${ displaystyle V _ { text {inscribed}} = { frac {8} {3 { sqrt {3}}}} abc, qquad V _ { text {описанный}} = 8abc.}$

Площадь поверхности

В площадь поверхности общего (трехосного) эллипсоида есть^[2][3]

${ Displaystyle S = 2 pi c ^ {2} + { frac {2 pi ab} { sin ( varphi)}} left (E ( varphi, k) , sin ^ {2} ( varphi) + F ( varphi, k) , cos ^ {2} ( varphi) right),}$

где

${ displaystyle cos ( varphi) = { frac {c} {a}}, qquad k ^ {2} = { frac {a ^ {2} left (b ^ {2} -c ^ { 2} right)} {b ^ {2} left (a ^ {2} -c ^ {2} right)}}, qquad a geq b geq c,}$

и где F (φ, k) и E (φ, k) неполные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно.^[4]

Площадь поверхности эллипсоида вращения (или сфероида) может быть выражена через элементарные функции:

${ displaystyle { begin {align} S _ { text {сжать}} & = 2 pi a ^ {2} left (1 + { frac {c ^ {2}} {ea ^ {2}}} cdot operatorname {arctanh} (e) right) && { text {where}} quad e ^ {2} = 1 - { frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}} quad (c a), end {выровнено }}}$

которые, как следует из основных тригонометрических тождеств, являются эквивалентными выражениями (т.е. формулой для ${ displaystyle S _ { text {сплющенный}}}$ может использоваться для расчета площади поверхности вытянутого эллипсоида и наоборот). В обоих случаях е снова может быть идентифицирован как эксцентриситет эллипса, образованного поперечным сечением оси симметрии. (Увидеть эллипс ). Вывод этих результатов можно найти в стандартных источниках, например Mathworld.^[5]

Примерная формула

${ Displaystyle S приблизительно 4 pi { sqrt [{p}] { frac {a ^ {p} b ^ {p} + a ^ {p} c ^ {p} + b ^ {p} c ^ {p}} {3}}}. , !}$

Вот п ≈ 1.6075 дает относительную ошибку не более 1,061%;^[6] ценность п = 8/5 = 1.6 оптимальна для эллипсоидов, близких к сферической, с относительной погрешностью не более 1,178%.

В «плоском» пределе c намного меньше чем а, б, площадь примерно 2πab, что эквивалентно п ≈ 1.5850.

Плоские секции

Свойства

Плоское сечение эллипсоида

Пересечение плоскости и сферы представляет собой круг (или сводится к одной точке, или пусто). Любой эллипсоид - это изображение единичной сферы при некотором аффинном преобразовании, а любая плоскость - это изображение некоторой другой плоскости при таком же преобразовании. Итак, поскольку аффинные преобразования отображают круги в эллипсы, пересечение плоскости с эллипсоидом является эллипсом, единственной точкой или пусто.^[7] Очевидно, что сфероиды содержат круги. Это также верно, но менее очевидно, для трехосных эллипсоидов (см. Круговой разрез ).

Определение эллипса плоского сечения

Плоское сечение эллипсоида (см. Пример)

Данный: Эллипсоид ${ textstyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + { frac {z ^ {2 }} {c ^ {2}}} = 1 }$ и плоскость с уравнением ${ textstyle n_ {x} x + n_ {y} y + n_ {z} z = d ,,}$ которые имеют общий эллипс.

Хотел: Три вектора ${ displaystyle { vec {f}} _ {0}}$ (в центре) и ${ displaystyle { vec {f}} _ {1}, ; { vec {f}} _ {2}}$ (сопряженные векторы), так что эллипс может быть представлен параметрическим уравнением

${ displaystyle { vec {x}} = { vec {f}} _ {0} + { vec {f}} _ {1} cos t + { vec {f}} _ {2} sin т квад}$ (увидеть эллипс ).

Плоское сечение единичной сферы (см. Пример)

Решение: Масштабирование ${ textstyle u = { frac {x} {a}} ,, v = { frac {y} {b}} ,, w = { frac {z} {c}} }$ переводит эллипсоид на единичную сферу ${ Displaystyle и ^ {2} + v ^ {2} + вес ^ {2} = 1 }$ и заданную плоскость на плоскость с уравнением ${ displaystyle n_ {x} au + n_ {y} bv + n_ {z} cw = d }$. Позволять ${ displaystyle m_ {u} u + m_ {v} v + m_ {w} w = delta }$ быть Нормальная форма Гессена нового самолета и ${ displaystyle ; { vec {m}} = { begin {bmatrix} m_ {u} & m_ {v} & m_ {w} end {bmatrix}} ^ { mathsf {T}} ;}$ его единичный вектор нормали. Следовательно ${ displaystyle { vec {e}} _ {0} = delta ; { vec {m}} ;}$ это центр круга пересечения и ${ Displaystyle ; rho = { sqrt {1- delta ^ {2}}} ;}$ его радиус (см. схему).

куда ${ displaystyle m_ {w} = pm 1 ,}$, позволять ${ displaystyle { vec {e}} _ {1} = { begin {bmatrix} rho & 0 & 0 end {bmatrix}} ^ { mathsf {T}}, { vec {e}} _ { 2} = { begin {bmatrix} 0 & rho & 0 end {bmatrix}} ^ { mathsf {T}}.}$ (Самолет горизонтальный!)

куда ${ displaystyle m_ {w} neq pm 1 ,}$, позволять ${ textstyle { vec {e}} _ {1} = rho , { frac {{ begin {bmatrix} m_ {v} & - m_ {u} & 0 end {bmatrix}} ^ { mathsf {T}}} { sqrt {m_ {u} ^ {2} + m_ {v} ^ {2}}}} ,, { vec {e}} _ {2} = { vec { m}} times { vec {e}} _ {1} .}$

В любом случае векторы ${ displaystyle { vec {e}} _ {1}, { vec {e}} _ {2}}$ ортогональны, параллельны плоскости пересечения и имеют длину ${ displaystyle rho}$ (радиус круга). Следовательно, окружность пересечения может быть описана параметрическим уравнением ${ displaystyle ; { vec {u}} = { vec {e}} _ {0} + { vec {e}} _ {1} cos t + { vec {e}} _ {2} sin t ;.}$

Обратное масштабирование (см. Выше) преобразует единичную сферу обратно в эллипсоид, а векторы ${ displaystyle { vec {e}} _ {0}, { vec {e}} _ {1}, { vec {e}} _ {2}}$ отображаются на векторы ${ displaystyle { vec {f}} _ {0}, { vec {f}} _ {1}, { vec {f}} _ {2}}$, которые требовались для параметрического представления эллипса пересечения.

Как найти вершины и полуоси эллипса описано в эллипс.

Пример: На схемах изображен эллипсоид с полуосями ${ displaystyle ; a = 4, ; b = 5, ; c = 3 ;}$ который рассекается самолетом ${ Displaystyle ; х + Y + Z = 5 ;.}$

Штифтовая конструкция

Построение эллипса булавками и цепочкой:
${ displaystyle left | S_ {1} S_ {2} right |,}$ длина веревки (красный)

Булавочная конструкция эллипсоида, синий цвет: фокальные коники

Определение полуоси эллипсоида

Построение эллипсоида в виде булавок и струн - это передача идеи построения эллипса с использованием двух булавки и веревка (см. диаграмму).

Булавочная конструкция эллипсоид вращения дается конструкцией вращающегося эллипса в виде булавок и струн.

Построение точек 3-осевой эллипсоид сложнее. Первые идеи принадлежат шотландскому физику. Дж. К. Максвелл (1868).^[8] Основные исследования и распространение на квадрики были выполнены немецким математиком О. Штауде в 1882, 1886 и 1898 годах.^[9][10][11] Описание булавочной конструкции эллипсоидов и гиперболоидов содержится в книге. Геометрия и воображение написано Д. Гильберт И С. Фоссен,^[12] тоже.

Этапы строительства

Полуоси

Уравнения для полуосей сгенерированного эллипсоида могут быть получены путем специального выбора точки ${ displaystyle P}$: ${ Displaystyle Y = (0, r_ {y}, 0), Z = (0,0, r_ {z})}$.

В нижней части диаграммы показаны: ${ displaystyle F_ {1}, F_ {2}}$ также являются фокусами эллипса в плоскости x-y. Следовательно, это конфокальный к данному эллипсу, а длина строки равна ${ displaystyle l = 2r_ {x} + (a-c)}$. Решение для ${ displaystyle r_ {x}}$ дает: ${ textstyle r_ {x} = { frac {1} {2}} (l-a + c)}$. Дальше больше: ${ displaystyle r_ {y} ^ {2} = r_ {x} ^ {2} -c ^ {2}}$.

Из верхней диаграммы получаем: ${ displaystyle S_ {1}, S_ {2}}$ являются фокусами эллипса (эллипсоида) в плоскости x-z и уравнения ${ displaystyle r_ {z} ^ {2} = r_ {x} ^ {2} -a ^ {2}}$.

Converse

Если, наоборот, трехосный эллипсоид задается его уравнением, то из уравнений шага 3 можно получить параметры ${ displaystyle a, b, l}$ для булавочной конструкции.

Конфокальные эллипсоиды

Если ${ displaystyle { mathcal { overline {E}}}}$ является эллипсоид конфокальный к ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ с квадратами его полуосей

${ displaystyle { begin {align} { overline {r}} _ {x} ^ {2} & = r_ {x} ^ {2} - lambda, & { overline {r}} _ {y} ^ {2} & = r_ {y} ^ {2} - lambda, & { overline {r}} _ {z} ^ {2} & = r_ {z} ^ {2} - lambda ;, конец {выровнено}}}$

то из уравнений ${ displaystyle { mathcal {E}}}$

${ displaystyle { begin {align} r_ {x} ^ {2} -r_ {y} ^ {2} & = c ^ {2}, & r_ {x} ^ {2} -r_ {z} ^ {2 } & = a ^ {2}, & r_ {y} ^ {2} -r_ {z} ^ {2} & = a ^ {2} -c ^ {2} = b ^ {2}, end {выровнено }}}$

обнаруживается, что соответствующие фокальные коники, используемые для конструкции из булавок и струн, имеют такой же полуоси ${ displaystyle a, b, c}$ как эллипсоид ${ displaystyle { mathcal {E}}}$. Поэтому (аналогично фокусам эллипса) фокальные коники трехосного эллипсоида рассматриваются как (бесконечное множество) фокусов и называют их фокусами. фокальные кривые эллипсоида.^[13]

Верно и обратное утверждение: если выбрать вторую строку длины ${ displaystyle { overline {l}}}$ и определяет ${ displaystyle lambda = r_ {x} ^ {2} - { overline {r}} _ {x} ^ {2}}$ тогда уравнения ${ displaystyle { overline {r}} _ {y} ^ {2} = r_ {y} ^ {2} - lambda, { overline {r}} _ {z} ^ {2} = r_ { z} ^ {2} - lambda}$ действительны, что означает, что два эллипсоида конфокальны.

Предельный случай, эллипсоид вращения

В случае ${ displaystyle a = c}$ один получает ${ Displaystyle S_ {1} = F_ {1}, ; S_ {2} = F_ {2}}$, что означает: фокальный эллипс вырождается в отрезок прямой, а фокальная гипербола схлопывается до двух бесконечных отрезков прямой на оси x. Эллипсоид вращательно-симметричен с осью x как осью вращения и ${ textstyle r_ {x} = { frac {l} {2}}, r_ {y} = r_ {z} = { sqrt {r_ {x} ^ {2} -c ^ {2}}} }$.

Свойства фокальной гиперболы

Вверху: 3-осевой эллипсоид с фокальной гиперболой.
Внизу: параллельная / центральная проекция эллипсоида так, что он выглядит как сфера, т.е. его видимая форма - круг.

Истинная кривая

Если смотреть на эллипсоид с внешней точки ${ displaystyle V}$ его фокусной гиперболы, чем он кажется сферой, т.е. видимая форма представляет собой круг. Или эквивалент: касательные эллипсоида, содержащего точку ${ displaystyle V}$ являются линиями кругового конуса, ось вращения которого является касательной к гиперболе в точке ${ displaystyle V}$.^[14][15] Если разрешить центр ${ displaystyle V}$ чтобы исчезнуть в бесконечности, получается ортогональная параллельная проекция с соответствующей асимптотой фокальной гиперболы в качестве направления. В истинная кривая формы (точки касания) на эллипсоиде, например, нет круга!

В нижней части диаграммы слева показана параллельная проекция эллипсоида (полуоси: 60, 40, 30) вдоль асимптоты, а справа центральная проекция с центром ${ displaystyle V}$ и главное ${ displaystyle H}$ по касательной к гиперболе в точке ${ displaystyle V}$. (${ displaystyle H}$ это основание перпендикуляра от ${ displaystyle V}$ на плоскость изображения.) Для обеих проекций видимая форма - круг. В параллельном случае изображение начала координат ${ displaystyle O}$ центр круга, в центральном случае главная точка ${ displaystyle H}$ это центр.

Пупочные точки

Фокальная гипербола пересекает эллипсоид в его 4-х точках. пупочные точки.^[16]

Свойство фокального эллипса

Фокальный эллипс вместе с его внутренней частью можно рассматривать как предельную поверхность (бесконечно тонкий эллипсоид) пучка софокусных эллипсоидов, определяемого соотношением ${ displaystyle a, b}$ для ${ displaystyle r_ {z} to 0}$. Для предельного случая получаем ${ displaystyle r_ {x} = a, ; r_ {y} = b, ; l = 3a-c.}$

В общем положении

Как квадрика

В более общем смысле, произвольно ориентированный эллипсоид с центром в v, определяется решениями Икс к уравнению

${ Displaystyle ( mathbf {x-v}) ^ { mathsf {T}} ! A , ( mathbf {x-v}) = 1,}$

где А это положительно определенная матрица и Икс, v находятся векторов.

В собственные векторы из А определяют главные оси эллипсоида и собственные значения из А являются обратными квадратам полуосей: ${ displaystyle a ^ {- 2}}$, ${ displaystyle b ^ {- 2}}$ и ${ displaystyle c ^ {- 2}}$.^[17]Обратимый линейное преобразование приложенный к сфере, образует эллипсоид, который может быть приведен к указанной выше стандартной форме подходящим вращение, следствие полярное разложение (также см спектральная теорема ). Если линейное преобразование представлено симметричная матрица 3 на 3, то собственные векторы матрицы ортогональны (в силу спектральной теоремы) и представляют направления осей эллипсоида; длины полуосей вычисляются из собственных значений. В разложение по сингулярным числам и полярное разложение - матричные разложения, тесно связанные с этими геометрическими наблюдениями.

Параметрическое представление

эллипсоид как аффинный образ единичной сферы

Ключом к параметрическому представлению эллипсоида в общем положении является альтернативное определение:

Эллипсоид - это аффинное изображение единичной сферы.

An аффинное преобразование можно представить переводом с вектором ${ displaystyle { vec {f}} _ {0}}$ и регулярная 3 × 3-матрица ${ displaystyle A}$:

${ displaystyle { vec {x}} mapsto { vec {f}} _ {0} + A { vec {x}} = { vec {f}} _ {0} + x { vec { f}} _ {1} + y { vec {f}} _ {2} + z { vec {f}} _ {3}}$,

где ${ displaystyle { vec {f}} _ {1}, { vec {f}} _ {2}, { vec {f}} _ {3}}$ являются векторами-столбцами матрицы ${ displaystyle A}$.

Параметрическое представление эллипсоида общего положения можно получить с помощью параметрического представления единичной сферы (см. Выше) и аффинного преобразования:

${ displaystyle { vec {x}} ( theta, varphi) = { vec {f}} _ {0} + { vec {f}} _ {1} cos theta cos varphi + { vec {f}} _ {2} cos theta sin varphi + { vec {f}} _ {3} sin theta, quad - { frac { pi} {2}} < theta <{ frac { pi} {2}}, 0 leq varphi <2 pi}$.

Если векторы ${ displaystyle { vec {f}} _ {1}, { vec {f}} _ {2}, { vec {f}} _ {3}}$ образуют ортогональную систему, точки с векторами ${ displaystyle { vec {f}} _ {0} pm { vec {f}} _ {i}, i = 1,2,3,}$ - вершины эллипсоида и ${ displaystyle left | { vec {f}} _ {1} right |, left | { vec {f}} _ {2} right |, left | { vec {f}} _ {3} right |}$ - главные полуоси.

Вектор нормали к поверхности в точке ${ displaystyle ; { vec {x}} ( theta, varphi)}$ является

${ displaystyle { vec {n}} ( theta, varphi) = { vec {f}} _ {2} times { vec {f}} _ {3} cos theta cos varphi + { vec {f}} _ {3} times { vec {f}} _ {1} cos theta sin varphi + { vec {f}} _ {1} times { vec {f}} _ {2} sin theta.}$

Для любого эллипсоида существует неявное представление ${ Displaystyle F (х, y, z) = 0}$. Если для простоты центр эллипсоида является началом координат, т.е. ${ displaystyle { vec {f}} _ {0} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 end {bmatrix}} ^ { mathsf {T}}}$, следующее уравнение описывает эллипсоид выше:^[18]

${ displaystyle F (x, y, z) = operatorname {det} left ({ vec {x}}, { vec {f}} _ {2}, { vec {f}} _ {3 } right) ^ {2} + operatorname {det} left ({ vec {f}} _ {1}, { vec {x}}, { vec {f}} _ {3} right ) ^ {2} + operatorname {det} left ({ vec {f}} _ {1}, { vec {f}} _ {2}, { vec {x}} right) ^ { 2} - operatorname {det} left ({ vec {f}} _ {1}, { vec {f}} _ {2}, { vec {f}} _ {3} right) ^ {2} = 0}$

Приложения

Эллипсоидальная форма находит множество практических применений:

Геодезия

• Эллипсоид Земли, математическая фигура, приближающая форму Земли.
• Справочный эллипсоид, математическая фигура, аппроксимирующая форму планетных тел в целом.

Механика

• Эллипсоид Пуансо, геометрический метод для визуализации движения без крутящего момента вращающегося жесткое тело.
• Эллипсоид напряжений Ламе, альтернатива кругу Мора для графического представления напряженного состояния в точке.
• Эллипсоид управляемости, используется для описания свободы движения робота.
• Эллипсоид Якоби, трехосный эллипсоид, образованный вращающейся жидкостью

Кристаллография

• Индексный эллипсоид, диаграмма эллипсоида, изображающая ориентацию и относительную величину показателей преломления в кристалле.
• Тепловой эллипсоид, эллипсоиды, используемые в кристаллографии для обозначения величин и направлений тепловых колебаний атомов в кристаллических структурах.

Освещение

• Эллипсоидальный прожектор с отражателем
• Эллипсоидальный рефлекторный прожектор

Лекарство

• Измерения получены из МРТ изображение простата может использоваться для определения объема сальника, используя приближение Д × Ш × В × 0,52 (где 0,52 - приближение для π/6)^[19]

Динамические свойства

В масса эллипсоида однородной плотности ρ составляет:

${ displaystyle m = rho V = rho { frac {4} {3}} pi abc. , !}$

В моменты инерции эллипсоида однородной плотности:

${ displaystyle { begin {align} I _ { mathrm {xx}} & = { frac {1} {5}} m left (b ^ {2} + c ^ {2} right), & I_ { mathrm {yy}} & = { frac {1} {5}} m left (c ^ {2} + a ^ {2} right), & I _ { mathrm {zz}} & = { frac {1} {5}} m left (a ^ {2} + b ^ {2} right), [3pt] I _ { mathrm {xy}} & = I _ { mathrm {yz}} = I _ { mathrm {zx}} = 0. End {align}} , !}$

Для ${ displaystyle a = b = c}$ эти моменты инерции сводятся к моментам для сферы однородной плотности.

Представление художника о Хаумеа, эллипсоид Якоби карликовая планета, с двумя лунами

Эллипсоиды и кубоиды стабильно вращаются вдоль своей большой или малой оси, но не вдоль средней оси. Это можно увидеть экспериментально, бросив ластик с некоторым вращением. К тому же, момент инерции Соображения означают, что вращение вдоль большой оси более легко нарушить, чем вращение вдоль малой оси.^[20]

Одним из практических эффектов этого является то, что разносторонние астрономические тела, такие как Хаумеа обычно вращаются вдоль своих малых осей (как и Земля, которая просто сплюснута); кроме того, из-за приливная блокировка, луны в синхронная орбита такие как Мимас орбита с их большой осью, направленной радиально к их планете.

Вращающееся тело из однородной самогравитирующей жидкости примет форму либо Сфероид маклорена (сплюснутый сфероид) или Эллипсоид Якоби (разносторонний эллипсоид) когда в гидростатическое равновесие, и для умеренных скоростей вращения. При более быстром вращении неэллипсоидальный грушевидный или яйцевидный формы можно ожидать, но они нестабильны.

Динамика жидкостей

Эллипсоид - это наиболее общая форма, для которой удалось вычислить ползучий поток жидкости вокруг твердой формы. В расчетах учитывается сила, необходимая для перемещения в жидкости и вращения в ней. Приложения включают определение размера и формы больших молекул, скорости опускания мелких частиц и способности плавать. микроорганизмы.^[21]

По вероятности и статистике

В эллиптические распределения, которые обобщают многомерное нормальное распределение и используются в финансы, можно определить через их функции плотности. Когда они существуют, функции плотности ж иметь структуру:

${ Displaystyle е (х) = к CDOT г влево ((х- му) Sigma ^ {- 1} (х- му) ^ { mathsf {T}} right)}$

где ${ displaystyle k}$ коэффициент масштабирования, ${ displaystyle x}$ является ${ displaystyle n}$-размерный случайный вектор-строка со срединным вектором ${ displaystyle mu}$ (который также является средним вектором, если последний существует), ${ displaystyle Sigma}$ это положительно определенная матрица который пропорционален ковариационная матрица если последний существует, и ${ displaystyle g}$ - это функция, отображающая неотрицательные действительные числа в неотрицательные числа, дающие конечную площадь под кривой.^[22] Многомерное нормальное распределение - это частный случай, когда ${ Displaystyle г (г) = е ^ {- г / 2}}$ для квадратичной формы ${ displaystyle z}$.

Таким образом, функция плотности является скалярным преобразованием квадратичного выражения. Более того, уравнение для любого поверхность изоплотности утверждает, что выражение квадрики равно некоторой константе, специфичной для этого значения плотности, а поверхность изоплотности является эллипсоидом.

В высших измерениях

А гиперэллипсоид, или эллипсоид размерности п в Евклидово пространство измерения п + 1, это квадратичная гиперповерхность определяется полиномом второй степени, имеющим однородная часть степени два, которая является положительно определенная квадратичная форма.

Можно также определить гиперэллипсоид как изображение сферы под обратимым аффинное преобразование. Спектральная теорема снова может быть использована для получения стандартного уравнения вида

${ displaystyle { frac {x_ {1} ^ {2}} {a_ {1} ^ {2}}} + cdots + { frac {x_ {n} ^ {2}} {a_ {n} ^ {2}}} = 1.}$

Объем гиперэллипсоид можно получить, заменив ${ displaystyle R ^ {n}}$ от ${ displaystyle a_ {1} cdots a_ {n}}$ в формуле для объем гиперсферы.

Смотрите также

• Эллипсоидный метод
• Эллипсоидальные координаты
• Эллиптическое распределение, в статистике
• Сплющивание, также называется эллиптичность и сжатие, является мерой сжатия круга или сферы по диаметру с образованием эллипса или эллипсоида вращения (сфероида) соответственно.
• Фокалоид, оболочка, ограниченная двумя концентрическими софокусными эллипсоидами
• Геодезические на эллипсоиде
• Геодезические данные, гравитационная Земля, смоделированная наиболее подходящим эллипсоидом
• Гомеоид, оболочка, ограниченная двумя концентрическими подобными эллипсоидами
• Список поверхностей

Заметки

использованная литература

• Крейсциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN  0-471-50728-8

внешние ссылки

• "Эллипсоид "Джеффа Брайанта, Вольфрам Демонстрационный проект, 2007.
• Эллипсоид и Квадратичная поверхность, MathWorld.