Площадь поверхности - Surface area

А сфера радиуса

р

имеет площадь поверхности

4 πr 2

.

В площадь поверхности из твердый объект - это мера общей площадь что поверхность объекта занимает.^[1] Математическое определение площади поверхности при наличии криволинейных поверхностей значительно сложнее, чем определение площади поверхности. длина дуги одномерных кривых или площади поверхности для многогранники (т.е. объекты с плоскими многоугольными лица ), для которого площадь поверхности равна сумме площадей его граней. Гладкие поверхности, такие как сфера, назначаются площади поверхности, используя их представление как параметрические поверхности. Это определение площади поверхности основано на методах исчисление бесконечно малых и включает частные производные и двойная интеграция.

Общее определение площади поверхности искали Анри Лебег и Герман Минковски на рубеже ХХ века. Их работа привела к развитию геометрическая теория меры, в котором изучаются различные представления о площади поверхности неправильных объектов любого размера. Важным примером является Минковский контент поверхности.

Определение

Хотя площади многих простых поверхностей были известны с древних времен, строгий математический определение площади требует особого ухода. Это должно обеспечить

{displaystyle Smapsto A (S)}

который присваивает положительный настоящий номер к определенному классу поверхности что удовлетворяет нескольким естественным требованиям. Самым фундаментальным свойством площади поверхности является ее аддитивность: площадь целого - это сумма площадей частей. Более строго, если поверхность S представляет собой объединение конечного числа частей S₁, …, S_р которые не перекрываются, кроме своих границ, то

{displaystyle A (S) = A (S_ {1}) + cdots + A (S_ {r}).}

Площади поверхности плоских многоугольных форм должны соответствовать их геометрически определенным площадь. Поскольку площадь поверхности является геометрическим понятием, площади конгруэнтный поверхности должны быть одинаковыми, а площадь должна зависеть только от формы поверхности, но не от ее положения и ориентации в пространстве. Это означает, что площадь поверхности инвариантна относительно группа евклидовых движений. Эти свойства однозначно характеризуют площадь поверхности для широкого класса геометрических поверхностей, называемых кусочно гладкий. Такие поверхности состоят из конечного числа частей, которые можно представить в виде параметрическая форма

{displaystyle S_ {D}: {vec {r}} = {vec {r}} (u, v), quad (u, v) в D}

с непрерывно дифференцируемый функция ${displaystyle {vec {r}}.}$ Площадь отдельного предмета определяется по формуле

{displaystyle A (S_ {D}) = iint _ {D} left | {vec {r}} _ {u} imes {vec {r}} _ {v} ight |, du, dv.}

Таким образом, площадь S_D получается интегрированием длины вектора нормали ${displaystyle {vec {r}} _ {u} imes {vec {r}} _ {v}}$ на поверхность над соответствующей областью D в параметрическом УФ самолет. Площадь всей поверхности затем получается путем сложения площадей частей с использованием аддитивности площади поверхности. Основная формула может быть специализирована для различных классов поверхностей, давая, в частности, формулы для площадей графов. z = ж(Икс,у) и поверхности вращения.

Фонарь Schwarz с

{displaystyle M}

осевые срезы и

{displaystyle N}

радиальные вершины. Предел площади как

{displaystyle M}

и

{displaystyle N}

стремятся к бесконечности не сходятся. В частности, он не сходится к площади цилиндра.

Одна из тонкостей площади поверхности по сравнению с длина дуги кривых, заключается в том, что площадь поверхности не может быть определена просто как предел площадей многогранных форм, приближающихся к данной гладкой поверхности. Это было продемонстрировано Герман Шварц что уже для цилиндра разные варианты аппроксимации плоских поверхностей могут привести к разным предельным значениям площади; этот пример известен как Фонарь Schwarz.^[2]^[3]

Различные подходы к общему определению площади поверхности были разработаны в конце девятнадцатого и начале двадцатого века. Анри Лебег и Герман Минковски. Хотя для кусочно-гладких поверхностей существует уникальное естественное понятие площади поверхности, если поверхность очень неровная или шероховатая, то может быть вообще невозможно назначить ей площадь. Типичный пример - поверхность с плотно разбросанными по всей поверхности шипами. Многие поверхности этого типа встречаются при изучении фракталы. В работе изучаются расширения понятия площади, которые частично выполняют свою функцию и могут быть определены даже для очень сильно неровных поверхностей. геометрическая теория меры. Конкретным примером такого расширения является Минковский контент поверхности.

Общие формулы

Площадь поверхности обычных твердых тел
Форма	Уравнение	Переменные
Куб	${displaystyle 6s ^ {2},}$	s = длина стороны
Кубоид	${displaystyle 2 (ell w + ell h + wh),}$	ℓ = длина, ш = ширина, час = высота
Треугольная призма	${displaystyle bh + l (a + b + c)}$	б = длина основания треугольника, час = высота треугольника, л = расстояние между треугольными основаниями, а, б, c = стороны треугольника
Все призмы	${displaystyle 2B + Ph,}$	B = площадь одной базы, п = периметр одной базы, час = высота
Сфера	${displaystyle 4pi r ^ {2} = pi d ^ {2},}$	р = радиус сферы, d = диаметр
Сферическая луна	${displaystyle 2r ^ {2} heta,}$	р = радиус сферы, θ = двугранный угол
Тор	${displaystyle (2pi r) (2pi R) = 4pi ^ {2} Rr}$	р = малый радиус (радиус трубы), р = большой радиус (расстояние от центра трубки до центра тора)
Закрыто цилиндр	${displaystyle 2pi r ^ {2} + 2pi rh = 2pi r (r + h),}$	р = радиус круглого основания, час = высота цилиндра
Площадь боковой поверхности конус	${displaystyle pi rleft ({sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} ight) = pi rs,}$	${displaystyle s = {sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$ s = наклонная высота конуса, р = радиус круглого основания, час = высота конуса
Полная площадь конуса	${displaystyle pi rleft (r + {sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} ight) = pi r (r + s),}$	s = наклонная высота конуса, р = радиус круглого основания, час = высота конуса
Пирамида	${displaystyle B + {frac {PL} {2}}}$	B = площадь базы, п = периметр основания, L = наклонная высота
Квадратная пирамида	${displaystyle b ^ {2} + 2bs = b ^ {2} + 2b {sqrt {left ({frac {b} {2}} ight) ^ {2} + h ^ {2}}}}$	б = базовая длина, s = наклонная высота, час = вертикальная высота
Прямоугольная пирамида	${displaystyle lw + l {sqrt {left ({frac {w} {2}} ight) ^ {2} + h ^ {2}}} + w {sqrt {left ({frac {l} {2}} ight) ) ^ {2} + h ^ {2}}}}$	ℓ = длина, ш = ширина, час = высота
Тетраэдр	${displaystyle {sqrt {3}} a ^ {2}}$	а = длина стороны

Соотношение площадей шара и цилиндра одинакового радиуса и высоты

Конус, сфера и цилиндр радиуса р и высота час.

Приведенные ниже формулы можно использовать, чтобы показать, что площадь поверхности сфера и цилиндр одного радиуса и высоты находятся в соотношении 2 : 3, следующее.

Пусть радиус будет р и высота будет час (что составляет 2р для сферы).

${displaystyle {egin {array} {rlll} {ext {Площадь поверхности сферы}} & = 4pi r ^ {2} && = (2pi r ^ {2}) imes 2 {ext {Площадь поверхности цилиндра}} & = 2pi r (h + r) & = 2pi r (2r + r) & = (2pi r ^ {2}) imes 3end {array}}}$

Открытие этого отношения приписывается Архимед.^[4]

В химии

Площадь поверхности частиц разного размера.

Площадь поверхности важна в химическая кинетика. Увеличение площади поверхности вещества обычно увеличивает ставка из химическая реакция. Например, утюг в мелком порошке будет гореть, в то время как в твердых блоках он достаточно стабилен для использования в конструкциях. Для различных применений может потребоваться минимальная или максимальная площадь поверхности.

В биологии

Внутренняя мембрана митохондрия имеет большую площадь поверхности за счет складок, что позволяет клеточное дыхание (электрон микрофотография ).

Площадь поверхности организма важна по нескольким причинам, таким как регулирование температуры тела и пищеварение. Животные используют свои зубы измельчать пищу на более мелкие частицы, увеличивая площадь поверхности, доступную для пищеварения. Эпителиальная ткань, выстилающая пищеварительный тракт, содержит: микроворсинки, значительно увеличивая доступную для поглощения площадь. Слонов иметь большой уши, позволяя им регулировать температуру собственного тела. В других случаях животным нужно будет минимизировать площадь поверхности; например, когда холодно, люди скрещивают руки на груди, чтобы минимизировать потерю тепла.

В отношение площади поверхности к объему (SA: V) из клетка накладывает верхние пределы на размер, поскольку объем увеличивается намного быстрее, чем площадь поверхности, тем самым ограничивая скорость, с которой вещества диффундируют изнутри через клеточная мембрана в промежуточные пространства или в другие ячейки. Действительно, представление клетки как идеализированного сфера радиуса $р$ , объем и площадь поверхности равны соответственно $V = (4/3) πr 3$ и $SA = 4 πr 2$ . Таким образом, результирующее отношение площади поверхности к объему составляет $3/ р$ . Таким образом, если ячейка имеет радиус 1 мкм, соотношение SA: V равно 3; тогда как если радиус ячейки вместо 10 мкм, то соотношение SA: V становится 0,3. При радиусе ячейки 100 отношение SA: V составляет 0,03. Таким образом, площадь поверхности круто уменьшается с увеличением объема.

Смотрите также

Длина периметра
Теория ставок, методика измерения удельной поверхности материалов
Сферическая область
Поверхностный интеграл

внешняя ссылка

Видео площади поверхности в Thinkwell

[1] Вайсштейн, Эрик В. "Площадь поверхности". MathWorld.

[sch1-2] «Парадокс Шварца» (PDF). В архиве (PDF) из оригинала от 04.03.2016. Получено 2017-03-21.

[sch2-3] «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2011-12-15. Получено 2012-07-24.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)

[4] Роррес, Крис. «Могила Архимеда: источники». Курантский институт математических наук. В архиве из оригинала от 09.12.2006. Получено 2007-01-02.

[1]

[2]

[3]

[4]