Неявная поверхность - Implicit surface

Неявный поверхностный тор (R = 40, a = 15).

Неявная поверхность рода 2.

Неявная неалгебраическая поверхность (бокал для вина).

В математика, неявная поверхность это поверхность в Евклидово пространство определяется уравнением

{ Displaystyle F (х, у, z) = 0.}

Неявная поверхность - это набор нулей функции трех переменных. Скрытый означает, что уравнение не решается для Икс или же у или же z.

График функции обычно описывается уравнением ${ Displaystyle г = е (х, у)}$ и называется явный представление. Третье важное описание поверхности - это параметрический один: ${ Displaystyle (х (s, t), y (s, t), z (s, t))}$ , где Икс-, у- и z-координаты точек поверхности представлены тремя функциями ${ Displaystyle х (s, т) ,, y (s, t) ,, z (s, t)}$ в зависимости от общих параметров ${ displaystyle s, t}$ . Как правило, смена представлений проста только тогда, когда явное представление ${ Displaystyle г = е (х, у)}$ дано: ${ Displaystyle г-е (х, у) = 0}$ (скрытый), ${ Displaystyle (s, t, f (s, t))}$ (параметрический).

Примеры:

самолет ${ displaystyle x + 2y-3z + 1 = 0.}$
сфера ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -4 = 0.}$
тор ${ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = 0.}$
Поверхность род 2: ${ displaystyle 2y (y ^ {2} -3x ^ {2}) (1-z ^ {2}) + (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} - (9z ^ {2 } -1) (1-z ^ {2}) = 0}$ (см. диаграмму).
Поверхность революции ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} - ( ln (z + 3.2)) ^ {2} -0.02 = 0}$ (см. диаграмму бокал для вина).

Для плоскости, сферы и тора существуют простые параметрические представления. Это неверно для четвертого примера.

В теорема о неявной функции описывает условия, при которых уравнение ${ Displaystyle F (х, y, z) = 0}$ можно решить (по крайней мере, неявно) для Икс, у или же z. Но в целом решение не может быть явным. Эта теорема является ключом к вычислению основных геометрических характеристик поверхности: касательные плоскости, нормали к поверхности, искривления (Смотри ниже). Но у них есть существенный недостаток: их сложно визуализировать.

Если ${ Displaystyle F (х, у, г)}$ полиномиален от Икс, у и z, поверхность называется алгебраический. Пример 5 не-алгебраический.

Несмотря на сложность визуализации, неявные поверхности предоставляют относительно простые методы теоретической генерации (например, Поверхность Штейнера ) и практически (см. ниже) интересные поверхности.

Формулы

В следующих рассуждениях неявная поверхность представляется уравнением ${ Displaystyle F (х, y, z) = 0}$ где функция ${ displaystyle F}$ удовлетворяет необходимым условиям дифференцируемости. В частные производные из ${ displaystyle F}$ находятся ${ Displaystyle F_ {x}, F_ {y}, F_ {z}, F_ {xx}, ldots}$ .

Касательная плоскость и вектор нормали

Точка поверхности ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ называется обычный если и только если то градиент из ${ displaystyle F}$ в ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ не нулевой вектор ${ displaystyle (0,0,0)}$ , смысл

{ displaystyle (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z}) (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) neq (0,0,0)}

.

Если точка поверхности ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ является нет обычный, это называется единственное число.

Уравнение касательной плоскости в регулярной точке ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ является

{ displaystyle F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (x-x_ {0}) + F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) }) (y-y_ {0}) + F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (z-z_ {0}) = 0,}

и нормальный вектор является

{ displaystyle mathbf {n} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y } (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) ^ {T}.}

Нормальная кривизна

Чтобы формула была простой, аргументы ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ опущены:

{ displaystyle kappa _ {n} = { frac { mathbf {v} ^ { top} H_ {F} mathbf {v}} { | operatorname {grad} F |}}}

- нормальная кривизна поверхности в регулярной точке для единичного касательного направления ${ displaystyle mathbf {v}}$ . ${ displaystyle H_ {F}}$ это Матрица Гессе из ${ displaystyle F}$ (матрица вторых производных).

Доказательство этой формулы опирается (как и в случае неявной кривой) на теорему о неявной функции и формулу для нормальной кривизны кривой. параметрическая поверхность.

Приложения неявных поверхностей

Как и в случае неявных кривых, легко создать неявные поверхности желаемой формы, применяя алгебраические операции (сложение, умножение) к простым примитивам.

Эквипотенциальная поверхность 4-х точечных зарядов

Эквипотенциальная поверхность точечных зарядов

Электрический потенциал точечного заряда ${ displaystyle q_ {i}}$ в точке ${ displaystyle mathbf {p} _ {i} = (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$ генерируется в точке ${ Displaystyle mathbf {p} = (х, y, z)}$ потенциал (без учета физических констант)

{ displaystyle F_ {i} (x, y, z) = { frac {q_ {i}} { | mathbf {p} - mathbf {p} _ {i} |}}.}

Эквипотенциальная поверхность для значения потенциала ${ displaystyle c}$ неявная поверхность ${ displaystyle F_ {i} (x, y, z) -c = 0}$ который является сферой с центром в точке ${ displaystyle mathbf {p} _ {i}}$ .

Потенциал ${ displaystyle 4}$ точечные сборы представлены

{ displaystyle F (x, y, z) = { frac {q_ {1}} { | mathbf {p} - mathbf {p} _ {1} |}} + { frac {q_ { 2}} { | mathbf {p} - mathbf {p} _ {2} |}} + { frac {q_ {3}} { | mathbf {p} - mathbf {p} _ {3} |}} + { frac {q_ {4}} { | mathbf {p} - mathbf {p} _ {4} |}}.}

На рисунке четыре заряда равны 1 и расположены в точках ${ displaystyle ( pm 1, pm 1,0)}$ . Отображаемая поверхность - это эквипотенциальная поверхность (неявная поверхность) ${ displaystyle F (x, y, z) -2,8 = 0}$ .

Постоянное расстояние от поверхности продукта

Овал Кассини можно определить как набор точек, для которого произведение расстояний до двух заданных точек является постоянным (в отличие от эллипса сумма постоянна). Подобным образом неявные поверхности могут быть определены как произведение постоянного расстояния до нескольких фиксированных точек.

На схеме метаморфозы верхняя левая поверхность создается по этому правилу: С

{ Displaystyle { begin {align} F (x, y, z) = {} & { Big (} { sqrt {(x-1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2 }}} cdot { sqrt {(x + 1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} & qquad cdot { sqrt {x ^ {2} + ( y-1) ^ {2} + z ^ {2}}} cdot { sqrt {x ^ {2} + (y + 1) ^ {2} + z ^ {2}}} { Big)} конец {выровнено}}}

поверхность продукта постоянного расстояния ${ Displaystyle F (х, y, z) -1,1 = 0}$ отображается.

Метаморфозы между двумя неявными поверхностями: тором и поверхностью произведения постоянного расстояния.

Метаморфозы неявных поверхностей

Еще один простой метод создания новых неявных поверхностей называется метаморфоза неявных поверхностей:

Для двух неявных поверхностей ${ Displaystyle F_ {1} (х, y, z) = 0, F_ {2} (x, y, z) = 0}$ (на схеме: поверхность произведения с постоянным расстоянием и тор) новые поверхности определяют с помощью параметра проектирования ${ Displaystyle му ин [0,1]}$ :

{ Displaystyle F (x, y, z) = mu F_ {1} (x, y, z) + (1- mu) F_ {2} (x, y, z) = 0}

На диаграмме расчетный параметр последовательно ${ Displaystyle му = 0, , 0,33, , 0,66, , 1}$ .

Приближение трех торов (параллельная проекция )

Пов-луч изображение (центральная проекция) приближения трех торов.

Гладкие аппроксимации нескольких неявных поверхностей

${ displaystyle Pi}$ -поверхности ^[1] может использоваться для аппроксимации любого заданного гладкого и ограниченного объекта в ${ displaystyle R ^ {3}}$ поверхность которого определяется одним многочленом как произведение дополнительных многочленов. Другими словами, мы можем спроектировать любой гладкий объект с помощью единой алгебраической поверхности. Обозначим определяющие полиномы как ${ Displaystyle f_ {я} in mathbb {R} [x_ {1}, ldots, x_ {n}] (я = 1, ldots, k)}$ . Тогда аппроксимирующий объект определяется полиномом

{ Displaystyle F (x, y, z) = prod _ {i} f_ {i} (x, y, z) -r}

^[1]

куда ${ Displaystyle г в mathbb {R}}$ обозначает параметр смешивания, который контролирует ошибку аппроксимации.

Аналогично гладкой аппроксимации с неявными кривыми уравнение

{ Displaystyle F (x, y, z) = F_ {1} (x, y, z) cdot F_ {2} (x, y, z) cdot F_ {3} (x, y, z) - г = 0}

представляет для подходящих параметров ${ displaystyle c}$ гладкие аппроксимации трех пересекающихся торов уравнениями

{ displaystyle { begin {align} F_ {1} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} - 4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = 0, [3pt] F_ {2} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (x ^ {2} + z ^ {2}) = 0, [3pt] F_ {3} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (y ^ {2} + z ^ {2 }) = 0. end {выровнен}}}

(На диаграмме параметры ${ Displaystyle R = 1, , a = 0,2, , r = 0,01.}$ )

Изображение POV-Ray: метаморфозы между сферой и поверхностью продукта постоянного расстояния (6 баллов).

Визуализация неявных поверхностей

Существуют различные алгоритмы для рендеринг неявные поверхности,^[2] в том числе алгоритм маршевых кубов.^[3] По сути, есть две идеи для визуализации неявной поверхности: одна генерирует сеть полигонов, которая визуализируется (см. поверхностная триангуляция ), а второй полагается на трассировка лучей определяющее точки пересечения лучей с поверхностью.^[4]

Смотрите также

Неявная кривая

внешняя ссылка

[RaposoGomes2019-1] а ^б Адриано Н. Рапосо; Абель Дж. П. Гомеш (2019). «Пи-поверхности: произведение неявных поверхностей на конструктивную композицию трехмерных объектов». WSCG 2019 27. Международная конференция в Центральной Европе по компьютерной графике, визуализации и компьютерному зрению. arXiv:1906.06751.

[BloomenthalBajaj1997-2] Жюль Блументаль; Чандраджит Баджадж; Брайан Вивилл (15 августа 1997 г.). Введение в неявные поверхности. Морган Кауфманн. ISBN 978-1-55860-233-5.

[Stephenson2004-3] Ян Стефенсон (1 декабря 2004 г.). Производственный рендеринг: дизайн и реализация. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-821-3.

[4] Эрик Хейнс, Томас Акенин-Моллер: Самоцветы с трассировкой лучей, Springer, 2019, ISBN 978-1-4842-4427-2

[1]

[2]

[3]

[4]