Твердая революция - Solid of revolution

Вращение кривой. Сформированная поверхность представляет собой поверхность вращения; он заключает в себе твердое тело революции.

Воспроизвести медиа

Тела вращения (Математека Имэ-Усп )

В математика, инженерное дело, и производство, а твердый революционный это сплошная фигура полученный вращением плоская кривая вокруг некоторых прямая линия (в ось вращения ), лежащая в одной плоскости.

Предполагая, что кривая не пересекает ось, твердое тело объем равно длина из круг описывается цифрой центроид умноженный на цифру площадь (Вторая теорема Паппа о центроиде ).

А репрезентативный диск это трех-размерный элемент объема твердой революции. Элемент создан вращающийся а отрезок (из длина $ш$ ) вокруг некоторой оси (расположенной $р$ единиц), так что цилиндрический объем из $π р 2 ш$ единиц прилагается.

Нахождение объема

Двумя общими методами определения объема тела вращения являются метод диска и метод интегрирования оболочки. Чтобы применить эти методы, проще всего нарисовать рассматриваемый график; определить область, которая должна вращаться вокруг оси вращения; определить объем либо дискообразного среза твердого тела, толщиной $δx$ , или цилиндрическая оболочка шириной $δx$ ; а затем найти предельную сумму этих объемов как $δx$ приближается к 0, значению, которое может быть найдено путем вычисления подходящего интеграла. Более строгое обоснование может быть дано попыткой оценить тройной интеграл в цилиндрические координаты с двумя разными порядками интеграции.

Дисковый метод

Интеграция диска вокруг оси Y

Дисковый метод используется, когда нарисованный срез перпендикулярно ось вращения; т.е. при интегрировании параллельно ось вращения.

Объем твердого тела, образованный вращением области между кривыми $ж (Икс)$ и $грамм (Икс)$ и линии $Икс = а$ и $Икс = б$ о $Икс$ -ось задается

{ Displaystyle V = pi int _ {a} ^ {b} left | f (x) ^ {2} -g (x) ^ {2} right | , dx ,.}

Если $грамм (Икс) = 0$ (например, вращение области между кривой и $Икс$ -axis), это сводится к:

{ displaystyle V = pi int _ {a} ^ {b} f (x) ^ {2} , dx ,.}

Визуализировать метод можно, рассматривая тонкий горизонтальный прямоугольник на $у$ между $ж (у)$ сверху и $грамм (у)$ на дне и вращая его вокруг $у$ -ось; он образует кольцо (или диск в случае, если $грамм (у) = 0$ ), с внешним радиусом $ж (у)$ и внутренний радиус $грамм (у)$ . Площадь кольца $π (р 2 - р 2)$ , куда $р$ - внешний радиус (в данном случае $ж (у)$ ), и $р$ - внутренний радиус (в данном случае $грамм (у)$ ). Таким образом, объем каждого бесконечно малого диска равен $π ж (у) 2 dy$ . Предел римановой суммы объемов дисков между $а$ и $б$ становится целым (1).

Предполагая применимость Теорема Фубини и формулы многомерной замены переменных, дисковый метод может быть получен простым способом (обозначив твердое тело как D):

{ Displaystyle V = iiint _ {D} dV = int _ {a} ^ {b} int _ {g (z)} ^ {f (z)} int _ {0} ^ {2 pi } r , d theta , dr , dz = 2 pi int _ {a} ^ {b} int _ {g (z)} ^ {f (z)} r , dr , dz = 2 pi int _ {a} ^ {b} { frac {1} {2}} r ^ {2} Vert _ {f (z)} ^ {g (z)} , dz = pi int _ {a} ^ {b} f (z) ^ {2} -g (z) ^ {2} , dz}

Цилиндровый метод

Интеграция с оболочкой

Метод цилиндра используется, когда нарисованный срез параллельно ось вращения; т.е. при интегрировании перпендикулярно ось вращения.

Объем твердого тела, образованный вращением области между кривыми $ж (Икс)$ и $грамм (Икс)$ и линии $Икс = а$ и $Икс = б$ о $у$ -ось задается

{ Displaystyle V = 2 pi int _ {a} ^ {b} x | f (x) -g (x) | , dx ,.}

Если $грамм (Икс) = 0$ (например, вращение области между кривой и $у$ -axis), это сводится к:

{ displaystyle V = 2 pi int _ {a} ^ {b} x | f (x) | , dx ,.}

Визуализировать метод можно, рассматривая тонкий вертикальный прямоугольник на $Икс$ с высотой $ж (Икс) - грамм (Икс)$ , и вращая его вокруг $у$ -ось; он образует цилиндрическую оболочку. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $2π rh$ , куда $р$ - радиус (в данном случае $Икс$ ), и $час$ высота (в данном случае $ж (Икс) - грамм (Икс)$ ). Суммирование всех площадей поверхности по интервалу дает общий объем.

Этот метод может быть получен с тем же тройным интегралом, на этот раз с другим порядком интегрирования:

{ Displaystyle V = iiint _ {D} dV = int _ {a} ^ {b} int _ {g (r)} ^ {f (r)} int _ {0} ^ {2 pi } r , d theta , dz , dr = 2 pi int _ {a} ^ {b} int _ {g (r)} ^ {f (r)} r , dz , dr = 2 pi int _ {a} ^ {b} r (f (r) -g (r)) , dr}

.

Твердая демонстрация революции

Фигуры в покое

Фигуры в движении, показывающие тела вращения, образованные каждым

Параметрическая форма

Математика и искусство: исследование вазы как твердого тела революции. Паоло Уччелло. 15 век

Когда кривая определяется своим параметрический форма $(Икс (т), у (т))$ через некоторое время $[а, б]$ , объемы твердых тел, образованные вращением кривой вокруг $Икс$ -ось или $у$ -оси задаются^[1]

{ displaystyle V_ {x} = int _ {a} ^ {b} pi y ^ {2} , { frac {dx} {dt}} , dt ,,}

{ displaystyle V_ {y} = int _ {a} ^ {b} pi x ^ {2} , { frac {dy} {dt}} , dt ,.}

При тех же обстоятельствах площади поверхностей твердых тел, образованные вращением кривой вокруг $Икс$ -ось или $у$ -оси задаются^[2]

{ displaystyle A_ {x} = int _ {a} ^ {b} 2 pi y , { sqrt { left ({ frac {dx} {dt}} right) ^ {2} + left ({ frac {dy} {dt}} right) ^ {2}}} , dt ,,}

{ displaystyle A_ {y} = int _ {a} ^ {b} 2 pi x , { sqrt { left ({ frac {dx} {dt}} right) ^ {2} + left ({ frac {dy} {dt}} right) ^ {2}}} , dt ,.}

Смотрите также

Примечания

^ Шарма, А. К. (2005). Применение интегрального исчисления. Издательство Discovery. п. 168. ISBN 81-7141-967-4.
^ Сингх, Равиш Р. (1993). Инженерная математика (6-е изд.). Тата МакГроу-Хилл. п. 6.90. ISBN 0-07-014615-2.