Псевдосфера - Pseudosphere

В геометрия, а псевдосфера поверхность с постоянным отрицательным Гауссова кривизна. Теорема гильберта говорит, что никакая псевдосфера не может быть погружена в трехмерное пространство.

Более подробное описание псевдосферы

Псевдосфера радиуса $р$ это поверхность в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ имея кривизна $- 1 / р 2$ в каждой точке. Его название происходит от аналогии со сферой радиуса $р$ , которая является поверхностью кривизны $1 / р 2$ . Термин был введен Эухенио Бельтрами в его статье 1868 г. о моделях гиперболическая геометрия.^[1]

Трактрикоид

Трактрикоид

Эту же поверхность можно описать как результат вращающийся а трактрикс о его асимптота.По этой причине псевдосферу также называют трактрикоид. Например, (половина) псевдосфера (радиусом 1) представляет собой поверхность вращения трактрисы, параметризованную^[2]

{ displaystyle t mapsto left (t- tanh {t}, operatorname {sech} , {t} right), quad quad 0 leq t < infty.}

Это сингулярное пространство (экватор - особенность), но вдали от сингулярностей он имеет постоянную отрицательную Гауссова кривизна и поэтому локально изометрический к гиперболическая плоскость.

Название «псевдосфера» происходит потому, что у нее есть двумерный поверхность постоянной отрицательной гауссовой кривизны, так же как сфера имеет поверхность с постоянной положительной гауссовой кривизной. сфера имеет в каждой точке положительно криволинейная геометрия купол вся псевдосфера в каждой точке отрицательно криволинейная геометрия седло.

Уже в 1693 г. Кристиан Гюйгенс обнаружили, что объем и площадь поверхности псевдосферы конечны,^[3] несмотря на бесконечную протяженность формы вдоль оси вращения. Для заданного края радиус $р$ , то площадь является $4π р 2$ так же, как и для сферы, а объем является $2 / 3 π р 3$ и, следовательно, вдвое меньше сферы этого радиуса.^[4]^[5]

Универсальное перекрытие

Псевдосфера и ее связь с тремя другими моделями гиперболической геометрии

Половина псевдосферы кривизны −1 равна покрытый участком гиперболической верхней полуплоскости с $у \geq 1$ .^[6] Покрывающее отображение периодично в $Икс$ направление периода 2 $π$ , и берет орициклы $у = c$ к меридианам псевдосферы и вертикальным геодезическим $Икс = c$ трактрисам, порождающим псевдосферу. Это отображение является локальной изометрией и, таким образом, демонстрирует часть $у \geq 1$ верхней полуплоскости как универсальное перекрытие псевдосферы. Точное отображение

{ displaystyle (x, y) mapsto { big (} v ( operatorname {arcosh} y) cos x, v ( operatorname {arcosh} y) sin x, u ( operatorname {arcosh} y) { big)}}

где

{ displaystyle t mapsto { big (} u (t) = t- operatorname {tanh} t, v (t) = operatorname {sech} t { big)}}

- это параметризация трактрисы выше.

Гиперболоид

В некоторых источниках, использующих модель гиперболоида гиперболической плоскости гиперболоид называется псевдосфера.^[7]Это слово используется потому, что гиперболоид может быть мыслится как сфера мнимого радиуса, вложенного в Пространство Минковского.

Смотрите также

использованная литература

^ Бельтрами, Эухенио (1868). «Трактат об интерпретации неевклидовой геометрии» [Трактат об интерпретации неевклидовой геометрии]. Гиор. Мат. (на итальянском). 6: 248–312.
(Также Бельтрами, Эухенио. Opere Matematiche [Математические работы] (на итальянском). 1. С. 374–405. ISBN 1-4181-8434-9.;
Бельтрами, Эухенио (1869). "Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne" [Трактат об интерпретации неевклидовой геометрии]. Annales de l'École Normale Supérieure (На французском). 6: 251–288. Архивировано из оригинал на 02.02.2016. Получено 2010-07-24.)
^ Бонахон, Фрэнсис (2009). Низкоразмерная геометрия: от евклидовых поверхностей до гиперболических узлов. Книжный магазин AMS. п. 108. ISBN 0-8218-4816-X., Глава 5, страница 108
^ Mangasarian, Olvi L .; Пан, Чон-Ши (1999). Вычислительная оптимизация: дань уважения Ольви Мангасаряну. 1. Springer. п. 324. ISBN 0-7923-8480-6., Глава 17, страница 324
^ Ле Лионне, Ф. (2004). Великие течения математической мысли, Vol. II: Математика в науках и искусстве (2-е изд.). Courier Dover Publications. п. 154. ISBN 0-486-49579-5., Уровень 40, страница 154
^ Вайсштейн, Эрик В. «Псевдосфера». MathWorld.
^ Терстон, Уильям, Трехмерная геометрия и топология, 1, Princeton University Press, стр. 62.
^ Гасанов, Эльман (2004), «Новая теория сложных лучей», IMA J. Appl. Математика., 69: 521–537, Дои:10.1093 / imamat / 69.6.521, ISSN 1464-3634

Стиллвелл, Дж. (1996). Источники гиперболической геометрии. Амер. Математика. Soc & London Math. Soc.
Хендерсон, Д. В .; Таймина, Д. (2006). «Опыт геометрии: евклидова и неевклидова с историей». Эстетика и математика (PDF). Springer-Verlag.
Каснер, Эдвард; Ньюман, Джеймс (1940). Математика и воображение. Саймон и Шустер. п. 140, 145, 155.

внешние ссылки

Неевклид
Вязание крючком гиперболической плоскости: интервью с Дэвидом Хендерсоном и Дайной Тайминой
Лекция Нормана Вильдбергера 16, История математики, Университет Нового Южного Уэльса. YouTube. 2012 май.
Псевдосферические поверхности в виртуальном математическом музее.

[1] Бельтрами, Эухенио (1868). «Трактат об интерпретации неевклидовой геометрии» [Трактат об интерпретации неевклидовой геометрии]. Гиор. Мат. (на итальянском). 6: 248–312.
(Также Бельтрами, Эухенио. Opere Matematiche [Математические работы] (на итальянском). 1. С. 374–405. ISBN 1-4181-8434-9.;
Бельтрами, Эухенио (1869). "Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne" [Трактат об интерпретации неевклидовой геометрии]. Annales de l'École Normale Supérieure (На французском). 6: 251–288. Архивировано из оригинал на 02.02.2016. Получено 2010-07-24.)

[2] Бонахон, Фрэнсис (2009). Низкоразмерная геометрия: от евклидовых поверхностей до гиперболических узлов. Книжный магазин AMS. п. 108. ISBN 0-8218-4816-X., Глава 5, страница 108

[3] Mangasarian, Olvi L .; Пан, Чон-Ши (1999). Вычислительная оптимизация: дань уважения Ольви Мангасаряну. 1. Springer. п. 324. ISBN 0-7923-8480-6., Глава 17, страница 324

[4] Ле Лионне, Ф. (2004). Великие течения математической мысли, Vol. II: Математика в науках и искусстве (2-е изд.). Courier Dover Publications. п. 154. ISBN 0-486-49579-5., Уровень 40, страница 154

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Псевдосфера». MathWorld.

[6] Терстон, Уильям, Трехмерная геометрия и топология, 1, Princeton University Press, стр. 62.

[7] Гасанов, Эльман (2004), «Новая теория сложных лучей», IMA J. Appl. Математика., 69: 521–537, Дои:10.1093 / imamat / 69.6.521, ISSN 1464-3634

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]