Квазисфера - Quasi-sphere

В математика и теоретическая физика, а квазисфера является обобщением гиперсфера и гиперплоскость в контексте псевдоевклидово пространство. Его можно описать как набор точек, для которых квадратичная форма поскольку пространство, приложенное к вектору смещения от центральной точки, является постоянной величиной, с включением гиперплоскостей в качестве предельного случая.

Обозначения и терминология

В этой статье используются следующие обозначения и терминология:

• А псевдоевклидово векторное пространство, обозначенный р^s,т, это настоящий векторное пространство с невырожденная квадратичная форма с подпись (s, т). Квадратичная форма может быть определенный (куда s = 0 или же т = 0), что делает его обобщением Евклидово векторное пространство.^[а]
• А псевдоевклидово пространство, обозначенный E^s,т, это настоящий аффинное пространство в котором векторы смещения элементы пространства р^s,т. Его отличают от векторного пространства.
• В квадратичная форма Q действуя на вектор Икс ∈ р^s,т, обозначенный Q(Икс), является обобщением квадрат евклидова расстояния в евклидовом пространстве. Эли Картан звонки Q(Икс) то скалярный квадрат}} из Икс.
• В симметричная билинейная форма B действуя на два вектора Икс, у ∈ р^s,т обозначается B(Икс, у) или же Икс ⋅ у.^[b] Это связано с квадратичной формой Q.^[c]
• Два вектора Икс, у ∈ р^s,т находятся ортогональный если Икс ⋅ у = 0.
• А нормальный вектор в точке квазисферы - ненулевой вектор, ортогональный каждому вектору в касательное пространство в таком случае.

Определение

А квазисфера это подмногообразие псевдоевклидова пространства E^s,т состоящий из точек ты для которого вектор смещения Икс = ты − о с точки отсчета о удовлетворяет уравнению

а Икс ⋅ Икс + б ⋅ Икс + c = 0,

куда а, c ∈ р и б, Икс ∈ р^s,т.^[1][d]

С а = 0 в разрешенных это определение включает гиперплоскости; таким образом, это обобщение обобщенные круги и их аналоги в любом количестве измерений. Это включение обеспечивает более регулярную структуру под конформные преобразования чем если они не указаны.

Это определение было обобщено на аффинные пространства над сложные числа и кватернионы заменой квадратичной формы на Эрмитова форма.^[2]

Квазисфера п = {Икс ∈ Икс : Q(Икс) = k} в квадратичном пространстве (Икс, Q) имеет контр-сфера N = {Икс ∈ Икс : Q(Икс) = −k}.^[e] Кроме того, если k ≠ 0 и L является изотропная линия в Икс через Икс = 0, тогда L ∩ (п ∪ N) = ∅, пробивая объединение квазисферы и контрсферы. Одним из примеров является гипербола единиц который образует квазисферу гиперболическая плоскость, и его сопряженная гипербола, которая является его контр-сферой.

Геометрические характеристики

Центр и радиальный скалярный квадрат

В центр квазисферы - это точка, имеющая равный скалярный квадрат из каждой точки квазисферы, точки, в которой карандаш прямых к касательным гиперплоскостям пересекаются. Если квазисфера - гиперплоскость, центр - это точка в бесконечности определяется этим карандашом.

Когда а ≠ 0, вектор смещения п центра от точки отсчета и радиального скалярного квадрата р можно найти следующим образом. Ставим Q(Икс − п) = р, и сравнивая с определяющим уравнением выше для квазисферы, мы получаем

${ displaystyle p = - { frac {b} {2a}},}$

${ displaystyle r = p cdot p - { frac {c} {a}}.}$

Случай а = 0 можно интерпретировать как центр п являясь четко определенной точкой на бесконечности с бесконечным или нулевым радиальным скалярным квадратом (последнее в случае нулевой гиперплоскости). Зная п (и р) в этом случае определяет не положение гиперплоскости, а только ее ориентацию в пространстве.

Радиальный скалярный квадрат может принимать положительное, нулевое или отрицательное значение. Когда квадратичная форма определена, даже если п и р можно определить из приведенных выше выражений, набор векторов Икс удовлетворяющее определяющему уравнению может быть пустым, как в случае евклидова пространства для отрицательного радиального скалярного квадрата.

Диаметр и радиус

Любая пара точек, которые не обязательно должны быть различными (включая вариант, когда одна из них является бесконечно удаленной точкой) определяет диаметр квазисферы. Квазисфера - это набор точек, для которых два вектора смещения из этих двух точек ортогональны.

Любая точка может быть выбрана в качестве центра (включая точку на бесконечности), а любая другая точка на квазисфере (кроме точки на бесконечности) определяет радиус квазисферы и, таким образом, определяет квазисферу.

Разбиение

Ссылаясь на квадратичную форму, примененную к вектору смещения точки на квазисфере от центра (т.е. Q(Икс − п)) как радиальный скалярный квадрат, в любом псевдоевклидовом пространстве квазисферы могут быть разделены на три непересекающихся множества: те, у которых есть положительный радиальный скалярный квадрат, те, у которых отрицательный радиальный скалярный квадрат, те, у которых есть нулевой радиальный скалярный квадрат.^[f]

В пространстве с положительно определенной квадратичной формой (то есть в евклидовом пространстве) квазисфера с отрицательным радиальным скалярным квадратом является пустым множеством, одна с нулевым радиальным скалярным квадратом состоит из одной точки, другая с положительным радиальным скалярным квадратом равна стандарт п-сфера, а сфера с нулевой кривизной - это гиперплоскость, разделенная п-сферы.

Смотрите также

• Анти-де Ситтер пространство
• пространство де Ситтера
• Гиперболоид § Отношение к сфере
• Геометрия сферы Ли
• Квадратичный набор

Примечания

Рекомендации