Изотропная линия - Isotropic line

В геометрии квадратичные формы, изотропная линия или же нулевая строка это линия для которого квадратичная форма, примененная к вектору смещения между любой парой его точек, равна нулю. Изотропная линия возникает только при изотропная квадратичная форма, и никогда с определенная квадратичная форма.

С помощью сложная геометрия, Эдмон Лагерр впервые предположил существование двух изотропных линий, проходящих через точку (α, β) которые зависят от мнимая единица $я$ :^[1]

Первая система:

{displaystyle (y- eta) = (x-alpha) i,}

Вторая система:

{displaystyle (y- eta) = - i (x-alpha).}

Лагер тогда интерпретировал эти строки как геодезические:

Важным свойством изотропных линий, которое можно использовать для их определения, является следующее: расстояние между любыми двумя точками изотропной линии расположен на конечном расстоянии в плоскости равно нулю. Другими словами, эти линии удовлетворяют дифференциальное уравнение ds² = 0. На произвольном поверхность можно изучать кривые, удовлетворяющие этому дифференциальному уравнению; эти кривые являются геодезическими линиями поверхности, и мы также называем их изотропные линии.^[1]^:90

в комплексная проективная плоскость, точки представлены однородные координаты ${displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ и линии по однородным координатам ${displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}$ . An изотропная линия в комплексной проективной плоскости удовлетворяет уравнению:^[2]

{displaystyle a_ {3} (x_ {2} pm ix_ {1}) = (a_ {2} pm ia_ {1}) x_ {2}.}

В терминах аффинного подпространства Икс₃ = 1, изотропная линия, проходящая через начало координат, есть

{displaystyle x_ {2} = pm ix_ {1}.}

В проективной геометрии изотропные линии проходят через круговые точки на бесконечности.

В реальной ортогональной геометрии Эмиль Артин, изотропные линии встречаются парами:

Неособая плоскость, содержащая изотропный вектор, называется гиперболическая плоскость. Его всегда можно натянуть на пару N, M векторов, удовлетворяющих

{displaystyle N ^ {2} = M ^ {2} = 0, quad NM = 1.}

Назовем любую такую упорядоченную пару N, M гиперболическая пара. Если V неособая плоскость с ортогональной геометрией и N ≠ 0 - изотропный вектор V, то существует ровно один M в V такой, что N, M является гиперболической парой. Векторы х N и y M являются единственными изотропными векторами V.^[3]

Относительность

Изотропные линии использовались в космологической литературе для переноса света. Например, в математической энциклопедии свет состоит из фотоны: " мировая линия нулевой массы покоя (такой как неквантовая модель фотона и других элементарных частиц с нулевой массой) является изотропной линией ».^[4]Для изотропных линий, проходящих через начало координат, конкретная точка является нулевой вектор, а совокупность всех таких изотропных линий образует световой конус в происхождении.

Эли Картан расширил понятие изотропных линий до многовекторы в его книге о спиноры в трех измерениях.^[5]

Изотропная линия - Isotropic line

Относительность

Рекомендации