Мультивектор - Multivector

В полилинейная алгебра, а многовекторныйиногда называют Число Клиффорда,^[1] является элементом внешняя алгебра Λ (V) из векторное пространство V. Эта алгебра оцененный, ассоциативный и чередование, и состоит из линейные комбинации из просто k-векторы^[2] (также известен как разложимый k-векторы^[3] или же k-клинки ) формы

${ Displaystyle v_ {1} клин cdots клин v_ {к},}$

куда ${ displaystyle v_ {1}, ldots, v_ {k}}$ находятся в V.

А k-вектор такая линейная комбинация, которая однородный степени k (все условия k-кожи для одинаковых k). В зависимости от авторов «мультивектором» может быть либо k-вектор или любой элемент внешней алгебры (любая линейная комбинация k- лезвия с потенциально разными значениями k).^[4]

В дифференциальная геометрия, а k-вектор - это k-вектор во внешней алгебре касательное векторное пространство; то есть это антисимметричный тензор полученный взятием линейных комбинаций клин из k касательные векторы, для некоторого целого числа k ≥ 0. А k-форма это k-вектор во внешней алгебре двойной касательного пространства, которое также является двойственным к внешней алгебре касательного пространства.

За k = 0, 1, 2 и 3, k-векторы часто называются соответственно скаляры, векторов, бивекторы и тривекторы; они соответственно двойственны 0-формы, 1-формы, 2-формы и 3-формы.^[5][6]

Клин продукт

Операция произведения клина, используемая для построения мультивекторов, является линейной, ассоциативной и чередующейся, что отражает свойства определителя. Это означает для векторов ты, v и ш в векторном пространстве V и для скаляров α, β, изделие клина обладает свойствами:

• Линейный: ${ displaystyle mathbf {u} wedge ( alpha mathbf {v} + beta mathbf {w}) = alpha mathbf {u} wedge mathbf {v} + beta mathbf {u} клин mathbf {w};}$
• Ассоциативный: ${ displaystyle ( mathbf {u} wedge mathbf {v}) wedge mathbf {w} = mathbf {u} wedge ( mathbf {v} wedge mathbf {w}) = mathbf { u} wedge mathbf {v} wedge mathbf {w};}$
• Чередование: ${ displaystyle mathbf {u} wedge mathbf {v} = - mathbf {v} wedge mathbf {u}, quad mathbf {u} wedge mathbf {u} = 0.}$

Продукт п векторов называется оценкой п мультивектор, или п-вектор. Максимальная оценка многовектора - это размерность векторного пространства V.

Линейность произведения клина позволяет определить мультивектор как линейную комбинацию базисных мультивекторов. Есть (^п
_п) основа п-векторы в п-мерное векторное пространство.^[2]

Площадь и объем

В п-вектор, полученный из произведения клина п отдельные векторы в п-мерное пространство имеет компоненты, определяющие проецируемое (п − 1)-объемы п-параллелоэдр натянутые на векторы. Квадратный корень из суммы квадратов этих компонентов определяет объем п-параллелотоп.^[2][7]

Следующие примеры показывают, что бивектор в двух измерениях измеряет площадь параллелограмма, а величина бивектора в трех измерениях также измеряет площадь параллелограмма. Точно так же трехмерный вектор в трех измерениях измеряет объем параллелепипеда.

Легко проверить, что величина трехвектора в четырех измерениях измеряет объем параллелепипеда, охваченного этими векторами.

Мультивекторы в R²

Свойства мультивекторов можно увидеть, рассматривая двумерное векторное пространство V = р². Пусть базисные векторы равны е₁ и е₂, так ты и v даны

${ displaystyle mathbf {u} = u_ {1} mathbf {e} _ {1} + u_ {2} mathbf {e} _ {2}, quad mathbf {v} = v_ {1} mathbf {e} _ {1} + v_ {2} mathbf {e} _ {2},}$

и многовектор ты ∧ v, также называемый бивектором, вычисляется как

${ displaystyle mathbf {u} wedge mathbf {v} = { begin {vmatrix} u_ {1} & v_ {1} u_ {2} & v_ {2} end {vmatrix}} ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2}).}$

Вертикальные черты обозначают определитель матрицы, которая представляет собой площадь параллелограмма, натянутого на векторы ты и v. Величина ты ∧ v площадь этого параллелограмма. Обратите внимание, потому что V имеет размерность два базисный бивектор е₁ ∧ е₂ единственный мультивектор в ΛV.

Соотношение между величиной многовектора и площадью или объемом, охватываемым векторами, является важной характеристикой во всех измерениях. Кроме того, линейная функциональная версия многовектора, вычисляющего этот объем, известна как дифференциальная форма.

Мультивекторы в R³

Дополнительные особенности мультивекторов можно увидеть, рассматривая трехмерное векторное пространство. V = р³. В этом случае пусть базисные векторы равны е₁, е₂, и е₃, так ты, v и ш даны

${ displaystyle mathbf {u} = u_ {1} mathbf {e} _ {1} + u_ {2} mathbf {e} _ {2} + u_ {3} mathbf {e} _ {3} , quad mathbf {v} = v_ {1} mathbf {e} _ {1} + v_ {2} mathbf {e} _ {2} + v_ {3} mathbf {e} _ {3} , quad mathbf {w} = w_ {1} mathbf {e} _ {1} + w_ {2} mathbf {e} _ {2} + w_ {3} mathbf {e} _ {3} ,}$

и бивектор ты ∧ v вычисляется как

${ displaystyle mathbf {u} wedge mathbf {v} = { begin {vmatrix} u_ {2} & v_ {2} u_ {3} & v_ {3} end {vmatrix}} ( mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {3}) + { begin {vmatrix} u_ {1} & v_ {1} u_ {3} & v_ {3} end {vmatrix }} ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {3}) + { begin {vmatrix} u_ {1} & v_ {1} u_ {2} & v_ {2} end {vmatrix}} ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2}).}$

Компоненты этого бивектора такие же, как и компоненты перекрестного произведения. Величина этого бивектора - это квадратный корень из суммы квадратов его компонентов.

Это показывает, что величина бивектора ты ∧ v - площадь параллелограмма, натянутого на векторы ты и v поскольку он лежит в трехмерном пространстве V. Компоненты бивектора - это площади проекций параллелограмма на каждой из трех координатных плоскостей.

Обратите внимание, потому что V имеет размерность три, существует один базисный трехвектор в ΛV. Вычислить трехвекторный

${ displaystyle mathbf {u} wedge mathbf {v} wedge mathbf {w} = { begin {vmatrix} u_ {1} & v_ {1} & w_ {1} u_ {2} & v_ {2} & w_ {2} u_ {3} & v_ {3} & w_ {3} end {vmatrix}} ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2} клин mathbf {e} _ {3}).}$

Это показывает, что величина трехвекторного ты ∧ v ∧ ш - объем параллелепипеда, натянутого на три вектора ты, v и ш.

В многомерных пространствах составляющие трехмерных векторов являются проекциями объема параллелепипеда на координатные трехмерные пространства, а величина трехмерного вектора - это объем параллелепипеда, находящегося в многомерном пространстве.

Координаты Грассмана

В этом разделе мы рассмотрим мультивекторы на проективное пространство п^п, которые обеспечивают удобный набор координат для линий, плоскостей и гиперплоскостей, обладающих свойствами, аналогичными однородным координатам точек, называемых Координаты Грассмана.^[8]

Точки в реальном проективном пространстве п^п определены как линии, проходящие через начало координат векторного пространства р^п+1. Например, проективная плоскость п² это набор линий, проходящих через начало координат р³. Таким образом, мультивекторы, определенные на р^п+1 можно рассматривать как многовекторные на п^п.

Удобный способ просмотра мультивектора на п^п изучить его в аффинная составляющая из п^п, который является пересечением прямых через начало координат р^п+1 с выбранной гиперплоскостью, например ЧАС: Икс_п+1 = 1. Линии через происхождение р³ пересечь плоскость E: z = 1 определить аффинную версию проективной плоскости, в которой отсутствуют только точки, для которых z = 0, называемые бесконечно удаленными точками.

Мультивекторы на п²

Точки в аффинном компоненте E: z = 1 проективной плоскости имеют координаты Икс = (Икс, у, 1). Линейная комбинация двух точек п = (п₁, п₂, 1) и q = (q₁, q₂, 1) определяет самолет в р³ который пересекает E на линии, соединяющей п и q. Мультивектор п ∧ q определяет параллелограмм в р³ данный

${ displaystyle mathbf {p} wedge mathbf {q} = (p_ {2} -q_ {2}) ( mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {3} ) + (p_ {1} -q_ {1}) ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {3}) + (p_ {1} q_ {2} -q_ {1} p_ {2}) ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2}).}$

Обратите внимание, что замена αп + βq за п умножает многовектор на константу. Следовательно, компоненты п ∧ q являются однородными координатами плоскости, проходящей через начало координат р³.

Набор точек Икс = (Икс, у, 1) на линии через п и q пересечение плоскости, определяемой п ∧ q с самолетом E: z = 1. Эти точки удовлетворяют Икс ∧ п ∧ q = 0, то есть,

${ Displaystyle mathbf {x} клин mathbf {p} wedge mathbf {q} = (x mathbf {e} _ {1} + y mathbf {e} _ {2} + mathbf {e} _ {3}) wedge { big (} (p_ {2} -q_ {2}) ( mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {3}) + ( p_ {1} -q_ {1}) ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {3}) + (p_ {1} q_ {2} -q_ {1} p_ {2 }) ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2}) { big)} = 0,}$

что упрощается до уравнения линии

${ displaystyle lambda: x (p_ {2} -q_ {2}) + y (p_ {1} -q_ {1}) + (p_ {1} q_ {2} -q_ {1} p_ {2}) ) = 0.}$

Этому уравнению удовлетворяют точки Икс = αп + βq для реальных значений α и β.

Три компонента п ∧ q которые определяют линию λ называются Координаты Грассмана линии. Поскольку три однородные координаты определяют как точку, так и линию, геометрия точек называется двойственной геометрии прямых на проективной плоскости. Это называется принцип двойственности.

Мультивекторы на п³

Трехмерное проективное пространство, п³ состоит из всех линий, проходящих через начало координат р⁴. Пусть трехмерная гиперплоскость, ЧАС: ш = 1, - аффинная компонента проективного пространства, определяемая точками Икс = (Икс, у, z, 1). Мультивектор п ∧ q ∧ р определяет параллелепипед в р⁴ данный

${ displaystyle mathbf {p} wedge mathbf {q} wedge mathbf {r} = { begin {vmatrix} p_ {2} & q_ {2} & r_ {2} p_ {3} & q_ {3 } & r_ {3} 1 & 1 & 1 end {vmatrix}} mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {3} wedge mathbf {e} _ {4} + { begin { vmatrix} p_ {1} & q_ {1} & r_ {1} p_ {3} & q_ {3} & r_ {3} 1 & 1 & 1 end {vmatrix}} mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {3} wedge mathbf {e} _ {4} + { begin {vmatrix} p_ {1} & q_ {1} & r_ {1} p_ {2} & q_ {2} & r_ {2 } 1 & 1 & 1 end {vmatrix}} mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {4} + { begin {vmatrix} p_ { 1} & q_ {1} & r_ {1} p_ {2} & q_ {2} & r_ {2} p_ {3} & q_ {3} & r_ {3} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {3}.}$

Обратите внимание, что замена αп + βq + γр за п умножает многовектор на константу. Следовательно, компоненты п ∧ q ∧ р являются однородными координатами для трехмерного пространства через начало координат р⁴.

Плоскость в аффинной компоненте ЧАС: ш = 1 это набор точек Икс = (Икс, у, z, 1) в пересечении H с 3-пространством, определяемым п ∧ q ∧ р. Эти точки удовлетворяют Икс ∧ п ∧ q ∧ р = 0, то есть,

${ displaystyle mathbf {x} wedge mathbf {p} wedge mathbf {q} wedge mathbf {r} = (x mathbf {e} _ {1} + y mathbf {e} _ { 2} + z mathbf {e} _ {3} + mathbf {e} _ {4}) wedge mathbf {p} wedge mathbf {q} wedge mathbf {r} = 0,}$

что упрощается до уравнения плоскости

${ displaystyle lambda: x { begin {vmatrix} p_ {2} & q_ {2} & r_ {2} p_ {3} & q_ {3} & r_ {3} 1 & 1 & 1 end {vmatrix}} + y { begin {vmatrix} p_ {1} & q_ {1} & r_ {1} p_ {3} & q_ {3} & r_ {3} 1 & 1 & 1 end {vmatrix}} + z { begin {vmatrix} p_ {1} & q_ {1} & r_ {1} p_ {2} & q_ {2} & r_ {2} 1 & 1 & 1 end {vmatrix}} + { begin {vmatrix} p_ {1} & q_ {1} & r_ {1} p_ {2} & q_ {2} & r_ {2} p_ {3} & q_ {3} & r_ {3} end {vmatrix}} = 0.}$

Этому уравнению удовлетворяют точки Икс = αп + βq + γр для реальных ценностей α, β и γ.

Четыре компонента п ∧ q ∧ р которые определяют самолет λ называются Координаты Грассмана самолета. Поскольку четыре однородные координаты определяют как точку, так и плоскость в проективном пространстве, геометрия точек двойственна геометрии плоскостей.

Линия как соединение двух точек: В проективном пространстве линия λ через две точки п и q можно рассматривать как пересечение аффинного пространства ЧАС: ш = 1 с самолетом Икс = αп + βq в р⁴. Мультивектор п ∧ q обеспечивает однородные координаты для линии

${ displaystyle lambda: mathbf {p} wedge mathbf {q} = (p_ {1} mathbf {e} _ {1} + p_ {2} mathbf {e} _ {2} + p_ { 3} mathbf {e} _ {3} + mathbf {e} _ {4}) wedge (q_ {1} mathbf {e} _ {1} + q_ {2} mathbf {e} _ { 2} + q_ {3} mathbf {e} _ {3} + mathbf {e} _ {4}),}$

${ displaystyle qquad = { begin {vmatrix} p_ {1} & q_ {1} 1 & 1 end {vmatrix}} mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {4} + { begin {vmatrix} p_ {2} & q_ {2} 1 & 1 end {vmatrix}} mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {4} + { begin {vmatrix} p_ {3} & q_ {3} 1 & 1 end {vmatrix}} mathbf {e} _ {3} wedge mathbf {e} _ {4} + { begin {vmatrix} p_ {2} & q_ { 2} p_ {3} & q_ {3} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {3} + { begin {vmatrix} p_ {3} & q_ {3} p_ {1} & q_ {1} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {3} wedge mathbf {e} _ {1} + { begin {vmatrix} p_ {1} & q_ {1} p_ {2} & q_ {2} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2}.}$

Они известны как Координаты Плюккера линии, хотя они также являются примером координат Грассмана.

Линия как пересечение двух плоскостей: Линия μ в проективном пространстве также можно определить как множество точек Икс которые образуют пересечение двух плоскостей π и ρ определяется многовекторами третьей степени, поэтому точки Икс являются решениями линейных уравнений

${ displaystyle mu: mathbf {x} wedge pi = 0, mathbf {x} wedge rho = 0.}$

Чтобы получить координаты Плюккера линии μ, сопоставить мультивекторы π и ρ к их двойным координатам точек, используя Звездный оператор Ходжа,^[2]

${ displaystyle mathbf {e} _ {1} = { star} ( mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {3} wedge mathbf {e} _ {4}) , - mathbf {e} _ {2} = { star} ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {3} wedge mathbf {e} _ {4}), mathbf {e} _ {3} = { star} ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {4}), - mathbf {e} _ {4} = { star} ( mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {3}),}$

тогда

${ displaystyle { star} pi = pi _ {1} mathbf {e} _ {1} + pi _ {2} mathbf {e} _ {2} + pi _ {3} mathbf {e} _ {3} + pi _ {4} mathbf {e} _ {4}, quad { star} rho = rho _ {1} mathbf {e} _ {1} + rho _ {2} mathbf {e} _ {2} + rho _ {3} mathbf {e} _ {3} + rho _ {4} mathbf {e} _ {4}.}$

Итак, координаты Плюккера линии μ даны

${ displaystyle mu: ({ star} pi) wedge ({ star} rho) = { begin {vmatrix} pi _ {1} & rho _ {1} pi _ { 4} & rho _ {4} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {4} + { begin {vmatrix} pi _ {2} & rho _ {2} pi _ {4} & rho _ {4} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {4} + { begin {vmatrix} pi _ {3} & rho _ {3} pi _ {4} & rho _ {4} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {3} wedge mathbf {e} _ {4} + { begin {vmatrix} pi _ {2} & rho _ {2} pi _ {3} & rho _ {3} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {2} wedge mathbf {e} _ {3} + { begin {vmatrix} pi _ {3} & rho _ {3} pi _ {1} & rho _ {1} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {3} wedge mathbf {e} _ {1} + { begin {vmatrix} pi _ {1} & rho _ {1} pi _ {2} & rho _ {2} end {vmatrix}} mathbf {e} _ {1} wedge mathbf {e} _ {2}.}$

Поскольку шесть однородных координат прямой могут быть получены из соединения двух точек или пересечения двух плоскостей, линия называется самодуальной в проективном пространстве.

Клиффорд продукт

В. К. Клиффорд комбинированные мультивекторы с внутренний продукт определены на векторном пространстве, чтобы получить общую конструкцию гиперкомплексных чисел, которая включает обычные комплексные числа и кватернионы.^[9][10]

Произведение Клиффорда между двумя векторами ты и v является линейным и ассоциативным, как произведение клина, и обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что многовекторный УФ соединяется с внутренним продуктом ты · v по соотношению Клиффорда,

${ displaystyle mathbf {u} mathbf {v} + mathbf {v} mathbf {u} = 2 mathbf {u} cdot mathbf {v}.}$

Отношение Клиффорда сохраняет свойство альтернированности для произведения перпендикулярных векторов. Это можно увидеть для ортогональных единичных векторов е_я, я = 1, ..., п в р^п. Соотношение Клиффорда дает

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} mathbf {e} _ {j} + mathbf {e} _ {j} mathbf {e} _ {i} = 2 mathbf {e} _ {i } cdot mathbf {e} _ {j} = 0,}$

поэтому базисные векторы чередуются,

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} mathbf {e} _ {j} = - mathbf {e} _ {j} mathbf {e} _ {i}, quad i neq j = 1 , ldots, n.}$

В отличие от произведения клина, произведение Клиффорда вектора на самого себя больше не равно нулю. Чтобы увидеть это, вычислите продукт,

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} mathbf {e} _ {i} + mathbf {e} _ {i} mathbf {e} _ {i} = 2 mathbf {e} _ {i } cdot mathbf {e} _ {i} = 2,}$

что дает

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} mathbf {e} _ {i} = 1, quad i = 1, ldots, n.}$

Набор мультивекторов, построенный с использованием произведения Клиффорда, дает ассоциативную алгебру, известную как Алгебра Клиффорда. Внутренние произведения с разными свойствами можно использовать для построения различных алгебр Клиффорда.^[11][12]

Геометрическая алгебра

Период, термин k-лезвие использовался в Алгебра Клиффорда в геометрическое исчисление (1984)^[13]

Мультивекторы играют центральную роль в математической формулировке физики, известной как геометрическая алгебра. В соответствии с Дэвид Хестенес,

[Нескалярные] k-векторы иногда называют k-лезвия или просто лезвия чтобы подчеркнуть тот факт, что, в отличие от 0-векторов (скаляров), они обладают «свойствами направленности».^[14]

В 2003 г. срок лезвие в качестве мультивектора использовали К. Доран и А. Ласенби.^[15]

В геометрическая алгебра, многовектор определяется как сумма разнородных k-клинки, например, суммирование скаляр, а вектор, а 2-вектор.^[16] Сумма всего k-сорт компонентов называется k-вектор,^[17] или однородный многовекторность.^[18]

Элемент высшего класса в пространстве называется псевдоскалярный.

Если данный элемент однороден по сорту k, то это k-вектор, но не обязательно k-лезвие. Такой элемент является k-клинок, если его можно выразить как произведение клина k векторов. Геометрическая алгебра, сгенерированная 4-мерным евклидовым векторным пространством, иллюстрирует эту точку на примере: сумма любых двух лопастей, одна из которых берется из плоскости XY, а другая - из плоскости ZW, образует 2-вектор, который не двухлопастный. В геометрической алгебре, порожденной евклидовым векторным пространством размерности 2 или 3, все суммы 2-лезвий могут быть записаны как единственные 2-лезвия.

Примеры

Ориентация определяется упорядоченным набором векторов.

Перевернутая ориентация соответствует отрицанию внешнего вида продукта.

Геометрическая интерпретация оценки п элементы в реальной внешней алгебре для п = 0 (точка со знаком), 1 (направленный отрезок или вектор), 2 (элемент ориентированной плоскости), 3 (ориентированный объем). Внешний продукт п векторы можно визуализировать как любые п-размерная форма (например, п-параллелоэдр, п-эллипсоид ); с величиной (гиперобъем ), и ориентация определяется тем, что на его (п − 1)-мерная граница и с какой стороны находится интерьер.^[19][20]

• 0-векторы - скаляры;
• 1-векторы - это векторы;
• 2-векторы бивекторы;
• (п - 1) -вектора псевдовекторы;
• п-векторы псевдоскаляры.

При наличии объемная форма (например, с учетом внутренний продукт и ориентация), псевдовекторы и псевдоскаляры могут быть идентифицированы с помощью векторов и скаляров, что является обычным делом в векторное исчисление, но без объемной формы это невозможно сделать без выбора.

в алгебра физического пространства (геометрическая алгебра евклидова трехмерного пространства, используемая как модель (3 + 1) -пространства-времени), сумма скаляра и вектора называется паравектор, и представляет точку в пространстве-времени (вектор - пространство, скаляр - время).

Бивекторы

А бивектор является элементом антисимметричный тензорное произведение из касательное пространство с собой.

В геометрическая алгебра, также бивектор элемент 2 степени (2-вектор), полученный в результате клин двух векторов, так что геометрически ориентированная область, таким же образом вектор ориентированный отрезок прямой. Если а и б два вектора, бивектор а ∧ б имеет

• а норма которая является его площадью, задаваемой

  ${ Displaystyle влево | mathbf {a} клин mathbf {b} right | = left | mathbf {a} right | , left | mathbf {b} right | , sin ( phi _ {a, b})}$

• направление: плоскость, на которой расположена эта область, то есть плоскость, определяемая а и б, пока они линейно независимы;
• ориентация (из двух), определяемая порядком умножения исходных векторов.

Бивекторы подключены к псевдовекторы, и используются для представления поворотов в геометрической алгебре.

Поскольку бивекторы являются элементами векторного пространства Λ²V (куда V конечномерное векторное пространство с тусклый V = п) имеет смысл определить внутренний продукт на этом векторном пространстве следующим образом. Сначала напишите любой элемент F ∈ Λ²V с точки зрения основы (е_я ∧ е_j)_{1 ≤ я < j ≤ п} из Λ²V в качестве

${ Displaystyle F = F ^ {ab} mathbf {e} _ {a} wedge mathbf {e} _ {b} quad (1 leq a$

где Соглашение о суммировании Эйнштейна используется.

Теперь определите карту G: Λ²V × Λ²V → р настаивая на том, что

${ Displaystyle G (F, H): = G_ {abcd} F ^ {ab} H ^ {cd},}$

куда ${ displaystyle G_ {abcd}}$ представляют собой набор чисел.

Приложения