Леви-Чивита связь - Levi-Civita connection

В Риманов или же псевдориманова геометрия (в частности Лоренцева геометрия из общая теория относительности ), Леви-Чивита связь уникальный связь на касательный пучок из многообразие (т.е. аффинная связь ) который сохраняет (псевдо- )Риманова метрика и является кручение -свободный.

В основная теорема римановой геометрии утверждает, что существует уникальное соединение, которое удовлетворяет этим свойствам.

В теории Риманов и псевдоримановы многообразия период, термин ковариантная производная часто используется для соединения Леви-Чивита. Компоненты этой связи относительно системы локальных координат называются Символы Кристоффеля.

История

Связь Леви-Чивита названа в честь Туллио Леви-Чивита, хотя первоначально "обнаружен" Элвин Бруно Кристоффель. Леви-Чивита,^[1] вместе с Грегорио Риччи-Курбастро, использовал символы Кристоффеля^[2] определить понятие параллельный транспорт и исследуем взаимосвязь параллельного транспорта с кривизна, развивая современное понятие голономия.^[3]

Представления Леви-Чивиты о внутренняя производная и параллельное перемещение вектора вдоль кривой имеет смысл на абстрактном римановом многообразии, даже если исходная мотивация опиралась на конкретное вложение

{ displaystyle M ^ {n} subset mathbf {R} ^ { frac {n (n + 1)} {2}},}

поскольку определение символов Кристоффеля имеет смысл в любом римановом многообразии. В 1869 году Кристоффель обнаружил, что компоненты внутренней производной вектора преобразуются как компоненты контравариантного вектора. Это открытие стало настоящим началом тензорного анализа. Только в 1917 году Леви-Чивита интерпретировал внутреннюю производную в случае вложенной поверхности как касательную составляющую обычной производной в окружающем аффинном пространстве.

Замечание

В 1906 г. Л. Э. Дж. Брауэр был первым математик рассмотреть параллельный транспорт из вектор в случае пространства постоянная кривизна.^[4]^[5] В 1917 г. Леви-Чивита указал на его важность для случая гиперповерхность погруженный в Евклидово пространство, т.е. для случая Риманово многообразие встроен в «большее» окружающее пространство.^[1] В 1918 году, независимо от Леви-Чивиты, Ян Арнольдус Схоутен получил аналогичные результаты.^[6] В том же году, Герман Вейль обобщил результаты Леви-Чивиты.^[7]^[8]

Обозначение

$(M, грамм)$ обозначает Риманов или же псевдориманово многообразие.
$TM$ это касательный пучок из $M$ .
$грамм$ это Риманов или же псевдориманова метрика из $M$ .
$Икс, Y, Z$ гладкие векторные поля на $M$ , я. е. гладкий разделы из $TM$ .
$[Икс, Y]$ это Кронштейн лжи из $Икс$ и $Y$ . Это снова гладкое векторное поле.

Метрика $грамм$ может принимать до двух векторов или векторных полей $Икс, Y$ как аргументы. В первом случае на выходе будет число, (псевдо)внутренний продукт из $Икс$ и $Y$ . В последнем случае внутренний продукт $Икс п, Y п$ берется во всех точках $п$ на коллекторе так, чтобы $грамм (Икс, Y)$ определяет гладкую функцию на $M$ . Векторные поля действуют (по определению) как дифференциальные операторы на гладких функциях. В местных координатах ${ displaystyle (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ , действие гласит

{ displaystyle X (f) = X ^ {i} { frac { partial} { partial x ^ {i}}} f = X ^ {i} partial _ {i} f}

куда Эйнштейна соглашение о суммировании используется.

Формальное определение

An аффинная связь $\nabla$ называется связностью Леви-Чивиты, если

он сохраняет метрику, т.е. $\nabla грамм = 0$ .
это кручение -свободный, т.е. для любых векторных полей $Икс$ и $Y$ у нас есть $\nabla Икс Y - \nabla Y Икс = [Икс, Y]$ , куда $[Икс, Y]$ это Кронштейн лжи из векторные поля $Икс$ и $Y$ .

Условие 1 выше иногда называют совместимость с метрикой, а условие 2 иногда называют симметрией, ср. Текст ду Карму.

Основная теорема (псевдо) римановой геометрии

Теорема Каждое псевдориманово многообразие ${ displaystyle (M, g)}$ имеет уникальное соединение Леви Чивита ${ displaystyle nabla}$ .

доказательство: Если соединение Леви-Чивита существует, оно должно быть уникальным. Чтобы убедиться в этом, разгадайте определение действия связи на тензоры, чтобы найти

{ Displaystyle Икс { bigl (} г (Y, Z) { bigr)} = ( набла _ {X} г) (Y, Z) + г ( набла _ {X} Y, Z) + г (Y, nabla _ {X} Z).}

Следовательно, мы можем записать условие 1 в виде

{ displaystyle X { bigl (} g (Y, Z) { bigr)} = g ( nabla _ {X} Y, Z) + g (Y, nabla _ {X} Z).}

По симметрии метрического тензора ${ displaystyle g}$ затем мы находим:

{ displaystyle X { bigl (} g (Y, Z) { bigr)} + ​​Y { bigl (} g (Z, X) { bigr)} - Z { bigl (} g (Y, X ) { bigr)} = g ( nabla _ {X} Y + nabla _ {Y} X, Z) + g ( nabla _ {X} Z- nabla _ {Z} X, Y) + g ( nabla _ {Y} Z- nabla _ {Z} Y, X).}

Следовательно, по условию 2 правая часть равна

{ displaystyle 2g ( nabla _ {X} Y, Z) -g ([X, Y], Z) + g ([X, Z], Y) + g ([Y, Z], X),}

и мы находим Кошул формула

{ displaystyle g ( nabla _ {X} Y, Z) = { tfrac {1} {2}} { Big {} X { bigl (} g (Y, Z) { bigr)} + Y { bigl (} g (Z, X) { bigr)} - Z { bigl (} g (X, Y) { bigr)} + ​​g ([X, Y], Z) -g ([ Y, Z], X) -g ([X, Z], Y) { Big }}.}

Следовательно, если связь Леви-Чивита существует, она должна быть уникальной, потому что ${ displaystyle Z}$ произвольно, ${ displaystyle g}$ невырожден, и правая часть не зависит ${ displaystyle nabla}$ .

Чтобы доказать существование, отметим, что для данного векторного поля ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ , правая часть выражения Кошуля является функционально-линейной в векторном поле ${ displaystyle Z}$ , а не просто линейный. Следовательно, в силу невырожденности ${ displaystyle g}$ , правая часть однозначно определяет некоторое новое векторное поле, которое мы предположительно обозначаем ${ displaystyle nabla _ {X} Y}$ как в левой части. Подставляя формулу Кошуля, теперь проверяется, что для всех векторных полей ${ displaystyle X, Y, Z}$ , и все функции ${ displaystyle f}$

{ displaystyle g ( nabla _ {X} (Y_ {1} + Y_ {2}), Z) = g ( nabla _ {X} Y_ {1}, Z) + g ( nabla _ {X} Y_ {2}, Z)}

{ displaystyle g ( nabla _ {X} (fY), Z) = X (f) g (Y, Z) + fg ( nabla _ {X} Y, Z)}

{ displaystyle g ( nabla _ {X} Y, Z) + g ( nabla _ {X} Z, Y) = X { bigl (} g (Y, Z) { bigr)}}

{ displaystyle g ( nabla _ {X} Y, Z) -g ( nabla _ {Y} X, Z) = g ([X, Y], Z).}

Следовательно, выражение Кошуля действительно определяет связь, и эта связь совместима с метрикой и не имеет кручения, то есть является (следовательно, связностью Леви-Чивиты).

Обратите внимание, что с небольшими изменениями это же доказательство показывает, что существует единственная связность, совместимая с метрикой и имеющая заданное кручение.

Символы Кристоффеля

Позволять ${ displaystyle nabla}$ - аффинная связность на касательном расслоении. Выберите местные координаты ${ Displaystyle х ^ {1}, ldots, х ^ {п}}$ с координатными базисными векторными полями ${ Displaystyle partial _ {1}, ldots, partial _ {n}}$ и писать ${ displaystyle nabla _ {j}}$ за ${ displaystyle nabla _ { partial _ {j}}}$ . В Символы Кристоффеля ${ displaystyle Gamma _ {jk} ^ {l}}$ из ${ displaystyle nabla}$ относительно этих координат определяются как

{ displaystyle nabla _ {j} partial _ {k} = Gamma _ {jk} ^ {l} partial _ {l}}

Символы Кристоффеля, наоборот, определяют связь ${ displaystyle nabla}$ в координатной окрестности, потому что

{ displaystyle nabla _ {X} Y = nabla _ {X ^ {j} partial _ {j}} Y = X ^ {j} nabla _ {j} Y = X ^ {j} nabla _ {j} (Y ^ {k} partial _ {k}) = X ^ {j} { bigl (} partial _ {j} (Y ^ {k}) partial _ {k} + Y ^ { k} nabla _ {j} partial _ {k} { bigr)} = X ^ {j} { bigl (} partial _ {j} (Y ^ {k}) partial _ {k} + Y ^ {k} Gamma _ {jk} ^ {l} partial _ {l} { bigr)} = X ^ {j} { bigl (} partial _ {j} (Y ^ {l}) + Y ^ {k} Gamma _ {jk} ^ {l} { bigr)} partial _ {l}}

т.е.

{ displaystyle ( nabla _ {j} Y) ^ {l} = partial _ {j} Y ^ {l} + Gamma _ {jk} ^ {l} Y ^ {k}}

Аффинная связь ${ displaystyle nabla}$ совместима с метрикой тогда и только тогда, когда

{ displaystyle partial _ {i} { bigl (} g ( partial _ {j}, partial _ {k}) { bigr)} = g ( nabla _ {i} partial _ {j} , partial _ {k}) + g ( partial _ {j}, nabla _ {i} partial _ {k}) = g ( Gamma _ {ij} ^ {l} partial _ {l} , partial _ {k}) + g ( partial _ {j}, Gamma _ {ik} ^ {l} partial _ {l})}

т.е. если и только тогда

{ displaystyle partial _ {i} g_ {jk} = Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {lk} + Gamma _ {ik} ^ {l} g_ {jl}.}

Аффинная связь $\nabla$ без кручения тогда и только тогда

{ displaystyle nabla _ {i} partial _ {j} - nabla _ {j} partial _ {i} = ( Gamma _ {jk} ^ {l} - Gamma _ {kj} ^ {l }) partial _ {l} = [ partial _ {i}, partial _ {j}] = 0.}

т.е. если и только тогда

{ Displaystyle Gamma _ {jk} ^ {l} = Gamma _ {kj} ^ {l}}

симметричен по двум нижним индексам.

Как проверяют, принимая за ${ displaystyle X, Y, Z}$ , координатные векторные поля ${ displaystyle partial _ {j}, partial _ {k}, partial _ {l}}$ (или вычисляет напрямую), полученное выше выражение Кошуля связи Леви-Чивиты эквивалентно определению символов Кристоффеля в терминах метрики как

{ displaystyle Gamma _ {jk} ^ {l} = { tfrac {1} {2}} g ^ {lr} left ( partial _ {k} g_ {rj} + partial _ {j} g_ {rk} - partial _ {r} g_ {jk} right)}

где как обычно ${ displaystyle g ^ {ij}}$ - коэффициенты двойственного метрического тензора, т.е. элементы обратной матрицы ${ displaystyle g_ {kl}}$ .

Производная по кривой

Связность Леви-Чивита (как и любая аффинная связность) также определяет производную по кривые, иногда обозначается $D$ .

Учитывая плавную кривую $γ$ на $(M, грамм)$ и векторное поле $V$ вдоль $γ$ его производная определяется как

{ Displaystyle D_ {t} V = nabla _ {{ dot { gamma}} (t)} V.}

Формально, $D$ это обратное соединение $γ *\nabla$ на обратный пакет $γ * TM$ .

Особенно, ${ Displaystyle { точка { gamma}} (т)}$ векторное поле вдоль кривой $γ$ сам. Если ${ Displaystyle набла _ { точка { гамма}} (т)} { точка { гамма}} (т)}$ обращается в нуль, кривая называется геодезической ковариантной производной. Формально условие можно переформулировать как исчезновение обратной связи, применяемое к ${ displaystyle { dot { gamma}}}$ :

{ displaystyle left ( gamma ^ {*} nabla right) { dot { gamma}} эквив 0.}

Если ковариантная производная является связностью Леви-Чивиты некоторой метрики, то геодезические для этой связности - это в точности те, которые геодезические из метрика которые параметризованы пропорционально длине дуги.

Параллельный транспорт

В целом, параллельный транспорт вдоль кривой относительно соединения определяет изоморфизмы между касательными пространствами в точках кривой. Если связность является связностью Леви-Чивиты, то эти изоморфизмы ортогональный - то есть они сохраняют скалярные произведения в различных касательных пространствах.

На изображениях ниже показан параллельный перенос связи Леви-Чивиты, связанный с двумя разными римановыми метриками на плоскости, выраженный в полярные координаты. Метрика левого изображения соответствует стандарту Евклидова метрика ${ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d theta ^ {2}}$ , а метрика справа имеет стандартный вид в полярных координатах и, таким образом, сохраняет вектор ${ Displaystyle { partial over partial theta}}$ касательная к окружности. Эта вторая метрика имеет сингулярность в начале координат, что можно увидеть, выразив ее в декартовых координатах:

{ displaystyle dr = { frac {xdx + ydy} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}}

{ displaystyle d theta = { frac {xdy-ydx} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}

{ displaystyle dr ^ {2} + d theta ^ {2} = { frac {(xdx + ydy) ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} + { frac { (xdy-ydx) ^ {2}} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}}}

Параллельные перевозки под соединениями Леви-Чивита

Этот транспорт определяется метрикой

{ displaystyle ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d theta ^ {2}}

.

Этот транспорт определяется метрикой

{ displaystyle ds ^ {2} = dr ^ {2} + d theta ^ {2}}

.

Пример: единичная сфера в $р 3$

Позволять $⟨ , ⟩$ быть обычным скалярное произведение на $р 3$ . Позволять $S 2$ быть единичная сфера в $р 3$ . Касательное пространство к $S 2$ в какой-то момент $м$ естественно отождествляется с векторным подпространством $р 3$ состоящий из всех векторов, ортогональных $м$ . Отсюда следует, что векторное поле $Y$ на $S 2$ можно рассматривать как карту $Y : S 2 \to р 3$ , что удовлетворяет

{ displaystyle { bigl langle} Y (m), m { bigr rangle} = 0, qquad forall m in mathbf {S} ^ {2}.}

Обозначим как $d м Y (Икс)$ в ковариантная производная карты $Y$ в направлении вектора $Икс$ . Тогда у нас есть:

Лемма: Формула

{ displaystyle left ( nabla _ {X} Y right) (m) = d_ {m} Y (X) + langle X (m), Y (m) rangle m}

определяет аффинную связь на

S 2

с исчезающим кручением.

Доказательство: Несложно доказать, что

\nabla

удовлетворяет тождеству Лейбница и является

C \infty (S 2)

линейный по первой переменной. Это также простое вычисление, чтобы показать, что это соединение не имеет кручения. Итак, все, что здесь нужно доказать, - это то, что приведенная выше формула действительно определяет векторное поле. То есть нам нужно доказать, что для всех

м

в

S 2

{ displaystyle { bigl langle} left ( nabla _ {X} Y right) (m), m { bigr rangle} = 0 qquad (1).}

Рассмотрим карту

ж

который отправляет каждый

м

в

S 2

к

⟨ Y (м), м ⟩

, который всегда равен 0. Карта

ж

постоянно, следовательно, его дифференциал равен нулю. Особенно

{ Displaystyle d_ {м} е (Икс) = { bigl langle} d_ {м} Y (X), м { bigr rangle} + { bigl langle} Y (м), X (м) { bigr rangle} = 0.}

Уравнение (1) выше следует. Q.E.D.

Фактически эта связь является связностью Леви-Чивиты для метрики на $S 2$ унаследовано от $р 3$ . Действительно, можно проверить, что эта связь сохраняет метрику.

Смотрите также

Связь Weitzenböck

Примечания

^ ^а ^б Леви-Чивита, Туллио (1917). "Nozione di parallelismo in una varietà qualunque" [Понятие параллелизма на любом многообразии]. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на итальянском). 42: 173–205. Дои:10.1007 / BF03014898. JFM 46.1125.02.
^ Кристоффель, Элвин Б. (1869). "Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1869 (70): 46–70. Дои:10.1515 / crll.1869.70.46.
^ Видеть Спивак Михаил (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том II). Опубликовать или исчезнуть Press. п. 238. ISBN 0-914098-71-3.
^ Брауэр, Л. Э. Дж. (1906). "Het krachtveld der niet-Euclidische, negatief gekromde ruimten". Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Верслаген. 15: 75–94.
^ Брауэр, Л. Э. Дж. (1906). «Силовое поле неевклидовых пространств с отрицательной кривизной». Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Труды. 9: 116–133.
^ Схоутен, Ян Арнольдус (1918). "Die direkte Analysis zur neueren Relativiteitstheorie". Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen Te Amsterdam. 12 (6): 95.
^ Вейль, Германн (1918). «Гравитация и электричество». Sitzungsberichte Berliner Akademie: 465–480.
^ Вейль, Герман (1918). "Инфинитезимальная геометрия Рейне". Mathematische Zeitschrift. 2 (3–4): 384–411. Дои:10.1007 / bf01199420.

внешняя ссылка

«Связь Леви-Чивита», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
MathWorld: Связь Леви-Чивита
PlanetMath: Связь Леви-Чивита
Леви-Чивита связь в Manifold Atlas

[Levi-Civita1917-1] а ^б Леви-Чивита, Туллио (1917). "Nozione di parallelismo in una varietà qualunque" [Понятие параллелизма на любом многообразии]. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на итальянском). 42: 173–205. Дои:10.1007 / BF03014898. JFM 46.1125.02.

[2] Кристоффель, Элвин Б. (1869). "Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1869 (70): 46–70. Дои:10.1515 / crll.1869.70.46.

[3] Видеть Спивак Михаил (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том II). Опубликовать или исчезнуть Press. п. 238. ISBN 0-914098-71-3.

[4] Брауэр, Л. Э. Дж. (1906). "Het krachtveld der niet-Euclidische, negatief gekromde ruimten". Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Верслаген. 15: 75–94.

[5] Брауэр, Л. Э. Дж. (1906). «Силовое поле неевклидовых пространств с отрицательной кривизной». Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Труды. 9: 116–133.

[6] Схоутен, Ян Арнольдус (1918). "Die direkte Analysis zur neueren Relativiteitstheorie". Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen Te Amsterdam. 12 (6): 95.

[7] Вейль, Германн (1918). «Гравитация и электричество». Sitzungsberichte Berliner Akademie: 465–480.

[8] Вейль, Герман (1918). "Инфинитезимальная геометрия Рейне". Mathematische Zeitschrift. 2 (3–4): 384–411. Дои:10.1007 / bf01199420.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Леви-Чивита связь - Levi-Civita connection

Содержание

История

Замечание

Обозначение

Формальное определение

Основная теорема (псевдо) римановой геометрии

Символы Кристоффеля

Производная по кривой

Параллельный транспорт

Пример: единичная сфера в $р 3$

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

Леви-Чивита связь - Levi-Civita connection

История

Замечание

Обозначение

Формальное определение

Основная теорема (псевдо) римановой геометрии

Символы Кристоффеля

Производная по кривой

Параллельный транспорт

Пример: единичная сфера в р3

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

Пример: единичная сфера в $р 3$