Электромагнитный тензор - Electromagnetic tensor

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статичное электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Магнитный векторный потенциал Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор (тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер

В электромагнетизм, то электромагнитный тензор или же тензор электромагнитного поля (иногда называют тензор напряженности поля, Тензор Фарадея или же Бивектор Максвелла) - математический объект, описывающий электромагнитное поле в пространстве-времени. Тензор поля был впервые использован после четырехмерного тензор формулировка специальная теория относительности был представлен Герман Минковски. Тензор позволяет очень кратко записать связанные физические законы.

Определение

Электромагнитный тензор, условно обозначаемый F, определяется как внешняя производная из электромагнитный четырехпотенциальный, А, дифференциальная 1-форма:^[1][2]

${ Displaystyle F { stackrel { mathrm {def}} {=}} mathrm {d} A.}$

Следовательно, F это дифференциальная 2-форма Т. Е. Антисимметричное тензорное поле ранга 2 - на пространстве Минковского. В компонентной форме

${ displaystyle F _ { mu nu} = partial _ { mu} A _ { nu} - partial _ { nu} A _ { mu}.}$

куда ${ displaystyle partial}$ это четырехступенчатый и ${ displaystyle A}$ это четырехпотенциальный.

Единицы СИ для уравнений Максвелла и Знаковое соглашение физика частиц для подпись из Пространство Минковского (+ − − −), будет использоваться в этой статье.

Связь с классическими полями

В электрический и магнитные поля можно получить из компонент электромагнитного тензора. Отношения проще всего в Декартовы координаты:

${ displaystyle E_ {i} = cF_ {0i},}$

куда c это скорость света, и

${ displaystyle B_ {i} = - { frac {1} {2}} epsilon _ {ijk} F ^ {jk},}$

куда ${ displaystyle epsilon _ {ijk}}$ это Тензор Леви-Чивиты. Это дает поля в определенной системе отсчета; при изменении системы отсчета компоненты электромагнитного тензора будут преобразовывать ковариантно, а поля в новом фрейме будут предоставлены новыми компонентами.

В контравариантном матрица форма,

${ displaystyle F ^ { mu nu} = { begin {bmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 end {bmatrix}}.}$

Ковариантная форма имеет вид снижение индекса,

${ displaystyle F _ { mu nu} = eta _ { mu alpha} F ^ { alpha beta} eta _ { beta nu} = { begin {bmatrix} 0 & E_ {x} / c & E_ {y} / c & E_ {z} / c - E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} - E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} - E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 end {bmatrix}}.}$

Тензор Фарадея Ходж Дуал является

${ displaystyle {G ^ { alpha beta} = { frac {1} {2}} epsilon ^ { alpha beta gamma delta} F _ { gamma delta} = { begin {bmatrix} 0 & -B_ {x} & - B_ {y} & - B_ {z} B_ {x} & 0 & E_ {z} / c & -E_ {y} / c B_ {y} & - E_ {z} / c & 0 & E_ {x} / c B_ {z} & E_ {y} / c & -E_ {x} / c & 0 end {bmatrix}}}}$

С этого момента в этой статье, когда упоминаются электрические или магнитные поля, предполагается декартова система координат, а электрическое и магнитное поля относятся к системе отсчета системы координат, как в уравнениях выше.

Характеристики

Матричная форма тензора поля дает следующие свойства:^[3]

Значимость

Этот тензор упрощает и сокращает Уравнения Максвелла как четыре уравнения векторного исчисления в два уравнения тензорного поля. В электростатика и электродинамика, Закон Гаусса и Обходной закон Ампера соответственно:

${ displaystyle nabla cdot mathbf {E} = { frac { rho} { epsilon _ {0}}}, quad nabla times mathbf {B} - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial mathbf {E}} { partial t}} = mu _ {0} mathbf {J}}$

и сведем к неоднородному уравнению Максвелла:

${ Displaystyle partial _ { alpha} F ^ { alpha beta} = mu _ {0} J ^ { beta}}$, куда ${ displaystyle J ^ { alpha} = (c rho, mathbf {J})}$ это четырехканальный.

В магнитостатика и магнитодинамика, Закон Гаусса для магнетизма и Уравнение Максвелла – Фарадея соответственно:

${ displaystyle nabla cdot mathbf {B} = 0, quad { frac { partial mathbf {B}} { partial t}} + nabla times mathbf {E} = 0}$

которые сводятся к Бьянки идентичность:

${ displaystyle partial _ { gamma} F _ { alpha beta} + partial _ { alpha} F _ { beta gamma} + partial _ { beta} F _ { gamma alpha} = 0}$

или используя обозначение индекса в квадратных скобках^{[примечание 1]} для антисимметричной части тензора:

${ displaystyle partial _ {[ alpha} F _ { beta gamma]} = 0}$

Относительность

Тензор поля получил свое название от того факта, что электромагнитное поле подчиняется тензорный закон преобразования, это общее свойство физических законов было признано после появления специальная теория относительности. Эта теория предусматривала, что все законы физики должны иметь одинаковую форму во всех системах координат - это привело к введению тензоры. Тензорный формализм также приводит к математически более простому представлению физических законов.

Неоднородное уравнение Максвелла приводит к уравнение неразрывности:

${ displaystyle partial _ { alpha} J ^ { alpha} = J ^ { alpha} {} _ {, alpha} = 0}$

подразумевая сохранение заряда.

Вышеупомянутые законы Максвелла можно обобщить до искривленное пространство-время просто заменив частные производные с ковариантные производные:

${ Displaystyle F _ {[ альфа бета; гамма]} = 0}$ и ${ Displaystyle F ^ { alpha beta} {} _ {; alpha} = mu _ {0} J ^ { beta}}$

где точка с запятой обозначение представляет собой ковариантную производную в отличие от частной производной. Эти уравнения иногда называют искривленное пространство уравнения Максвелла. Опять же, второе уравнение подразумевает сохранение заряда (в искривленном пространстве-времени):

${ Displaystyle J ^ { alpha} {} _ {; alpha} , = 0}$

Лагранжева формулировка классического электромагнетизма

Классический электромагнетизм и Уравнения Максвелла может быть получено из действие:

${ displaystyle { mathcal {S}} = int left (- { begin {matrix} { frac {1} {4 mu _ {0}}} end {matrix}} F _ { mu nu} F ^ { mu nu} -J ^ { mu} A _ { mu} right) mathrm {d} ^ {4} x ,}$

куда

${ Displaystyle mathrm {d} ^ {4} х ;}$ над пространством и временем.

Это означает Лагранжиан плотность

${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} & = - { frac {1} {4 mu _ {0}}} F _ { mu nu} F ^ { mu nu} -J ^ { mu} A _ { mu} & = - { frac {1} {4 mu _ {0}}} left ( partial _ { mu} A _ { nu} - partial _ { nu} A _ { mu} right) left ( partial ^ { mu} A ^ { nu} - partial ^ { nu} A ^ { mu} right) -J ^ { mu} A _ { mu} & = - { frac {1} {4 mu _ {0}}} left ( partial _ { mu} A _ { nu} partial ^ { mu} A ^ { nu} - partial _ { nu} A _ { mu} partial ^ { mu} A ^ { nu} - partial _ { mu} A _ { nu} partial ^ { nu} A ^ { mu} + partial _ { nu} A _ { mu} partial ^ { nu} A ^ { mu} right) -J ^ { mu} A _ { mu } конец {выровнен}}}$

Два средних члена в скобках такие же, как и два внешних члена, поэтому плотность лагранжиана равна

${ displaystyle { mathcal {L}} = - { frac {1} {2 mu _ {0}}} left ( partial _ { mu} A _ { nu} partial ^ { mu} A ^ { nu} - partial _ { nu} A _ { mu} partial ^ { mu} A ^ { nu} right) -J ^ { mu} A _ { mu}.}$

Подставив это в Уравнение Эйлера – Лагранжа. движения для поля:

${ displaystyle partial _ { mu} left ({ frac { partial { mathcal {L}}} { partial ( partial _ { mu} A _ { nu})}} right) - { frac { partial { mathcal {L}}} { partial A _ { nu}}} = 0}$

Таким образом, уравнение Эйлера – Лагранжа принимает следующий вид:

${ displaystyle - partial _ { mu} { frac {1} { mu _ {0}}} left ( partial ^ { mu} A ^ { nu} - partial ^ { nu} A ^ { mu} right) + J ^ { nu} = 0. ,}$

Величина в скобках выше - это просто тензор поля, так что это, наконец, упрощается до

${ Displaystyle partial _ { mu} F ^ { mu nu} = mu _ {0} J ^ { nu}}$

Это уравнение - еще один способ записать два неоднородных Уравнения Максвелла (а именно, Закон Гаусса и Обходной закон Ампера ) с помощью замен:

${ displaystyle { begin {align} { frac {1} {c}} E ^ {i} & = - F ^ {0i} epsilon ^ {ijk} B_ {k} & = - F ^ { ij} end {выровнен}}}$

куда я, j, k принимают значения 1, 2 и 3.

Гамильтонова форма

В Гамильтониан плотность может быть получена с помощью обычного соотношения,

${ displaystyle { mathcal {H}} ( phi ^ {i}, pi _ {i}) = pi _ {i} { dot { phi}} ^ {i} ( phi ^ {i }, pi _ {i}) - { mathcal {L}}}$.

Квантовая электродинамика и теория поля

В Лагранжиан из квантовая электродинамика выходит за рамки классического лагранжиана, установленного в теории относительности, и включает в себя создание и уничтожение фотонов (и электронов):

${ Displaystyle { mathcal {L}} = { bar { psi}} left (я hbar c , gamma ^ { alpha} D _ { alpha} -mc ^ {2} right) psi - { frac {1} {4 mu _ {0}}} F _ { alpha beta} F ^ { alpha beta},}$

где первая часть в правой части, содержащая Спинор Дирака ${ displaystyle psi}$, представляет Поле Дирака. В квантовая теория поля он используется в качестве шаблона для тензора калибровочного поля. Будучи задействованным в дополнение к лагранжиану локального взаимодействия, он воспроизводит свою обычную роль в КЭД.

Смотрите также

• Классификация электромагнитных полей
• Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
• Электромагнитный тензор энергии-напряжения
• Тензор напряженности глюонного поля
• Исчисление Риччи
• Вектор Римана – Зильберштейна

Примечания

Рекомендации

• Брау, Чарльз А. (2004). Современные проблемы классической электродинамики. Oxford University Press. ISBN  0-19-514665-4.
• Джексон, Джон Д. (1999). Классическая электродинамика. John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-30932-X.
• Пескин, Майкл Э .; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Издательство "Персей". ISBN  0-201-50397-2.