В релятивистская физика , то электромагнитный тензор энергии-напряжения вклад в тензор энергии-импульса из-за электромагнитное поле .[1] пространство-время . Электромагнитный тензор энергии-импульса содержит отрицательный элемент классической Тензор напряжений Максвелла который управляет электромагнитными взаимодействиями.
Определение Единицы СИ В свободном пространстве и плоском пространстве-времени электромагнитное напряжение-энергия тензор в Единицы СИ является[2]
Т μ ν = 1 μ 0 [ F μ α F ν α − 1 4 η μ ν F α β F α β ] . {displaystyle T ^ {mu u} = {frac {1} {mu _ {0}}} left [F ^ {mu alpha} F ^ {u} {} _ {alpha} - {frac {1} {4} } eta ^ {mu u} F_ {alpha eta} F ^ {alpha eta} ight] ,.} куда F μ ν {displaystyle F ^ {mu u}} электромагнитный тензор и где η μ ν {displaystyle eta _ {mu u}} Метрический тензор Минковского из метрическая подпись (− + + +) . При использовании метрики с подписью (+ − − −) , выражение в правой части уравнения будет иметь противоположный знак.
Явно в матричной форме:
Т μ ν = [ 1 2 ( ϵ 0 E 2 + 1 μ 0 B 2 ) S Икс / c S у / c S z / c S Икс / c − σ хх − σ ху − σ xz S у / c − σ yx − σ гг − σ yz S z / c − σ zx − σ зы − σ zz ] , {displaystyle T ^ {mu u} = {egin {bmatrix} {frac {1} {2}} left (epsilon _ {0} E ^ {2} + {frac {1} {mu _ {0}}} B ^ {2} ight) & S_ {ext {x}} / c & S_ {ext {y}} / c & S_ {ext {z}} / c S_ {ext {x}} / c & -sigma _ {ext {xx}} & -sigma _ {ext {xy}} & - sigma _ {ext {xz}} S_ {ext {y}} / c & -sigma _ {ext {yx}} & - sigma _ {ext {yy}} & -sigma _ {ext {yz}} S_ {ext {z}} / c & -sigma _ {ext {zx}} & - sigma _ {ext {zy}} & - sigma _ {ext {zz}} end { bmatrix}},} куда
S = 1 μ 0 E × B , {displaystyle mathbf {S} = {frac {1} {mu _ {0}}} mathbf {E} imes mathbf {B},} это Вектор Пойнтинга ,
σ я j = ϵ 0 E я E j + 1 μ 0 B я B j − 1 2 ( ϵ 0 E 2 + 1 μ 0 B 2 ) δ я j {displaystyle sigma _ {ij} = epsilon _ {0} E_ {i} E_ {j} + {frac {1} {mu _ {0}}} B_ {i} B_ {j} - {frac {1} { 2}} left (epsilon _ {0} E ^ {2} + {frac {1} {mu _ {0}}} B ^ {2} ight) delta _ {ij}} это Тензор напряжений Максвелла , и c это скорость света . Таким образом, Т μ ν {displaystyle T ^ {mu u}} паскали ).
Единицы CGS В диэлектрическая проницаемость свободного пространства и проницаемость свободного пространства в cgs-гауссовские единицы находятся
ϵ 0 = 1 4 π , μ 0 = 4 π {displaystyle epsilon _ {0} = {frac {1} {4pi}}, quad mu _ {0} = 4pi,} тогда:
Т μ ν = 1 4 π [ F μ α F ν α − 1 4 η μ ν F α β F α β ] . {displaystyle T ^ {mu u} = {frac {1} {4pi}} [F ^ {mu alpha} F ^ {u} {} _ {alpha} - {frac {1} {4}} eta ^ {mu u} F_ {альфа эта} F ^ {альфа эта}] ,.} и в явной матричной форме:
Т μ ν = [ 1 8 π ( E 2 + B 2 ) S Икс / c S у / c S z / c S Икс / c − σ хх − σ ху − σ xz S у / c − σ yx − σ гг − σ yz S z / c − σ zx − σ зы − σ zz ] {displaystyle T ^ {mu u} = {egin {bmatrix} {frac {1} {8pi}} (E ^ {2} + B ^ {2}) & S_ {ext {x}} / c & S_ {ext {y} } / c & S_ {ext {z}} / c S_ {ext {x}} / c & -sigma _ {ext {xx}} & - sigma _ {ext {xy}} & - sigma _ {ext {xz}} S_ {ext {y}} / c & -sigma _ {ext {yx}} & - sigma _ {ext {yy}} & - sigma _ {ext {yz}} S_ {ext {z}} / c & - sigma _ {ext {zx}} & - sigma _ {ext {zy}} & - sigma _ {ext {zz}} конец {bmatrix}}} куда Вектор Пойнтинга становится:
S = c 4 π E × B . {displaystyle mathbf {S} = {frac {c} {4pi}} mathbf {E} imes mathbf {B}.} Тензор энергии-импульса электромагнитного поля в диэлектрик среда менее изучена и является предметом нерешенных Противоречие между Авраамом и Минковским .[3]
Элемент Т μ ν {displaystyle T ^ {mu u}!} μ -й компонент четырехимпульсный электромагнитного поля, п μ {displaystyle P ^ {mu}!} гиперплоскость ( Икс ν {displaystyle x ^ {u}} общая теория относительности .
Алгебраические свойства Электромагнитный тензор энергии-импульса обладает несколькими алгебраическими свойствами:
Т μ ν = Т ν μ {displaystyle T ^ {mu u} = T ^ {u mu}} Тензор Т ν α {displaystyle T ^ {u} {} _ {alpha}} бесследный : Т α α = 0 {displaystyle T ^ {alpha} {} _ {alpha} = 0} Доказательство
Начиная с
Т μ μ = η μ ν Т μ ν {displaystyle T_ {mu} ^ {mu} = eta _ {mu u} T ^ {mu u}} Используя явный вид тензора,
Т μ μ = 1 4 π [ η μ ν F μ α F ν α − η μ ν η μ ν 1 4 F α β F α β ] {displaystyle T_ {mu} ^ {mu} = {frac {1} {4pi}} [eta _ {mu u} F ^ {mu alpha} F ^ {u} {} _ {alpha} -eta _ {mu u } eta ^ {mu u} {frac {1} {4}} F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta}]} Понижая индексы и используя тот факт, что η μ ν η μ ν = δ μ μ {displaystyle eta ^ {mu u} eta _ {mu u} = delta _ {mu} ^ {mu}}
Т μ μ = 1 4 π [ F μ α F μ α − δ μ μ 1 4 F α β F α β ] {displaystyle T_ {mu} ^ {mu} = {frac {1} {4pi}} [F ^ {mu alpha} F_ {mu alpha} -delta _ {mu} ^ {mu} {frac {1} {4} } F ^ {альфа эта} F_ {альфа эта}]} Затем, используя δ μ μ = 4 {displaystyle delta _ {mu} ^ {mu} = 4}
Т μ μ = 1 4 π [ F μ α F μ α − F α β F α β ] {displaystyle T_ {mu} ^ {mu} = {frac {1} {4pi}} [F ^ {mu alpha} F_ {mu alpha} -F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta}]} Обратите внимание, что в первом члене μ и α и просто фиктивные индексы, поэтому мы переименовываем их в α и β соответственно.
Т α α = 1 4 π [ F α β F α β − F α β F α β ] = 0 {displaystyle T_ {alpha} ^ {alpha} = {frac {1} {4pi}} [F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta} -F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta}] = 0}
Т 00 ≥ 0 {displaystyle T ^ {00} geq 0} Симметрия тензора такая же, как у общего тензора энергии-импульса в общая теория относительности . След тензора энергии-импульса есть Скаляр Лоренца ; электромагнитное поле (и в частности электромагнитные волны) не имеет Лоренц-инвариантный шкала энергии, поэтому его тензор энергии-импульса должен иметь исчезающий след. Эта бесследность в конечном итоге связана с безмассовостью фотон .[4]
Законы сохранения Электромагнитный тензор напряжения-энергии позволяет компактно записать законы сохранения линейных импульс и энергия в электромагнетизме. Дивергенция тензора энергии-импульса:
∂ ν Т μ ν + η μ ρ ж ρ = 0 {displaystyle partial _ {u} T ^ {mu u} + eta ^ {mu ho}, f_ {ho} = 0,} куда ж ρ {displaystyle f_ {ho}} Сила Лоренца на единицу объема на иметь значение .
Это уравнение эквивалентно следующим трехмерным законам сохранения
∂ ты е м ∂ т + ∇ ⋅ S + J ⋅ E = 0 {displaystyle {frac {partial u_ {mathrm {em}}} {partial t}} + mathbf {abla} cdot mathbf {S} + mathbf {J} cdot mathbf {E} = 0,} ∂ п е м ∂ т − ∇ ⋅ σ + ρ E + J × B = 0 {displaystyle {frac {partial mathbf {p} _ {mathrm {em}}} {partial t}} - mathbf {abla} cdot sigma + ho mathbf {E} + mathbf {J} imes mathbf {B} = 0,} ж + ϵ 0 μ 0 ∂ S ∂ т = ∇ ⋅ σ {displaystyle mathbf {f} + epsilon _ {0} mu _ {0} {frac {partial mathbf {S}} {partial t}}, = abla cdot mathbf {sigma}} ж {displaystyle mathbf {f}} соответственно описывающий поток плотности электромагнитной энергии
ты е м = ϵ 0 2 E 2 + 1 2 μ 0 B 2 {displaystyle u_ {mathrm {em}} = {frac {epsilon _ {0}} {2}} E ^ {2} + {frac {1} {2mu _ {0}}} B ^ {2},} и плотность электромагнитного импульса
п е м = S c 2 {displaystyle mathbf {p} _ {mathrm {em}} = {mathbf {S} over {c ^ {2}}}} куда J это плотность электрического тока и ρ то плотность электрического заряда .
Смотрите также Рекомендации ^ Гравитация, Дж. Уиллер, К. Миснер, К.С. Торн, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0 ^ Гравитация, Дж. Уиллер, К. Миснер, К.С. Торн, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0 ^ однако см. Pfeifer et al., Rev. Mod. Phys. 79, 1197 (2007) ^ Гарг, Анупам. Классический электромагнетизм в двух словах , п. 564 (Princeton University Press, 2012).
![T ^ {muu} = frac {1} {mu_0} left [F ^ {mu alpha} F ^ u {} _ {alpha} - frac {1} {4} eta ^ {muu} F_ {alpha eta} F ^ {alpha eta} ight],.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dfa3cc608d31031e82999deff7f255a953bbb59)
![T ^ {muu} = frac {1} {4pi} [F ^ {mualpha} F ^ {u} {} _ {alpha} - frac {1} {4} eta ^ {muu} F_ {alpha eta} F ^ {alpha eta}],.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429e82ca701336feb3e1482af0581fb646672aaa)
![{displaystyle T_ {mu} ^ {mu} = {frac {1} {4pi}} [eta _ {mu u} F ^ {mu alpha} F ^ {u} {} _ {alpha} -eta _ {mu u } eta ^ {mu u} {frac {1} {4}} F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d2f89a22ebe435fc854c6ac670502415a9f3ddc)
![{displaystyle T_ {mu} ^ {mu} = {frac {1} {4pi}} [F ^ {mu alpha} F_ {mu alpha} -delta _ {mu} ^ {mu} {frac {1} {4} } F ^ {альфа эта} F_ {альфа эта}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcad0f798e550fda59a6f62709dffc823c5b9407)
![{displaystyle T_ {mu} ^ {mu} = {frac {1} {4pi}} [F ^ {mu alpha} F_ {mu alpha} -F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2b36a280b51fd7fa477a58b27227d874aefe58)
![{displaystyle T_ {alpha} ^ {alpha} = {frac {1} {4pi}} [F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta} -F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta}] = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e304cc41dd88be9c2aadbfbfa3a6070bc8c10ff)
