Потенциал Льенара – Вихерта - Liénard–Wiechert potential

Часть цикла статей о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статичное электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Магнитный векторный потенциал Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор (тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер

В Потенциалы Льенара – Вихерта описать классический электромагнитный эффект переезда точечный электрический заряд с точки зрения векторный потенциал и скалярный потенциал в Датчик Лоренца. Исходя прямо из Уравнения Максвелла, они описывают полное, релятивистски правильный, изменяющийся во времени электромагнитное поле для точечный заряд в произвольном движении, но не исправлены на квантово-механический последствия. Электромагнитное излучение в виде волны можно получить из этих потенциалов. Эти выражения были частично разработаны Альфред-Мари Льенар в 1898 г.^[1] и независимо Эмиль Вихерт в 1900 г.^[2][3]

Уравнения

Определение потенциалов Льенара – Вихерта.

Потенциалы Льенара – Вихерта. ${displaystyle varphi}$ (скалярное потенциальное поле) и ${displaystyle mathbf {A}}$ (векторное потенциальное поле) для точечного заряда источника ${displaystyle q}$ на позиции ${displaystyle mathbf {r} _ {s}}$ путешествовать со скоростью ${displaystyle mathbf {v} _ {s}}$:

${displaystyle varphi (mathbf {r}, t) = {frac {1} {4pi epsilon _ {0}}} left ({frac {q} {(1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta) }} _ {s}) | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} |}} ight) _ {t_ {r}}}$

и

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r}, t) = {frac {mu _ {0} c} {4pi}} слева ({frac {q {oldsymbol {eta}} _ {s}} {(1- mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s}) | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} |}} ight) _ {t_ {r}} = {frac { {oldsymbol {eta}} _ {s} (t_ {r})} {c}} varphi (mathbf {r}, t)}$

куда:

• ${displaystyle {oldsymbol {eta}} _ {s} (t) = {frac {mathbf {v} _ {s} (t)} {c}}}$ - скорость источника, выраженная в долях скорости света;

• ${displaystyle {| mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} |}}$ расстояние от источника;

• ${displaystyle mathbf {n} _ {s} = {frac {mathbf {r} -mathbf {r} _ {s}} {| mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} |}}}$ - единичный вектор, указывающий в направлении от источника и,

• Символ ${displaystyle (cdots) _ {t_ {r}}}$ означает, что величины в скобках следует оценивать в запаздывающее время ${displaystyle t_ {r} = t- {frac {1} {c}} | mathbf {r} -mathbf {r} '|}$.

(смотрите также запаздывающий потенциал.)

Расчет поля

Мы можем рассчитать электрическое и магнитное поля непосредственно из потенциалов, используя определения:

${displaystyle mathbf {E} = -abla varphi - {dfrac {partial mathbf {A}} {partial t}}}$ и ${displaystyle mathbf {B} = abla imes mathbf {A}}$

Расчет нетривиален и требует ряда шагов. Электрическое и магнитное поля (в нековариантной форме) имеют вид:

${displaystyle mathbf {E} (mathbf {r}, t) = {frac {1} {4pi varepsilon _ {0}}} left ({frac {q (mathbf {n} _ {s}) - {oldsymbol {eta}) } _ {s})} {гамма ^ {2} (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s}) ^ {3} | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} | ^ {2}}} + {frac {qmathbf {n} _ {s} imes {ig (} (mathbf {n} _ {s} - {oldsymbol {eta}} _ {s}) imes {точка {{oldsymbol {eta}} _ {s}}} {ig)}} {c (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s}) ^ {3} | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} |}} ight) _ {t_ {r}}}$

и

${displaystyle mathbf {B} (mathbf {r}, t) = {frac {mu _ {0}} {4pi}} left ({frac {qc ({oldsymbol {eta}} _ {s} imes mathbf {n}) _ {s})} {гамма ^ {2} (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s}) ^ {3} | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} | ^ {2}}} + {frac {qmathbf {n} _ {s} imes {Big (} mathbf {n} _ {s} imes {ig (}) (mathbf {n} _ {s} - {oldsymbol {eta}} _ {s}) imes {dot {{oldsymbol {eta}} _ {s}}} {ig)} {Big)}} {(1-mathbf {n} _ {s} cdot { oldsymbol {eta}} _ {s}) ^ {3} | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} |}} ight) _ {t_ {r}} = {frac {mathbf {n} _ { s} (t_ {r})} {c}} imes mathbf {E} (mathbf {r}, t)}$

куда ${displaystyle {oldsymbol {eta}} _ {s} (t) = {frac {mathbf {v} _ {s} (t)} {c}}}$, ${displaystyle mathbf {n} _ {s} (t) = {frac {mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} (t)} {| mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} ( t) |}}}$ и ${displaystyle gamma (t) = {frac {1} {sqrt {1- | {oldsymbol {eta}} _ {s} (t) | ^ {2}}}}}$ (в Фактор Лоренца ).

Обратите внимание, что ${displaystyle mathbf {n} _ {s} - {oldsymbol {eta}} _ {s}}$ часть первого члена обновляет направление поля к мгновенному положению заряда, если он продолжает двигаться с постоянной скоростью ${displaystyle c {oldsymbol {eta}} _ {s}}$. Этот термин связан со «статической» частью электромагнитного поля заряда.

Второй член, связанный с электромагнитное излучение движущимся зарядом, требует ускорения заряда ${displaystyle {dot {oldsymbol {eta}}} _ {s}}$ а если он равен нулю, значение этого члена равно нулю, и заряд не излучает (испускает электромагнитное излучение). Этот термин дополнительно требует, чтобы составляющая ускорения заряда находилась в направлении, поперечном линии, соединяющей заряд. ${displaystyle q}$ и наблюдатель поля ${displaystyle mathbf {E} (mathbf {r}, t)}$. Направление поля, связанного с этим излучающим элементом, направлено в сторону полностью запаздывающего по времени положения заряда (то есть там, где был заряд, когда он ускорялся).

Вывод

В ${displaystyle varphi (mathbf {r}, t)}$ скаляр и ${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r}, t)}$ векторные потенциалы удовлетворяют уравнение неоднородной электромагнитной волны где источники выражены плотностями заряда и тока ${displaystyle ho (mathbf {r}, t)}$ и ${displaystyle mathbf {J} (mathbf {r}, t)}$

${displaystyle abla ^ {2} varphi + {{partial} over partial t} left (abla cdot mathbf {A} ight) = - {ho over varepsilon _ {0}} ,,}$

а закон Ампера-Максвелла:

${displaystyle abla ^ {2} mathbf {A} - {1 over c ^ {2}} {partial ^ {2} mathbf {A} over частичный t ^ {2}} - abla left ({1 over c ^ {2 }} {{partial varphi} над {partial t}} + abla cdot mathbf {A} ight) = - mu _ {0} mathbf {J},.}$

Поскольку потенциалы не уникальны, но имеют измерять свободы, эти уравнения можно упростить с помощью крепление датчика. Обычный выбор - это Условие калибровки Лоренца:

${displaystyle {1 over c ^ {2}} {{partial varphi} over {partial t}} + abla cdot mathbf {A} = 0}$

Тогда неоднородные волновые уравнения становятся несвязанными и симметричными по потенциалам:

${displaystyle abla ^ {2} varphi - {1 over c ^ {2}} {partial ^ {2} varphi over partial t ^ {2}} = - {ho over varepsilon _ {0}} ,,}$

${displaystyle abla ^ {2} mathbf {A} - {1 вместо c ^ {2}} {частично ^ {2} mathbf {A} вместо частичного t ^ {2}} = - mu _ {0} mathbf {J} ,.}$

Как правило, запаздывающие решения для скалярного и векторного потенциалов (единицы СИ) представляют собой

${displaystyle varphi (mathbf {r}, t) = {frac {1} {4pi epsilon _ {0}}} int {frac {ho (mathbf {r} ', t_ {r}')} {| mathbf {r } -mathbf {r} '|}} d ^ {3} mathbf {r}' + varphi _ {0} (mathbf {r}, t)}$

и

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r}, t) = {frac {mu _ {0}} {4pi}} int {frac {mathbf {J} (mathbf {r} ', t_ {r}')} {| mathbf {r} -mathbf {r} '|}} d ^ {3} mathbf {r}' + mathbf {A} _ {0} (mathbf {r}, t)}$

куда ${displaystyle t_ {r} '= t- {frac {1} {c}} | mathbf {r} -mathbf {r}' |}$ это запаздывающее время и ${displaystyle varphi _ {0} (mathbf {r}, t)}$ и ${displaystyle mathbf {A} _ {0} (mathbf {r}, t)}$удовлетворяют однородному волновому уравнению без источников и граничных условий. В случае отсутствия границ вокруг источников, тогда${displaystyle varphi _ {0} (mathbf {r}, t) = 0}$ и ${displaystyle mathbf {A} _ {0} (mathbf {r}, t) = 0}$.

Для движущегося точечного заряда, траектория которого задается как функция времени формулой ${displaystyle mathbf {r} _ {s} (t ')}$, плотности заряда и тока следующие:

${displaystyle ho (mathbf {r} ', t') = qdelta ^ {3} (mathbf {r '} -mathbf {r} _ {s} (t'))}$

${displaystyle mathbf {J} (mathbf {r} ', t') = qmathbf {v} _ {s} (t ') delta ^ {3} (mathbf {r'} -mathbf {r} _ {s} ( т '))}$

куда ${displaystyle delta ^ {3}}$ это трехмерный Дельта-функция Дирака и ${displaystyle mathbf {v} _ {s} (t ')}$ - скорость точечного заряда.

Подстановка в выражения для потенциала дает

${displaystyle varphi (mathbf {r}, t) = {frac {1} {4pi epsilon _ {0}}} int {frac {qdelta ^ {3} (mathbf {r '} -mathbf {r} _ {s} (t_ {r} '))} {| mathbf {r} -mathbf {r}' |}} d ^ {3} mathbf {r} '}$

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r}, t) = {frac {mu _ {0}} {4pi}} int {frac {qmathbf {v} _ {s} (t_ {r} ') delta ^ { 3} (mathbf {r '} -mathbf {r} _ {s} (t_ {r}'))} {| mathbf {r} -mathbf {r} '|}} d ^ {3} mathbf {r} '}$

Эти интегралы трудно вычислить в их нынешнем виде, поэтому мы перепишем их, заменив ${displaystyle t_ {r} '}$ с ${displaystyle t '}$ и интегрируя по дельта-распределению ${displaystyle delta (t'-t_ {r} ')}$:

${displaystyle varphi (mathbf {r}, t) = {frac {1} {4pi epsilon _ {0}}} iint {frac {qdelta ^ {3} (mathbf {r '} -mathbf {r} _ {s} (t '))} {| mathbf {r} -mathbf {r}' |}} delta (t'-t_ {r} '), dt', d ^ {3} mathbf {r} '}$

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r}, t) = {frac {mu _ {0}} {4pi}} iint {frac {qmathbf {v} _ {s} (t ') delta ^ {3} ( mathbf {r '} -mathbf {r} _ {s} (t'))} {| mathbf {r} -mathbf {r} '|}} delta (t'-t_ {r}'), dt ', d ^ {3} mathbf {r} '}$

Меняем порядок интеграции:

${displaystyle varphi (mathbf {r}, t) = {frac {1} {4pi epsilon _ {0}}} iint {frac {delta (t'-t_ {r} ')} {| mathbf {r} -mathbf {r} '|}} qdelta ^ {3} (mathbf {r'} -mathbf {r} _ {s} (t ')), d ^ {3} mathbf {r}' dt '}$

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r}, t) = {frac {mu _ {0}} {4pi}} iint {frac {delta (t'-t_ {r} ')} {| mathbf {r} -mathbf {r} '|}} qmathbf {v} _ {s} (t') delta ^ {3} (mathbf {r '} -mathbf {r} _ {s} (t')), d ^ { 3} mathbf {r} 'dt'}$

Дельта-функция выбирает ${displaystyle mathbf {r} '= mathbf {r} _ {s} (t')}$ что позволяет нам легко выполнять внутреннюю интеграцию. Обратите внимание, что ${displaystyle t_ {r} '}$ является функцией ${displaystyle mathbf {r} '}$, поэтому эта интеграция также исправляет ${displaystyle t_ {r} = t_ {r} (mathbf {r} _ {s} (t '), t')}$.

${displaystyle varphi (mathbf {r}, t) = {frac {1} {4pi epsilon _ {0}}} int q {frac {delta (t'-t_ {r} ')} {| mathbf {r} - mathbf {r} _ {s} (t ') |}} dt'}$

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r}, t) = {frac {mu _ {0}} {4pi}} int qmathbf {v} _ {s} (t ') {frac {delta (t'-t_ {r} ')} {| mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} (t') |}}, dt '}$

Замедленное время ${displaystyle t_ {r} '}$ является функцией точки поля ${displaystyle (mathbf {r}, t)}$ и траектория источника ${displaystyle mathbf {r} _ {s} (t ')}$, а значит, зависит от ${displaystyle t '}$. Следовательно, для вычисления этого интеграла нам понадобится тождество

${displaystyle delta (f (t ')) = sum _ {i} {frac {delta (t'-t_ {i})} {| f' (t_ {i}) |}}}$

где каждый ${displaystyle t_ {i}}$ это ноль ${displaystyle f}$. Потому что есть только одно запаздывающее время ${displaystyle t_ {r}}$ для любых заданных координат пространства-времени ${displaystyle (mathbf {r}, t)}$ и траектория источника ${displaystyle mathbf {r} _ {s} (t ')}$, это сводится к:

${displaystyle {egin {align} delta (t'-t_ {r} ') = {frac {delta (t'-t_ {r})} {{frac {partial} {partial t'}} (t'-t_ {r} ') | _ {t' = t_ {r}}}} = & {frac {delta (t'-t_ {r})} {{frac {partial} {partial t '}} (t'- (t- {frac {1} {c}} | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} (t ') |)) | _ {t' = t_ {r}}}} & = { гидроразрыв {дельта (t'-t_ {r})} {1+ {frac {1} {c}} (mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} (t ')) / | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} (t ') | cdot (-mathbf {v} _ {s} (t')) | _ {t '= t_ {r}}}} & = {frac {delta (т'-т_ {r})} {1- {oldsymbol {eta}} _ {s} cdot (mathbf {r} -mathbf {r} _ {s}) / | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} |}} конец {выровнено}}}$

куда ${displaystyle {oldsymbol {eta}} _ {s} = mathbf {v} _ {s} / c}$ и ${displaystyle mathbf {r} _ {s}}$ оцениваются в запаздывающее время, и мы использовали тождество ${displaystyle | mathbf {x} | '= {hat {mathbf {x}}} cdot mathbf {v}}$. Наконец, дельта-функция выбирает ${displaystyle t '= t_ {r}}$, и

${displaystyle varphi (mathbf {r}, t) = {frac {1} {4pi epsilon _ {0}}} left ({frac {q} {| mathbf {r} -mathbf {r} _ {s}) | ( 1- {oldsymbol {eta}} _ {s} cdot (mathbf {r} -mathbf {r} _ {s}) / | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} |)}} ight) _ {t_ {r}} = {frac {1} {4pi epsilon _ {0}}} влево ({frac {q} {(1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s }) | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} |}} ight) _ {t_ {r}}}$

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r}, t) = {frac {mu _ {0}} {4pi}} слева ({frac {qmathbf {v}} {| mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} | (1- {oldsymbol {eta}} _ {s} cdot (mathbf {r} -mathbf {r} _ {s}) / | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} |) }} ight) _ {t_ {r}} = {frac {mu _ {0} c} {4pi}} слева ({frac {q {oldsymbol {eta}} _ {s}} {(1-mathbf {n } _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s}) | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} |}} ight) _ {t_ {r}}}$

которые являются потенциалами Льенара – Вихерта.

Датчик Лоренца, электрические и магнитные поля

Чтобы вычислить производные от ${displaystyle varphi}$ и ${displaystyle mathbf {A}}$ удобно сначала вычислить производные запаздывающего времени. Взяв производные от обеих частей определяющего уравнения (помня, что ${displaystyle mathbf {r_ {s}} = mathbf {r_ {s}} (t_ {r})}$):

${displaystyle t_ {r} + {frac {1} {c}} | mathbf {r} -mathbf {r_ {s}} | = t}$

Дифференцируя по t,

${displaystyle {frac {dt_ {r}} {dt}} + {frac {1} {c}} {frac {dt_ {r}} {dt}} {frac {d | mathbf {r} -mathbf {r_ { s}} |} {dt_ {r}}} = 1}$

${displaystyle {frac {dt_ {r}} {dt}} left (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} ight) = 1}$

${displaystyle {frac {dt_ {r}} {dt}} = {frac {1} {left (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} ight)}}}$

Аналогично, взяв градиент относительно ${displaystyle mathbf {r}}$ дает

${displaystyle {oldsymbol {abla}} t_ {r} + {frac {1} {c}} {oldsymbol {abla}} | mathbf {r} -mathbf {r_ {s}} | = 0}$

${displaystyle {oldsymbol {abla}} t_ {r} + {frac {1} {c}} left ({oldsymbol {abla}} t_ {r} {frac {d | mathbf {r} -mathbf {r_ {s}) } |} {dt_ {r}}} + mathbf {n} _ {s} ight) = 0}$

${displaystyle {oldsymbol {abla}} t_ {r} left (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} ight) = - mathbf {n} _ {s} / c}$

${displaystyle {oldsymbol {abla}} t_ {r} = - {frac {mathbf {n} _ {s} / c} {left (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ { достопримечательность)}}}$

Следует, что

${displaystyle {frac {d | mathbf {r} -mathbf {r_ {s}} |} {dt}} = {frac {dt_ {r}} {dt}} {frac {d | mathbf {r} -mathbf { r_ {s}} |} {dt_ {r}}} = {frac {-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} c} {left (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} ight)}}}$

${displaystyle {oldsymbol {abla}} | mathbf {r} -mathbf {r_ {s}} | = {oldsymbol {abla}} t_ {r} {frac {d | mathbf {r} -mathbf {r_ {s}}) |} {dt_ {r}}} + mathbf {n} _ {s} = {frac {mathbf {n} _ {s}} {left (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}) }_{достопримечательность)}}}$

Их можно использовать при вычислении производных векторного потенциала, и в результате получаются следующие выражения:

${displaystyle {egin {align} {frac {dvarphi} {dt}} = & - {frac {q} {4pi epsilon _ {0}}} {frac {1} {| mathbf {r} -mathbf {r_ {s) }} | ^ {2} left (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} ight) ^ {2}}} {frac {d} {dt}} left [( | mathbf {r} -mathbf {r_ {s}} | (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s}) ight] = & - {frac {q} {4pi epsilon _ {0}}} {frac {1} {| mathbf {r} -mathbf {r_ {s}} | ^ {2} left (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}}) _ {s} ight) ^ {2}}} {frac {d} {dt}} left [| mathbf {r} -mathbf {r_ {s}} | - (mathbf {r} -mathbf {r_ {s}) }) cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} ight] = & - {frac {qc} {4pi epsilon _ {0}}} {frac {1} {| mathbf {r} -mathbf {r_ {s }} | ^ {2} left (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} ight) ^ {3}}} left [-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} + {eta _ {s}} ^ {2} - (mathbf {r} -mathbf {r_ {s}}) cdot {dot {oldsymbol {eta}}} _ {s } / cight] конец {выровнен}}}$

${displaystyle {egin {align} {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {A} = & - {frac {q} {4pi epsilon _ {0} c}} {frac {1} {| mathbf {r} -mathbf { r_ {s}} | ^ {2} left (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} ight) ^ {2}}} {ig (} {oldsymbol {abla} } left [left (| mathbf {r} -mathbf {r_ {s}} | - (mathbf {r} -mathbf {r_ {s}}) cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} ight) ight] cdot) {oldsymbol {eta}} _ {s} -left [left (| mathbf {r} -mathbf {r_ {s}} | - (mathbf {r} -mathbf {r_ {s}}) cdot {oldsymbol {eta}) } _ {s} ight) ight] {oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} {ig)} = & - {frac {q} {4pi epsilon _ {0} c}} { frac {1} {| mathbf {r} -mathbf {r_ {s}} | ^ {2} left (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} ight) ^ { 3}}} cdot & left [(mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s}) - {eta} _ {s} ^ {2} (1-mathbf {n} _ { s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s}) - {eta} _ {s} ^ {2} mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} + left ((mathbf {r} -mathbf {r_ {s}}) cdot {точка {oldsymbol {eta}}} _ {s} / cight) (mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s}) + {ig (} | mathbf {r} -mathb f {r_ {s}} | - (mathbf {r} -mathbf {r_ {s}}) cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} {ig)} (mathbf {n} _ {s} cdot {точка {oldsymbol {eta}}} _ {s} / c) ight] = & {frac {q} {4pi epsilon _ {0} c}} {frac {1} {| mathbf {r} -mathbf {r_ { s}} | ^ {2} влево (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} ight) ^ {3}}} влево [eta _ {s} ^ {2} -mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} - (mathbf {r} -mathbf {r_ {s}}) cdot {dot {oldsymbol {eta}}} _ {s} / cight] конец {выровнен}}}$

Они показывают, что выполняется калибровка Лоренца, а именно, что ${displaystyle {frac {dvarphi} {dt}} + c ^ {2} {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {A} = 0}$.

Аналогичным образом рассчитывается:

${displaystyle {oldsymbol {abla}} varphi = - {frac {q} {4pi epsilon _ {0}}} {frac {1} {| mathbf {r} -mathbf {r_ {s}} | ^ {2} left (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} ight) ^ {3}}} left [mathbf {n} _ {s} left (1- {eta _ {s}) } ^ {2} + (mathbf {r} -mathbf {r_ {s}}) cdot {dot {oldsymbol {eta}}} _ {s} / cight) - {oldsymbol {eta}} _ {s} (1 -mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s}) ight]}$

${displaystyle {frac {dmathbf {A}} {dt}} = {frac {q} {4pi epsilon _ {0}}} {frac {1} {| mathbf {r} -mathbf {r_ {s}}} | ^ {2} left (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} ight) ^ {3}}} left [{oldsymbol {eta}} _ {s} left (mathbf { n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} - {eta _ {s}} ^ {2} + (mathbf {r} -mathbf {r_ {s}}) cdot {dot {oldsymbol { eta}}} _ {s} / cight) + | mathbf {r} -mathbf {r_ {s}} | {точка {oldsymbol {eta}}} _ {s} (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s}) / cight]}$

Отметив, что для любых векторов ${displaystyle mathbf {u}}$, ${displaystyle mathbf {v}}$, ${displaystyle mathbf {w}}$:

${displaystyle mathbf {u} imes (mathbf {v} imes mathbf {w}) = (mathbf {u} cdot mathbf {w}) mathbf {v} - (mathbf {u} cdot mathbf {v}) mathbf {w} }$

Выражение для упомянутого выше электрического поля принимает вид

${displaystyle {egin {выравнивается} mathbf {E} (mathbf {r}, t) = & {frac {q} {4pi epsilon _ {0}}} {frac {1} {| mathbf {r} -mathbf {r } _ {s} | ^ {2} (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s}) ^ {3}}} cdot & left [left (mathbf {n} _ {s} - {oldsymbol {eta}} _ {s} ight) (1- {eta _ {s}} ^ {2}) + | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} | (mathbf { n} _ {s} cdot {точка {oldsymbol {eta}}} _ {s} / c) (mathbf {n} _ {s} - {oldsymbol {eta}} _ {s}) - | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} | {ig (} mathbf {n} _ {s} cdot (mathbf {n} _ {s} - {oldsymbol {eta}} _ {s}) {ig)} {точка {oldsymbol {eta}}} _ {s} / cight] конец {выровнено}}}$

что, как легко видеть, равно ${displaystyle - {oldsymbol {abla}} varphi - {frac {dmathbf {A}} {dt}}}$

по аналогии ${displaystyle {oldsymbol {abla}} imes mathbf {A}}$ дает выражение упомянутого выше магнитного поля:

${displaystyle {egin {align} {mathbf {B}} = & {oldsymbol {abla}} imes mathbf {A} = - {frac {q} {4pi epsilon _ {0} c}} {frac {1} {| mathbf {r} -mathbf {r_ {s}} | ^ {2} left (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} ight) ^ {2}}} {ig (} {oldsymbol {abla}} left [left (| mathbf {r} -mathbf {r_ {s}} | - (mathbf {r} -mathbf {r_ {s}}) cdot {oldsymbol {eta}}} _ { s} ight) ight] imes {oldsymbol {eta}} _ {s} -left [left (| mathbf {r} -mathbf {r_ {s}} | - (mathbf {r} -mathbf {r_ {s}}) ) cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} ight) ight] {oldsymbol {abla}} imes {oldsymbol {eta}} _ {s} {ig)} = & - {frac {q} {4pi epsilon _ {0} c}} {frac {1} {| mathbf {r} -mathbf {r_ {s}} | ^ {2} left (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} ight) ^ {3}}} cdot & left [(mathbf {n} _ {s} imes {oldsymbol {eta}} _ {s}) - ({oldsymbol {eta}} _ {s} imes { oldsymbol {eta}} _ {s}) (1-mathbf {n} _ {s} cdot {oldsymbol {eta}} _ {s}) - {eta} _ {s} ^ {2} mathbf {n} _ {s} imes {oldsymbol {eta}} _ {s} + left ((mathbf {r} -mathbf {r_ {s}}) cdot {dot {oldsymbol {eta}}} _ {s} / cight) (mathbf {n} _ {s} imes {oldsymbol {eta}} _ {s}) + {ig (} | mathbf {r} -mathbf {r_ {s}} | - (mathbf {r} -mathbf {r_ {s}}) cdot {oldsymbol {eta}} _ {s} {ig)} (mathbf {n} _ {s} imes {dot {oldsymbol {eta}}} _ {s} / c) ight] = & - {frac { q} {4pi epsilon _ {0} c}} {frac {1} {| mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} | ^ {2} (1-mathbf {n} _ {s} cdot { oldsymbol {eta}} _ {s}) ^ {3}}} cdot & left [left (mathbf {n} _ {s} imes {oldsymbol {eta}} _ {s} ight) (1- {eta _ { s}} ^ {2}) + | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} | (mathbf {n} _ {s} cdot {точка {oldsymbol {eta}}} _ {s} / c) (mathbf {n} _ {s} imes {oldsymbol {eta}} _ {s}) + | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} | {ig (} mathbf {n} _ {s} cdot (mathbf {n} _ {s} - {oldsymbol {eta}} _ {s}) {ig)} mathbf {n} _ {s} imes {dot {oldsymbol {eta}}} _ {s} / cight] = {frac {mathbf {n} _ {s}} {c}} imes mathbf {E} конец {выровнено}}}$

Исходные условия ${displaystyle mathbf {r} _ {s}}$, ${displaystyle mathbf {n} _ {s}}$, и ${displaystyle mathbf {eta} _ {s}}$ подлежат оценке в запаздывающее время.

Подразумеваемое

В этом разделе фактическая точность оспаривается. Соответствующее обсуждение можно найти на Обсуждение: потенциал Льенара – Вихерта. Пожалуйста, помогите убедиться, что оспариваемые утверждения надежный источник. (Ноябрь 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Изучение классической электродинамики способствовало Альберт Эйнштейн Россия развитие теории относительности. Анализ движения и распространения электромагнитных волн привел к специальная теория относительности описание пространства и времени. Формулировка Льенара – Вихерта является важной стартовой площадкой для более глубокого анализа релятивистских движущихся частиц.

Описание Льенара-Вихерта является точным для большой, независимо движущейся частицы (то есть рассмотрение является «классическим», а ускорение заряда происходит за счет силы, не зависящей от электромагнитного поля). Формулировка Льенара – Вихерта всегда дает два набора решений: расширенные поля поглощаются зарядами, а запаздывающие поля испускаются. Шварцшильд и Фоккер рассматривали продвинутое поле системы движущихся зарядов и запаздывающее поле системы зарядов, имеющих одинаковую геометрию и противоположные заряды. Линейность уравнений Максвелла в вакууме позволяет сложить обе системы, так что заряды исчезнут: этот трюк позволяет уравнениям Максвелла стать линейными по материи. Умножение электрических параметров обеих задач на произвольные действительные константы дает когерентное взаимодействие света с веществом, которое обобщает Теория Эйнштейна^[4] которая сейчас считается основополагающей теорией лазеров: нет необходимости изучать большой набор идентичных молекул, чтобы получить когерентное усиление в режиме, полученном произвольным умножением опережающего и запаздывающего полей. Для вычисления энергии необходимо использовать абсолютное поля, которые включают поле нулевой точки; в противном случае появляется ошибка, например, при подсчете фотонов.

Важно учитывать поле нулевой точки, открытое Планком.^[5] Он заменяет коэффициент Эйнштейна «А» и объясняет, что классический электрон устойчив на классических орбитах Ридберга. Более того, введение флуктуаций поля нулевой точки приводит к поправке Уиллиса Э. Лэмба уровней атома H.

Квантовая электродинамика помог объединить радиационное поведение с квантовыми ограничениями. Он вводит квантование нормальных мод электромагнитного поля в предполагаемых совершенных оптических резонаторах.

Универсальное ограничение скорости

Сила, действующая на частицу в заданном месте р и время т сложным образом зависит от положения исходных частиц в более раннее время т_р из-за конечная скорость, c, по которой распространяется электромагнитная информация. Частица на Земле «видит» ускорение заряженной частицы на Луне, как это ускорение произошло 1,5 секунды назад, и ускорение заряженной частицы на Солнце, как это произошло 500 секунд назад. Это более раннее время, когда происходит событие, когда частица в определенном месте р "видит" это событие позже т называется замедленное время, т_р. Время задержки зависит от положения; например, время задержки на Луне на 1,5 секунды раньше текущего времени, а время задержки на Солнце на 500 секунд раньше текущего времени на Земле. Замедленное время т_р=т_р(р,т) неявно определяется

${displaystyle t_ {r} = t- {frac {R (t_ {r})} {c}}}$

куда ${displaystyle R (t_ {r})}$ - расстояние частицы от источника в запаздывающий момент времени. Только эффекты электромагнитных волн полностью зависят от запаздывающего времени.

Новую особенность потенциала Льенара – Вихерта можно увидеть в разбиении его членов на два типа полевых членов (см. Ниже), только один из которых полностью зависит от запаздывающего времени. Первым из них является статическое электрическое (или магнитное) поле, которое зависит только от расстояния до движущегося заряда и совсем не зависит от запаздывающего времени, если скорость источника постоянна. Другой термин - динамический, поскольку он требует, чтобы движущийся заряд был ускорение с компонентом, перпендикулярным линии, соединяющей заряд и наблюдателя, и не появляется, пока источник не изменит скорость. Этот второй термин связан с электромагнитным излучением.

Первый термин описывает ближнее поле эффекты от заряда, и его направление в пространстве обновляется с помощью члена, который корректирует любое движение заряда с постоянной скоростью в его удаленном статическом поле, так что удаленное статическое поле появляется на расстоянии от заряда, с нет аберрация света или же световая коррекция. Этот член, который корректирует запаздывания по времени в направлении статического поля, требуется по лоренц-инвариантности. Заряд, движущийся с постоянной скоростью, должен казаться удаленному наблюдателю точно так же, как статический заряд движущемуся наблюдателю, и в последнем случае направление статического поля должно изменяться мгновенно, без задержки по времени. Таким образом, статические поля (первый член) указывают точно на истинное мгновенное (не запаздывающее) положение заряженного объекта, если его скорость не изменилась за время запаздывания. Это верно на любом расстоянии, разделяющем объекты.

Однако второй член, который содержит информацию об ускорении и другом уникальном поведении заряда, который не может быть удален путем изменения системы координат Лоренца (инерциальной системы отсчета наблюдателя), полностью зависит для направления от запаздывающего во времени положения объекта. источник. Таким образом, электромагнитное излучение (описываемое вторым членом) всегда кажется исходящим со стороны положения излучающего заряда. в отсталое время. Только этот второй член описывает передачу информации о поведении заряда, которая происходит (излучается зарядом) со скоростью света. На «дальних» расстояниях (длиннее нескольких длин волн излучения) зависимость этого члена от 1 / R делает эффекты электромагнитного поля (значение этого члена поля) более мощными, чем эффекты «статического» поля, которые описываются 1 / р² поле первого (статического) члена и, следовательно, быстрее затухает с удалением от заряда.

Существование и уникальность запаздывающего времени

Существование

В целом наличие запаздывающего времени не гарантируется. Например, если в данной системе отсчета электрон только что был создан, то в этот самый момент другой электрон еще не чувствует своей электромагнитной силы. Однако при определенных условиях всегда существует запаздывающее время. Например, если исходный заряд существовал неограниченное время, в течение которого он всегда двигался со скоростью, не превышающей ${displaystyle v_ {M}$, то существует допустимое запаздывающее время ${displaystyle t_ {r}}$. В этом можно убедиться, рассмотрев функцию ${displaystyle f (t ') = | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} (t') | -c (t-t ')}$. В данное время ${displaystyle t '= t}$; ${displaystyle f (t ') = | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} (t') | -c (t-t ') = | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} (t ') | geq 0}$. Производная ${displaystyle f '(t')}$ дан кем-то

${displaystyle f '(t') = {frac {mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} (t_ {r})} {| mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} (t_ { r}) |}} cdot (-mathbf {v} _ {s} (t ')) + cgeq c-left | {frac {mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} (t_ {r}) } {| mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} (t_ {r}) |}} ight |, | mathbf {v} _ {s} (t ') | = c- | mathbf {v} _ {s} (t ') | geq c-v_ {M}> 0}$

Посредством теорема о среднем значении, ${displaystyle f (t-Delta t) leq f (t) -f '(t) Delta tleq f (t) - (c-v_ {M}) Delta t}$. Сделав ${displaystyle Delta t}$ достаточно большой, это может стать отрицательным, т.е., когда-то в прошлом ${displaystyle f (t ') <0}$. Посредством теорема о промежуточном значении существует промежуточный ${displaystyle t_ {r}}$ с ${displaystyle f (t_ {r}) = 0}$, определяющее уравнение запаздывающего времени. Интуитивно понятно, что по мере того, как заряд источника движется назад во времени, поперечное сечение его светового конуса в настоящее время расширяется быстрее, чем он может отступить, поэтому в конечном итоге он должен достичь точки. ${displaystyle mathbf {r}}$. Это не обязательно верно, если скорость заряда источника может быть сколь угодно близкой к ${displaystyle c}$, т.е., если для любой заданной скорости ${displaystyle v$ когда-то в прошлом заряд двигался с такой скоростью. В этом случае сечение светового конуса в настоящее время приближается к точке ${displaystyle mathbf {r}}$ поскольку наблюдатель путешествует во времени, но не обязательно когда-либо достигает его.

Уникальность

Для данной точки ${displaystyle (mathbf {r}, t)}$ и траектория точечного источника ${displaystyle mathbf {r} _ {s} (t ')}$, существует не более одного значения запаздывающего времени ${displaystyle t_ {r}}$, т.е., одно значение ${displaystyle t_ {r}}$ такой, что ${displaystyle | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} (t_ {r}) | = c (t-t_ {r})}$. Это может быть реализовано, если предположить, что есть два запаздывающих времени ${displaystyle t_ {1}}$ и ${displaystyle t_ {2}}$, с ${displaystyle t_ {1} leq t_ {2}}$. Потом, ${displaystyle | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} (t_ {1}) | = c (t-t_ {1})}$ и ${displaystyle | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} (t_ {2}) | = c (t-t_ {2})}$. Вычитание дает ${displaystyle c (t_ {2} -t_ {1}) = | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s} (t_ {1}) | - | mathbf {r} -mathbf {r} _ {s } (t_ {2}) | leq | mathbf {r} _ {s} (t_ {2}) - mathbf {r} _ {s} (t_ {1}) |}$ посредством неравенство треугольника. Пока не ${displaystyle t_ {2} = t_ {1}}$, это означает, что средняя скорость заряда между ${displaystyle t_ {1}}$ и ${displaystyle t_ {2}}$ является ${displaystyle | mathbf {r} _ {s} (t_ {2}) - mathbf {r} _ {s} (t_ {1}) | / (t_ {2} -t_ {1}) geq c}$, что невозможно. Интуитивная интерпретация состоит в том, что можно "увидеть" точечный источник только в одном месте / в одно время одновременно, если только он не перемещается по крайней мере со скоростью света в другое место. По мере того как источник движется вперед во времени, поперечное сечение его светового конуса в настоящее время сжимается быстрее, чем может приблизиться источник, поэтому он никогда не сможет пересечь точку. ${displaystyle mathbf {r}}$ опять таки.

Напрашивается вывод, что при определенных условиях запаздывающее время существует и уникально.

Смотрите также

• Уравнения Максвелла которые управляют классическим электромагнетизмом
• Классический электромагнетизм для большей теории, окружающей этот анализ
• Релятивистский электромагнетизм
• Специальная теория относительности, что явилось прямым следствием этих анализов.
• Формула Ридберга для квантового описания электромагнитного излучения атомных орбитальных электронов
• Уравнения Ефименко
• Формула лармора
• Сила Абрахама – Лоренца
• Неоднородное уравнение электромагнитной волны
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана также известная как теория симметрии времени Уиллера – Фейнмана
• Парадокс заряда в гравитационном поле
• Теория гравитации Уайтхеда

Рекомендации

• Гриффитс, Дэвид. Введение в электродинамику. Прентис Холл, 1999. ISBN  0-13-805326-X.