Плотность тока - Current density

В электромагнетизм, плотность тока - количество заряда в единицу времени, которое проходит через единицу площади выбранного поперечного сечения.^[1] В вектор плотности тока определяется как вектор чья величина электрический ток на площадь поперечного сечения в данной точке пространства, его направление - это направление движения положительных зарядов в этой точке. В Базовые единицы СИ, плотность электрического тока измеряется в амперы на квадратный метр.^[2]

Определение

Предположить, что А (Единица СИ: м²) - малая поверхность с центром в данной точке M и ортогональной движению зарядов при M. Если я_А (Единица СИ: А ) это электрический ток протекает через А, тогда плотность электрического тока j в M дается предел:^[3]

${displaystyle j = lim limits _ {Aightarrow 0} {frac {I_ {A}} {A}},}$

с поверхностью А остающийся в центре M и ортогонален движению зарядов во время предельного процесса.

В вектор плотности тока j - вектор, величина которого равна плотности электрического тока, а направление совпадает с движением положительных зарядов в M.

В определенный момент т, если v - скорость зарядов при M, и dA бесконечно малая поверхность с центром в M и ортогонален v, затем в течение некоторого времени dt, только заряд, содержащийся в объеме, образованном dA и я = dq / dt будет течь через dA. Эта плата равна ρ ||v|| dт dА, куда ρ это плотность заряда в M, а электрический ток при M является я = ρ ||v|| dA. Отсюда следует, что вектор плотности тока можно выразить как:

${displaystyle mathbf {j} = ho mathbf {v}.}$

В поверхностный интеграл из j через поверхность S, за которым следует интеграл по времени т₁ к т₂, дает общее количество заряда, протекающего через поверхность за это время (т₂ − т₁):

${displaystyle q = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} iint _ {S} mathbf {j} cdot mathbf {hat {n}}, {m {d}} A {m {d}} т.}$

Если говорить более кратко, это интеграл от поток из j через S между т₁ и т₂.

В площадь Требуемый для расчета магнитный поток является действительным или мнимым, плоским или криволинейным, как площадь поперечного сечения или как поверхность. Например, для носителей заряда, проходящих через электрический проводник, площадь - это поперечное сечение проводника на рассматриваемом участке.

В векторная область представляет собой комбинацию величины площади, через которую проходят носители заряда, А, а единичный вектор нормально к области, ${displaystyle mathbf {шляпа {n}}}$. Отношение ${displaystyle mathbf {A} = Amathbf {шляпа {n}}}$.

Площадь дифференциального вектора аналогично следует из приведенного выше определения: ${displaystyle dmathbf {A} = dAmathbf {шляпа {n}}}$.

Если плотность тока j проходит по площади под углом θ в нормальную область ${displaystyle mathbf {шляпа {n}}}$, тогда

${displaystyle mathbf {j} cdot mathbf {hat {n}} = jcos heta}$

куда ⋅ это скалярное произведение единичных векторов. То есть составляющая плотности тока, проходящая через поверхность (т.е. нормальная к ней), равна j потому что θ, а касательная к площади составляющая плотности тока равна j грех θ, но есть нет плотность тока, фактически проходящего через площадь в тангенциальном направлении. В Только Составляющая плотности тока, проходящая по нормали к площади, является составляющей косинуса.

Важность

Плотность тока важна для проектирования электрических и электронный системы.

Характеристики схемы сильно зависят от расчетного уровня тока, а плотность тока в этом случае определяется размерами проводящих элементов. Например, как интегральные схемы уменьшаются в размере, несмотря на меньший ток, требуемый меньшими устройства, существует тенденция к более высокой плотности тока для достижения большего количества устройств в еще меньших чип области. Видеть Закон Мура.

На высоких частотах проводящая область в проводе становится ограниченной вблизи ее поверхности, что увеличивает плотность тока в этой области. Это известно как скин эффект.

Высокая плотность тока имеет нежелательные последствия. Большинство электрических проводников имеют конечный положительный сопротивление, заставляя их рассеиваться мощность в виде тепла. Плотность тока должна быть достаточно низкой, чтобы предотвратить плавление или возгорание проводника. изолирующий материал отказ или изменение желаемых электрических свойств. При высоких плотностях тока материал, образующий межсоединения, действительно движется, это явление называется электромиграция. В сверхпроводники чрезмерная плотность тока может создавать достаточно сильное магнитное поле, вызывающее спонтанную потерю сверхпроводящих свойств.

Анализ и наблюдение плотности тока также используются для исследования физики, лежащей в основе природы твердых тел, включая не только металлы, но также полупроводники и изоляторы. Разработан сложный теоретический формализм для объяснения многих фундаментальных наблюдений.^[4][5]

Плотность тока - важный параметр в Обходной закон Ампера (один из Уравнения Максвелла ), которая связывает плотность тока с магнитное поле.

В специальная теория относительности теория, заряд и ток объединены в 4-вектор.

Расчет плотности тока в веществе

Свободные токи

Перевозчики, которые могут свободно перемещаться, составляют свободный ток плотности, которые задаются такими выражениями, как в этом разделе.

Электрический ток - это грубая средняя величина, которая говорит о том, что происходит во всем проводе. На позиции р вовремя т, то распределение из обвинять течение описывается плотностью тока:^[6]

${displaystyle mathbf {j} (mathbf {r}, t) = ho (mathbf {r}, t); mathbf {v} _ {ext {d}} (mathbf {r}, t),}$

куда j(р, т) - вектор плотности тока, v_d(р, т) - среднее скорость дрейфа (Единица СИ: м ∙s⁻¹), и

${displaystyle ho (mathbf {r}, t) = q, n (mathbf {r}, t)}$

это плотность заряда (Единица СИ: кулоны на кубический метр ), в котором п(р, т) - количество частиц в единице объема («числовая плотность») (единица СИ: м⁻³), q - заряд отдельных частиц с плотностью п (Единица СИ: кулоны ).

Обычное приближение к плотности тока предполагает, что ток просто пропорционален электрическому полю, что выражается следующим образом:

${displaystyle mathbf {j} = sigma mathbf {E},}$

куда E это электрическое поле и σ это электрическая проводимость.

Проводимость σ это взаимный (обратный ) электрических удельное сопротивление и имеет единицы СИ Сименс на метр (См⁻¹), и E имеет SI единицы ньютоны на кулон (N⋅C⁻¹) или, что то же самое, вольт на метр (V⋅m⁻¹).

Более фундаментальный подход к расчету плотности тока основан на:

${displaystyle mathbf {j} (mathbf {r}, t) = int _ {- infty} ^ {t} left [int _ {V} sigma (mathbf {r} -mathbf {r} ', t-t') ; mathbf {E} (mathbf {r} ', t'); {ext {d}} ^ {3} mathbf {r} ', ight] {ext {d}} t',}$

с указанием запаздывания реакции зависимостью от времени σ, нелокальный характер отклика на поле пространственной зависимостью σ, оба рассчитываются в принципе на основе лежащего в основе микроскопического анализа, например, в случае достаточно малых полей функция линейного отклика для проводящего поведения в материале. См., Например, Giuliani & Vignale (2005).^[7] или Раммер (2007).^[8] Интеграл распространяется на всю прошлую историю до настоящего времени.

Указанная выше проводимость и связанная с ней плотность тока отражают фундаментальные механизмы, лежащие в основе переноса заряда в среде как во времени, так и на расстоянии.

А преобразование Фурье в пространстве и времени приводит к:

${displaystyle mathbf {j} (mathbf {k}, omega) = sigma (mathbf {k}, omega); mathbf {E} (mathbf {k}, omega),}$

куда σ(k, ω) теперь сложная функция.

Во многих материалах, например, в кристаллических материалах, проводимость равна тензор, и ток не обязательно совпадает с направлением приложенного поля. Помимо свойств самого материала, приложение магнитных полей может изменить поведение проводимости.

Токи поляризации и намагничивания

Токи возникают в материалах при неравномерном распределении заряда.^[9]

В диэлектрик материалов, существует плотность тока, соответствующая чистому движению электрические дипольные моменты на единицу объема, т.е. поляризация п:

${displaystyle mathbf {j} _ {mathrm {P}} = {frac {partial mathbf {P}} {partial t}}}$

Аналогично с магнитные материалы, тиражи магнитные дипольные моменты на единицу объема, т.е. намагничивание М, привести к токи намагничивания:^[10]

${displaystyle mathbf {j} _ {mathrm {M}} = abla imes mathbf {M}}$

Вместе эти термины составляют связанный ток плотность в материале (результирующий ток из-за движений электрического и магнитного дипольных моментов на единицу объема):

${displaystyle mathbf {j} _ {mathrm {b}} = mathbf {j} _ {mathrm {P}} + mathbf {j} _ {mathrm {M}}}$

Общий ток материалов

Полный ток - это просто сумма свободного и связанного токов:

${displaystyle mathbf {j} = mathbf {j} _ {mathrm {f}} + mathbf {j} _ {mathrm {b}}}$

Ток смещения

Также есть ток смещения соответствующие изменяющимся во времени электрическое поле смещения D:^[11][12]

${displaystyle mathbf {j} _ {mathrm {D}} = {frac {partial mathbf {D}} {partial t}}}$

что является важным термином в Закон Ампера, одно из уравнений Максвелла, поскольку отсутствие этого члена не предсказывает электромагнитные волны для распространения, или эволюция во времени электрические поля в целом.

Уравнение неразрывности

Поскольку заряд сохраняется, плотность тока должна удовлетворять уравнение неразрывности. Вот вывод из первых принципов.^[9]

Чистый поток из некоторого объема V (который может иметь произвольную форму, но фиксирован для расчета) должен равняться чистому изменению заряда, удерживаемого внутри объема:

${displaystyle int _ {S} {mathbf {j} cdot mathrm {d} mathbf {A}} = - {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} int _ {V} {ho; mathrm { d} V} = - int _ {V} {{frac {partial ho} {partial t}}; mathrm {d} V}}$

куда ρ это плотность заряда, и dА это элемент поверхности поверхности S заключая том V. Поверхностный интеграл слева выражает ток отток из тома, и отрицательно подписанный интеграл объема справа выражает снижаться в общем заряде внутри объема. От теорема расходимости:

${displaystyle int _ {S} {mathbf {j} cdot mathrm {d} mathbf {A}} = int _ {V} {mathbf {abla} cdot mathbf {j}; mathrm {d} V}}$

Следовательно:

${displaystyle int _ {V} {mathbf {abla} cdot mathbf {j}; mathrm {d} V} = -int _ {V} {{frac {partial ho} {partial t}}; mathrm {d} V} }$

Это соотношение справедливо для любого объема, независимо от размера или местоположения, что подразумевает, что:

${displaystyle abla cdot mathbf {j} = - {frac {partial ho} {partial t}}}$

и это отношение называется уравнение неразрывности.^[13][14]

На практике

В электропроводка, максимальная плотность тока может варьироваться от 4 А⋅мм⁻² для провода без циркуляции воздуха вокруг него - до 6 А⋅мм⁻² для провода на открытом воздухе. Правила для проводка здания перечислите максимально допустимый ток для каждого размера кабеля в различных условиях. Для компактных конструкций, например обмоток Трансформаторы SMPS, значение может быть всего 2 А⋅мм⁻².^[15] Если по проводу протекает ток высокой частоты, скин эффект может повлиять на распределение тока по сечению, концентрируя ток на поверхности дирижер. В трансформаторы разработан для высоких частот, потери снижаются, если Литц-проволока используется для обмоток. Он состоит из нескольких параллельно соединенных изолированных проводов диаметром в два раза больше глубина кожи. Изолированные пряди скручиваются вместе, чтобы увеличить общую площадь кожи и уменьшить сопротивление из-за кожных эффектов.

Для верхнего и нижнего слоев печатные платы максимальная плотность тока может достигать 35 А⋅мм⁻² с толщиной меди 35 мкм. Внутренние слои не могут рассеивать столько тепла, как внешние слои; разработчики печатных плат избегают нанесения сильноточных проводов на внутренние слои.

в полупроводники В поле максимальные плотности тока для различных элементов указываются производителем. Превышение этих пределов вызывает следующие проблемы:

• В Эффект Джоуля что увеличивает температуру компонента.
• В эффект электромиграции что разрушит соединение и, в конечном итоге, вызовет разрыв цепи.
• Медленный эффект диффузии которые при постоянном воздействии высоких температур будут перемещать ионы металлов и присадки подальше от того места, где они должны быть. Этот эффект также является синонимом старения.

Следующая таблица дает представление о максимальной плотности тока для различных материалов.

Даже если производители добавляют некоторый запас к своим числам, рекомендуется как минимум удвоить расчетное сечение для повышения надежности, особенно для качественной электроники. Также можно заметить важность охлаждения электронных устройств, чтобы не подвергать их воздействию электромиграция и медленно распространение.

В биологические организмы, ионные каналы регулировать поток ионы (Например, натрий, кальций, калий ) через мембрана в целом клетки. Предполагается, что мембрана клетки действует как конденсатор.^[17] Плотность тока обычно выражается в pA⋅pF.⁻¹ (пикоамперы на пикофарад ) (т.е. ток, деленный на емкость ). Существуют методы эмпирического измерения емкости и площади поверхности ячеек, которые позволяют рассчитывать плотности тока для различных ячеек. Это позволяет исследователям сравнивать ионные токи в ячейках разного размера.^[18]

В газоразрядные лампы, Такие как фонари, плотность тока играет важную роль в выходе спектр произведено. Низкие плотности тока производят спектральная линия выброс и склонны отдавать предпочтение дольше длины волн. Высокая плотность тока вызывает непрерывное излучение и, как правило, способствует более коротким длинам волн.^[19] Низкие плотности тока для импульсных ламп обычно составляют около 10 А⋅мм.⁻². Высокая плотность тока может быть более 40 А 40мм.⁻².

Смотрите также

• эффект Холла
• Квантовый эффект Холла
• Сверхпроводимость
• Электронная подвижность
• Скорость дрейфа
• Эффективная масса
• Электрическое сопротивление
• Листовое сопротивление
• Скорость электричества
• Электрическая проводимость
• Отношения Грина – Кубо
• Функция Грина (теория многих тел)

Рекомендации

20. Джонс, Т. 2020. «Они эквивалентны по размерам»