Электронная мобильность - Википедия - Electron mobility

В физика твердого тела, то подвижность электронов характеризует, насколько быстро электрон может пройти через металл или же полупроводник, когда тянут электрическое поле. Аналогичная величина имеется для дыры, называется подвижность дыр. Период, термин мобильность оператора в целом относится как к подвижности электронов, так и дырок.

Подвижность электронов и дырок Особые случаи из электрическая мобильность заряженных частиц в жидкости под действием приложенного электрического поля.

Когда электрическое поле E наносится на кусок материала, электроны реагируют движением со средней скоростью, называемой скорость дрейфа, ${ displaystyle , v_ {d}}$. Тогда подвижность электронов μ определяется как

${ Displaystyle , v_ {d} = mu E}$.

Подвижность электронов почти всегда указывается в единицах см² /(V ⋅s ). Это отличается от SI единица мобильности, м² /(V ⋅s ). Их расстояние составляет 1 м.²/ (Вс) = 10⁴ см²/ (V⋅s).

Проводимость пропорциональна произведению подвижности и концентрации носителей. Например, одна и та же проводимость может исходить от небольшого количества электронов с высокой подвижностью для каждого или от большого количества электронов с небольшой подвижностью для каждого. Для металлов, как правило, не имеет значения, какой из них имеет место, поскольку большинство электрических свойств металлов зависит только от проводимости. Поэтому в физике металлов мобильность относительно не важна. С другой стороны, для полупроводников поведение транзисторы и другие устройства могут сильно отличаться в зависимости от того, много ли электронов с низкой подвижностью или мало электронов с высокой подвижностью. Поэтому подвижность - очень важный параметр для полупроводниковых материалов. Практически всегда более высокая мобильность приводит к лучшей производительности устройства при прочих равных условиях.

Подвижность полупроводников зависит от концентраций примесей (включая концентрации доноров и акцепторов), концентрации дефектов, температуры и концентраций электронов и дырок. Это также зависит от электрического поля, особенно в сильных полях, когда насыщение скорости происходит. Его можно определить по эффект Холла, или выводится из поведения транзистора.

Вступление

Скорость дрейфа в электрическом поле

Без приложенного электрического поля в твердом теле электроны и дыры перемещаться случайным образом. Следовательно, в среднем не будет общего движения носителей заряда в каком-либо конкретном направлении с течением времени.

Однако при приложении электрического поля каждый электрон или дырка ускоряется электрическим полем. Если бы электрон находился в вакууме, он бы разогнался до постоянно увеличивающейся скорости (называемой баллистический транспорт ). Однако в твердом теле электрон многократно рассеивается кристаллические дефекты, фононы, примеси и т. д., так что он теряет немного энергии и меняет направление. Конечный результат состоит в том, что электрон движется с конечной средней скоростью, называемой скорость дрейфа. Это чистое движение электронов обычно намного медленнее, чем обычно происходящее случайное движение.

Два носителя заряда, электроны и дырки, обычно имеют разные скорости дрейфа для одного и того же электрического поля.

Квазибаллистический транспорт возможно в твердых телах, если электроны ускоряются на очень маленькое расстояние (такое маленькое, как длина свободного пробега ), или на очень короткое время (до среднее свободное время ). В этих случаях скорость дрейфа и подвижность не имеют значения.

Определение и единицы измерения

Подвижность электронов определяется уравнением:

${ Displaystyle , v_ {d} = mu E}$.

куда:

E это величина из электрическое поле наносится на материал,

v_d это величина дрейфовой скорости электронов (другими словами, дрейфовой скорость ), вызванное электрическим полем, и

µ - подвижность электронов.

Подвижность дырок определяется тем же уравнением. Подвижности электронов и дырок по определению положительны.

Обычно скорость дрейфа электронов в материале прямо пропорциональна электрическому полю, а это означает, что подвижность электронов постоянна (не зависит от электрического поля). Когда это не так (например, в очень больших электрических полях), подвижность зависит от электрического поля.

Единица измерения скорости в системе СИ - РС, а единицей измерения электрического поля в системе СИ является V /м. Следовательно, единица измерения мобильности в системе СИ равна (м / с) / (В / м) = м² /(V ⋅s ). Однако подвижность гораздо чаще выражается в см.²/ (Вс) = 10⁻⁴ м²/ (V⋅s).

Подвижность обычно сильно зависит от примесей материала и температуры и определяется эмпирически. Значения мобильности обычно представлены в виде таблицы или диаграммы. Подвижность также различна для электронов и дырок в данном материале.

Отношение к проводимости

Между мобильностью и мобильностью существует простая связь. электрическая проводимость. Позволять п быть числовая плотность (концентрация) электронов, и пусть μ_е быть их мобильностью. В электрическом поле E, каждый из этих электронов будет двигаться с вектором скорости ${ displaystyle - mu _ {e} mathbf {E}}$, для полной плотности тока ${ displaystyle ne mu _ {e} mathbf {E}}$ (куда е это элементарный заряд ). Следовательно, электропроводность σ удовлетворяет:^[1]

${ displaystyle sigma = ne mu _ {e}}$.

Эта формула верна, когда проводимость полностью обусловлена ​​электронами. В полупроводник p-типа, проводимость обусловлена ​​дырками, но формула по существу та же: если «p» - это концентрация дырок, а μ_час - подвижность дырок, то проводимость равна

${ displaystyle sigma = pe mu _ {h}}$.

Если в полупроводнике есть и электроны, и дыры, полная проводимость равна^[1]

${ Displaystyle sigma = е (п му _ {е} + р му _ {ч}).}$

Примеры

Типичная подвижность электронов при комнатной температуре (300 К) в таких металлах, как золото, медь и серебро 30-50 см²/ (V⋅s). Подвижность носителей в полупроводниках зависит от легирования. В кремний (Si) подвижность электронов порядка 1000, в германии около 4000, а в арсениде галлия - до 10000 см.²/ (V⋅s). Подвижность отверстий обычно ниже и составляет около 100 см.²/ (V⋅s) в арсениде галлия, до 450 в кремнии и 2000 в германии.^[2]

Очень высокая подвижность была обнаружена в нескольких сверхчистых низкоразмерных системах, таких как двумерные электронные газы (2DEG ) (35000000 см²/ (В⋅с) при низкой температуре),^[3] углеродные нанотрубки (100000 см²/ (В⋅с) при комнатной температуре)^[4] и отдельно стоящий графен (200000 см²/ V⋅s при низкой температуре).^[5]Органические полупроводники (полимер, олигомер ), разработанные до сих пор, имеют подвижность носителя менее 50 см.²/ (V⋅s), и обычно ниже 1, с хорошо работающими материалами, измеренными ниже 10.^[6]

Зависимость от электрического поля и насыщение скорости

В малых полях скорость дрейфа v_d пропорционально электрическому полю E, так мобильность μ постоянно. Это значение μ называется мобильность в низком поле.

Однако по мере увеличения электрического поля скорость носителя увеличивается сублинейно и асимптотически до максимально возможного значения, называемого скорость насыщения v_сидел. Например, значение v_сидел порядка 1 × 10⁷ см / с как для электронов, так и для дырок в Si. Это порядка 6 × 10⁶ см / с для Ge. Эта скорость является характеристикой материала и сильно зависит от допинг или уровни примесей и температура. Это одно из ключевых свойств материала и полупроводникового устройства, которое определяет такое устройство, как конечный предел скорости отклика и частоты транзистора.

Это явление насыщения скорости является результатом процесса, называемого оптический фонон рассеяние. В сильных полях носители ускоряются достаточно, чтобы получить достаточно кинетическая энергия между столкновениями, чтобы испустить оптический фонон, и они делают это очень быстро, прежде чем снова ускоряться. Скорость, которую достигает электрон, прежде чем испустить фонон, равна:

${ displaystyle { frac {m ^ {*} v_ {emit} ^ {2}} {2}} приблизительно hbar omega _ {phonon (опт.)}}$

куда ω_{фонон (опт.)} - угловая частота оптического фонона, а m * - эффективная масса носителя в направлении электрического поля. Значение E_{фонон (опт.)} составляет 0,063 эВ для Si и 0,034 эВ для GaAs и Ge. Скорость насыщения составляет лишь половину от v_{испускают}, поскольку электрон стартует с нулевой скоростью и ускоряется до v_{испускают} в каждом цикле.^[11] (Это несколько упрощенное описание.^[11])

Насыщение скорости - не единственное возможное поведение сильного поля. Другой - это Эффект Ганна, где достаточно сильное электрическое поле может вызвать междисциплинарный перенос электронов, что снижает скорость дрейфа. Это необычно; увеличение электрического поля почти всегда увеличивается скорость сноса, иначе не изменится. Результат отрицательное дифференциальное сопротивление.

В режиме насыщения скорости (или других сильнополевых эффектов) подвижность сильно зависит от электрического поля. Это означает, что мобильность - несколько менее полезная концепция по сравнению с простым обсуждением скорости дрейфа напрямую.

Связь между рассеянием и подвижностью

Напомним, что по определению подвижность зависит от скорости дрейфа. Основной фактор, определяющий скорость дрейфа (кроме эффективная масса ) является рассеяние время, то есть как долго перевозчик баллистически ускоренный электрическим полем, пока оно не рассеется (не столкнется) с чем-то, что меняет свое направление и / или энергию. Наиболее важными источниками рассеяния в типичных полупроводниковых материалах, обсуждаемыми ниже, являются рассеяние на ионизованных примесях и рассеяние акустических фононов (также называемое рассеянием на решетке). В некоторых случаях могут быть важны другие источники рассеяния, такие как рассеяние на нейтральных примесях, рассеяние оптических фононов, поверхностное рассеяние и дефект рассеяние.^[12]

Упругое рассеяние означает, что энергия (почти) сохраняется во время рассеяния. Некоторые процессы упругого рассеяния - это рассеяние на акустических фононах, примесное рассеяние, пьезоэлектрическое рассеяние и т. Д. При рассеянии акустических фононов электроны рассеиваются из состояния k к k ', при излучении или поглощении фонона волнового вектора q. Это явление обычно моделируется, предполагая, что колебания решетки вызывают небольшие сдвиги в энергетических зонах. Дополнительный потенциал, вызывающий процесс рассеяния, создается отклонениями полос из-за этих малых переходов из замороженных положений решетки.^[13]

Ионизированное примесное рассеяние

Полупроводники легированы донорами и / или акцепторами, которые обычно ионизируются и, таким образом, заряжаются. Кулоновские силы отклонят электрон или дырку от ионизированной примеси. Это известно как рассеяние на ионизованной примеси. Величина отклонения зависит от скорости носителя и его близости к иону. Чем сильнее легирован материал, тем выше вероятность столкновения носителя с ионом за заданное время и тем меньше среднее свободное время между столкновениями, и тем меньше подвижность. При определении силы этих взаимодействий из-за дальнодействующего характера кулоновского потенциала другие примеси и свободные носители вызывают значительное сокращение диапазона взаимодействия с носителями по сравнению с голым кулоновским взаимодействием.

Если эти рассеиватели находятся около границы раздела, сложность проблемы возрастает из-за наличия дефектов и нарушений кристалла. Центры захвата заряда, которые рассеивают свободные носители, во многих случаях образуются из-за дефектов, связанных с оборванными связями. Рассеяние происходит потому, что после захвата заряда дефект становится заряженным и, следовательно, начинает взаимодействовать со свободными носителями. Если рассеянные носители находятся в инверсионном слое на границе раздела, уменьшенная размерность носителей отличает случай от случая объемного примесного рассеяния, поскольку носители движутся только в двух измерениях. Шероховатость поверхности раздела также вызывает рассеяние на короткие расстояния, ограничивающее подвижность квазидвумерных электронов на границе раздела.^[13]

Решеточное (фононное) рассеяние

При любой температуре выше абсолютный ноль, колеблющиеся атомы создают в кристалле волны давления (акустические), которые называются фононы. Как и электроны, фононы можно рассматривать как частицы. Фонон может взаимодействовать (сталкиваться) с электроном (или дыркой) и рассеивать его. При более высокой температуре фононов больше, и, следовательно, увеличивается рассеяние электронов, что ведет к снижению подвижности.

Пьезоэлектрическое рассеяние

Пьезоэлектрический эффект может возникать только в сложных полупроводниках из-за их полярной природы. В большинстве полупроводников он невелик, но может приводить к локальным электрическим полям, которые вызывают рассеяние носителей за счет их отклонения; этот эффект важен в основном при низких температурах, где другие механизмы рассеяния слабы. Эти электрические поля возникают из-за искажения основной элементарной ячейки, когда в решетке прикладываются напряжения в определенных направлениях.^[13]

Рассеяние шероховатости поверхности

Рассеяние на шероховатости поверхности, вызванное межфазным беспорядком, - это рассеяние на короткие расстояния, ограничивающее подвижность квазидвумерных электронов на границе раздела. Из просвечивающих электронных микрофотографий с высоким разрешением было определено, что граница раздела не является резкой на атомном уровне, но фактическое положение межфазной плоскости изменяется на один или два атомных слоя вдоль поверхности. Эти изменения случайны и вызывают флуктуации уровней энергии на границе раздела, что затем вызывает рассеяние.^[13]

Рассеивание сплава

В сложных полупроводниках (сплавах), которыми являются многие термоэлектрические материалы, рассеяние, вызванное возмущением кристаллического потенциала из-за случайного расположения замещающих видов атомов в соответствующей подрешетке, известно как рассеяние сплава. Это может произойти только в тройных или более высоких сплавах, поскольку их кристаллическая структура формируется путем случайной замены некоторых атомов в одной из подрешеток (подрешетки) кристаллической структуры. Обычно это явление довольно слабое, но в определенных материалах или обстоятельствах оно может стать доминирующим эффектом, ограничивающим проводимость. В объемных материалах обычно не учитывается межфазное рассеяние.^{[13][14][15][16][17]}

Неупругое рассеяние

Во время процессов неупругого рассеяния происходит значительный энергообмен. Как и в случае с упругим рассеянием фононов, в неупругом случае потенциал возникает из-за деформаций энергетических зон, вызванных колебаниями атомов. Оптические фононы, вызывающие неупругое рассеяние, обычно имеют энергию в диапазоне 30-50 мэВ, для сравнения энергии акустических фононов обычно меньше 1 мэВ, но некоторые могут иметь энергию порядка 10 мэВ. В процессе рассеяния наблюдается значительное изменение энергии носителей. Оптические или высокоэнергетические акустические фононы также могут вызывать межполосное или межзонное рассеяние, что означает, что рассеяние не ограничивается одной долиной.^[13]

Электрон-электронное рассеяние

Согласно принципу исключения Паули, электроны можно считать невзаимодействующими, если их плотность не превышает значения 10¹⁶~10¹⁷ см⁻³ или значение электрического поля 10³ В / см. Однако значительно выше этих пределов электрон-электронное рассеяние начинает преобладать. Большой радиус действия и нелинейность кулоновского потенциала, регулирующего взаимодействия между электронами, затрудняют рассмотрение этих взаимодействий.^[13][14][15]

Связь между подвижностью и временем рассеяния

Простая модель дает приблизительное соотношение между временем рассеяния (среднее время между событиями рассеяния) и подвижностью. Предполагается, что после каждого события рассеяния движение носителя рандомизируется, поэтому его средняя скорость равна нулю. После этого он равномерно ускоряется в электрическом поле, пока снова не рассеется. В результате средняя дрейфовая подвижность составляет:^[18]

${ displaystyle mu = { frac {q} {m ^ {*}}} { overline { tau}}}$

куда q это элементарный заряд, m * - носитель эффективная масса, и τ - среднее время рассеяния.

Если эффективная масса анизотропна (зависит от направления), m * - это эффективная масса в направлении электрического поля.

Правило Маттиссена

Обычно присутствует более одного источника рассеяния, например как примеси, так и решеточные фононы. Обычно это очень хорошее приближение - объединить их влияния с помощью «Правила Маттиссена» (разработанного на основе работы Август Маттиссен в 1864 г.):

${ displaystyle { frac {1} { mu}} = { frac {1} { mu _ { rm {примеси}}}} + { frac {1} { mu _ { rm {решетка }}}}}$.

где µ - фактическая подвижность, ${ Displaystyle mu _ { rm {примеси}}}$ представляет собой подвижность, которую материал имел бы, если бы имелось рассеяние на примесях, но не было другого источника рассеяния, и ${ displaystyle mu _ { rm {решетка}}}$ это подвижность, которую материал имел бы, если бы имелось рассеяние на решеточных фононах, но не было другого источника рассеяния. Для других источников рассеяния могут быть добавлены другие члены, например

${ displaystyle { frac {1} { mu}} = { frac {1} { mu _ { rm {примеси}}}} + { frac {1} { mu _ { rm {решетка }}}} + { frac {1} { mu _ { rm {errors}}}} + cdots}$.

Правило Маттиссена также можно сформулировать в терминах времени рассеяния:

${ displaystyle { frac {1} { tau}} = { frac {1} { tau _ { rm {примеси}}}} + { frac {1} { tau _ { rm {решетка }}}} + { frac {1} { tau _ { rm {errors}}}} + cdots}$.

куда τ - истинное среднее время рассеяния, а τ_{примеси} - время рассеяния, если было рассеяние на примесях, но не было другого источника рассеяния и т. д.

Правило Маттиссена является приблизительным и не универсально. Это правило недействительно, если факторы, влияющие на мобильность, зависят друг от друга, потому что индивидуальные вероятности рассеяния нельзя суммировать, если они не независимы друг от друга.^[17] Среднее время свободного полета носителя и, следовательно, время релаксации обратно пропорционально вероятности рассеяния.^[13][14][16] Например, рассеяние на решетке изменяет среднюю скорость электронов (в направлении электрического поля), что, в свою очередь, меняет тенденцию к рассеиванию примесей. Существуют более сложные формулы, которые пытаются учесть эти эффекты.^[19]

Температурная зависимость подвижности

С повышением температуры концентрация фононов увеличивается и вызывает усиленное рассеяние. Таким образом, рассеяние на решетке все больше и больше снижает подвижность носителей при более высокой температуре. Теоретические расчеты показывают, что подвижность в неполярный в полупроводниках, таких как кремний и германий, преобладают акустический фонон взаимодействие. Ожидается, что результирующая мобильность будет пропорциональна Т ^−3/2, а подвижность, обусловленная только рассеянием оптических фононов, должна быть пропорциональна Т ^−1/2. Экспериментально значения температурной зависимости подвижности в Si, Ge и GaAs приведены в таблице.^[1]

В качестве ${ displaystyle { frac {1} { tau}} propto left langle v right rangle Sigma}$, куда ${ displaystyle Sigma}$ - сечение рассеяния электронов и дырок на рассеивающем центре и ${ displaystyle left langle v right rangle}$ является термическим средним (статистика Больцмана) по всем скоростям электронов или дырок в нижней зоне проводимости или верхней валентной зоне, можно определить температурную зависимость подвижности. Здесь используется следующее определение сечения рассеяния: количество частиц, рассеянных на телесный угол dΩ за единицу времени, деленное на количество частиц на площадь за время (интенсивность падения), что исходит из классической механики. Поскольку статистика Больцмана действительна для полупроводников ${ displaystyle left langle v right rangle sim { sqrt {T}}}$.

Для рассеяния на акустических фононах при температурах, значительно превышающих температуру Дебая, расчетное сечение Σ_ph определяется из квадрата средней амплитуды колебаний фонона, пропорционального T. Рассеяние на заряженных дефектах (ионизированных донорах или акцепторах) приводит к сечению ${ Displaystyle { Sigma} _ {def} propto { left langle v right rangle} ^ {- 4}}$. Эта формула представляет собой сечение рассеяния для «резерфордского рассеяния», когда точечный заряд (носитель) движется мимо другого точечного заряда (дефекта), испытывающего кулоновское взаимодействие.

Температурные зависимости этих двух механизмов рассеяния в полупроводниках могут быть определены путем объединения формул для τ, Σ и ${ displaystyle left langle v right rangle}$, быть для рассеяния на акустических фононах ${ displaystyle { mu} _ {ph} sim T ^ {- 3/2}}$ и от заряженных дефектов ${ displaystyle { mu} _ {def} sim T ^ {3/2}}$.^[14][16]

Однако эффект рассеяния ионизованной примеси уменьшается с повышением температуры, потому что средние тепловые скорости носителей увеличиваются.^[12] Таким образом, носители проводят меньше времени рядом с ионизированной примесью при прохождении, и, таким образом, эффект рассеяния ионов уменьшается.

Эти два эффекта действуют одновременно на носителей в соответствии с правилом Маттиссена. При более низких температурах преобладает рассеяние на ионизованных примесях, а при более высоких температурах - рассеяние на фононах, а фактическая подвижность достигает максимума при промежуточной температуре.

Измерение подвижности полупроводников

Подвижность зала

Установка для измерения эффекта Холла для отверстий

Установка для измерения эффекта Холла для электронов

Мобильность оператора связи чаще всего измеряется с помощью эффект Холла. Результат измерения называется «подвижностью Холла» (что означает «подвижность, полученная на основе измерения эффекта Холла»).

Рассмотрим образец полупроводника с прямоугольным поперечным сечением, как показано на рисунках, ток течет в Икс-направление и магнитное поле применяется в z-направление. Результирующая сила Лоренца ускорит электроны (п-типа материалов) или отверстий (п-типа материалов) в (-у) направление, согласно правило правой руки и создать электрическое поле ξ_у. В результате на образце возникает напряжение, которое можно измерить с помощью высокоомный вольтметр. Это напряжение, V_ЧАС, называется Напряжение Холла. V_ЧАС отрицательно для п-типа материала и позитива для п-типа материала.

Математически Сила Лоренца действуя по обвинению q дан кем-то

Для электронов:

${ displaystyle { overrightarrow {F}} _ {Hn} = - q ({ overrightarrow {v}} _ {n} times { overrightarrow {B}} _ {z})}$

Для отверстий:

${ displaystyle { overrightarrow {F}} _ {Hp} = + q ({ overrightarrow {v}} _ {p} times { overrightarrow {B}} _ {z})}$

В установившемся состоянии эта сила уравновешивается силой, создаваемой напряжением Холла, так что нет равнодействующая сила на перевозчиках в у направление. Для электрона

${ displaystyle { overrightarrow {F}} _ {y} = (- q) { overrightarrow { xi}} _ {y} + (- q) [{ overrightarrow {v}} _ {n} раз { overrightarrow {B}} _ {z}] = 0}$

${ displaystyle Rightarrow -q xi _ {y} + qv_ {x} B_ {z} = 0}$

${ Displaystyle xi _ {y} = v_ {x} B_ {z}}$

Для электронов поле указывает на -у направление, а для отверстий указывает на +у направление.

В электронный ток я дан кем-то ${ displaystyle I = -qnv_ {x} tW}$. Sub v_Икс в выражение для ξ_у,

${ displaystyle xi _ {y} = - { frac {IB} {nqtW}} = + { frac {R_ {Hn} IB} {tW}}}$

куда р_Hn - коэффициент Холла для электрона и определяется как

${ displaystyle R_ {Hn} = - { frac {1} {nq}}}$

С ${ displaystyle xi _ {y} = { frac {V_ {H}} {W}}}$

${ displaystyle R_ {Hn} = - { frac {1} {nq}} = { frac {V_ {Hn} t} {IB}}}$

Аналогично для дырок

${ displaystyle R_ {Hp} = { frac {1} {pq}} = { frac {V_ {Hp} t} {IB}}}$

Из коэффициента Холла мы можем получить подвижность носителей следующим образом:

${ displaystyle mu _ {n} = (- nq) mu _ {n} (- { frac {1} {nq}}) = - sigma _ {n} R_ {Hn}}$

${ displaystyle = - { frac { sigma _ {n} V_ {Hn} t} {IB}}}$

По аналогии,

${ displaystyle mu _ {p} = { frac { sigma _ {p} V_ {Hp} t} {IB}}}$

Здесь значение V_Л.с. (Напряжение Холла), t (толщина образца), I (ток) и B (магнитное поле) можно измерить напрямую, а проводимости σ_п или σ_п либо известны, либо могут быть получены путем измерения удельного сопротивления.

Полевая подвижность

Подвижность также можно измерить с помощью полевой транзистор (FET). Результат измерения называется «полевой подвижностью» (что означает «подвижность, полученная в результате измерения полевого эффекта»).

Измерение может работать двумя способами: на основе измерений в режиме насыщения или измерений в линейной области.^[20] (Видеть МОП-транзистор для описания различных режимов или регионов работы.)

Использование режима насыщенности

В этой технике^[20] для каждого фиксированного напряжения затвора V_GS, напряжение сток-исток V_DS увеличивается до тех пор, пока ток I_D насыщает. Затем квадратный корень из этого тока насыщения строится в зависимости от напряжения затвора, а наклон m_сидел измеряется. Тогда подвижность равна:

${ displaystyle mu = m_ {sat} ^ {2} { frac {2L} {W}} { frac {1} {C_ {i}}}}$

куда L и W - длина и ширина канала и C_я - емкость изолятора затвора на единицу площади. Это уравнение происходит из приближенного уравнения для полевого МОП-транзистора в режиме насыщения:

${ displaystyle I_ {D} = { frac { mu C_ {i}} {2}} { frac {W} {L}} (V_ {GS} -V_ {th}) ^ {2}.}$

где V_th - пороговое напряжение. Это приближение игнорирует Ранний эффект (модуляция длины канала), среди прочего. На практике этот метод может недооценивать истинную мобильность.^[21]

Используя линейную область

В этой технике^[20] транзистор работает в линейной области (или «омическом режиме»), где V_DS маленький и ${ displaystyle I_ {D} propto V_ {GS}}$ с уклоном м_Линь. Тогда подвижность равна:

${ displaystyle mu = m_ {lin} { frac {L} {W}} { frac {1} {V_ {DS}}} { frac {1} {C_ {i}}}}$.

Это уравнение происходит из приближенного уравнения для полевого МОП-транзистора в линейной области:

${ displaystyle I_ {D} = mu C_ {i} { frac {W} {L}} left ((V_ {GS} -V_ {th}) V_ {DS} - { frac {V_ {DS } ^ {2}} {2}} right)}$

На практике этот метод может переоценить истинную подвижность, потому что если V_DS недостаточно мала и V_грамм недостаточно большой, полевой МОП-транзистор может не оставаться в линейной области.^[21]

Оптическая мобильность

Подвижность электронов можно определить с помощью бесконтактного лазера. фотоотражение измерения. По мере того, как образец проходит через фокусировку, проводится серия измерений фотоотражения. Длина диффузии электронов и время рекомбинации определяются путем регрессионного подбора данных. Затем соотношение Эйнштейна используется для расчета подвижности.^[22][23]

Терагерцовая подвижность

Подвижность электронов можно рассчитать с временным разрешением. терагерцовый зонд измерение.^[24][25] Фемтосекундный лазер импульсы возбуждают полупроводник и в результате фотопроводимость измеряется с помощью терагерцового зонда, который обнаруживает изменения терагерцового электрического поля.^[26]

Концентрационная зависимость легирования в сильнолегированном кремнии

В носители заряда в полупроводниках есть электроны и дырки. Их количество определяется концентрацией примесных элементов, т.е. концентрацией легирования. Таким образом, концентрация легирования имеет большое влияние на подвижность носителей.

Хотя есть значительный разброс в экспериментальные данные, для некомпенсированного материала (без встречного легирования) для сильно легированных подложек (т.е. ${ displaystyle 10 ^ {18} mathrm {см} ^ {- 3}}$ и выше) подвижность в кремнии часто характеризуется эмпирические отношения:^[27]

${ displaystyle mu = mu _ {o} + { frac { mu _ {1}} {1 + ({ frac {N} {N _ { text {ref}}}}) ^ { alpha }}}}$

куда N - концентрация легирования (либо N_D или же N_А), и N_ссылка и α - подгоночные параметры. В комнатная температура, приведенное выше уравнение становится:

Основные перевозчики:^[28]

${ displaystyle mu _ {n} (N_ {D}) = 65 + { frac {1265} {1 + ({ frac {N_ {D}} {8,5 times 10 ^ {16}}}) ^ {0,72}}}}$

${ displaystyle mu _ {p} (N_ {A}) = 48 + { frac {447} {1 + ({ frac {N_ {A}} {6.3 times 10 ^ {16}}}) ^ {0,76}}}}$

Несущие меньшинства:^[29]

${ displaystyle mu _ {n} (N_ {A}) = 232 + { frac {1180} {1 + ({ frac {N_ {A}} {8 times 10 ^ {16}}}) ^ {0.9}}}}$

${ displaystyle mu _ {p} (N_ {D}) = 130 + { frac {370} {1 + ({ frac {N_ {D}} {8 times 10 ^ {17}}}) ^ {1.25}}}}$

Эти уравнения применимы только к кремнию и только в слабом поле.

Смотрите также

• Скорость электричества

Рекомендации

внешняя ссылка

• Словарь терминов по полупроводникам, посвященный мобильности электронов
• Resistivity and Mobility Calculator from the BYU Cleanroom
• Online lecture- Мобильность from an atomistic point of view