Длина свободного пробега - Mean free path

В физика, то длина свободного пробега это среднее расстояние, которое проходит движущаяся частица (например, атом, а молекула, а фотон ) между последовательными ударами (столкновениями),^[1] который изменяет его направление, энергию или другие свойства частицы.

Теория рассеяния

Плита мишени

Представьте себе пучок частиц, проходящий через цель, и рассмотрите бесконечно тонкий пласт цели (см. Рисунок).^[2] Атомы (или частицы), которые могут остановить частицу луча, показаны красным. Величина длины свободного пробега зависит от характеристик системы. Предполагая, что все частицы мишени находятся в состоянии покоя, но движется только частица пучка, это дает выражение для длины свободного пробега:

{ displaystyle ell = ( sigma n) ^ {- 1},}

где $ℓ$ - длина свободного пробега, $п$ - количество целевых частиц в единице объема, а $σ$ эффективный поперечный зона столкновения.

Площадь плиты составляет $L 2$ , а его объем $L 2 dx$ . Типичное количество останавливающихся атомов в пластине - это концентрация $п$ умножить на объем, т. е. $п L 2 dx$ . Вероятность того, что частица пучка будет остановлена в этой пластине, равна чистой площади останавливающих атомов, деленной на общую площадь пластины:

{ displaystyle { mathcal {P}} ({ text {stop within}} dx) = { frac {{ text {Area}} _ { text {atom}}} {{ text {Area}} _ { text {slab}}}} = { frac { sigma nL ^ {2} , dx} {L ^ {2}}} = n sigma , dx,}

где $σ$ это площадь (или, более формально, "сечение рассеяния ") одного атома.

Падение интенсивности луча равно интенсивности входящего луча, умноженной на вероятность остановки частицы внутри плиты:

{ displaystyle dI = -In sigma , dx.}

Это обыкновенное дифференциальное уравнение:

{ displaystyle { frac {dI} {dx}} = - В sigma { overset { text {def}} {=}} - { frac {I} { ell}},}

решение которого известно как Закон Бера-Ламберта и имеет вид ${ displaystyle I = I_ {0} e ^ {- x / ell}}$ , где $Икс$ - расстояние, пройденное лучом через цель, и $я 0$ - интенсивность луча до его попадания в цель; $ℓ$ называется средней длиной свободного пробега, потому что она равна иметь в виду расстояние, пройденное частицей луча до остановки. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что вероятность того, что частица будет поглощена между $Икс$ и $Икс + dx$ дан кем-то

{ displaystyle d { mathcal {P}} (x) = { frac {I (x) -I (x + dx)} {I_ {0}}} = { frac {1} { ell}} e ^ {- x / ell} dx.}

Таким образом ожидаемое значение (или среднее, или просто среднее) из $Икс$ является

{ displaystyle langle x rangle { overset { text {def}} {=}} int _ {0} ^ { infty} xd { mathcal {P}} (x) = int _ {0 } ^ { infty} { frac {x} { ell}} e ^ {- x / ell} , dx = ell.}

Доля частиц, которые не остановились (ослабленный ) по плите называется коробка передач ${ displaystyle T = I / I_ {0} = e ^ {- x / ell}}$ , где $Икс$ равна толщине плиты $х = dx$ .

Кинетическая теория газов

в кинетическая теория газов, то длина свободного пробега частицы, такой как молекула, - среднее расстояние, которое проходит частица между столкновениями с другими движущимися частицами. Приведенный выше вывод предполагал, что частицы-мишени находятся в состоянии покоя, поэтому в действительности формула ${ Displaystyle ell = (п сигма) ^ {- 1}}$ выполняется для частицы пучка с высокой скоростью ${ displaystyle v}$ относительно скоростей ансамбля одинаковых частиц со случайным расположением. В этом случае движения частиц мишени сравнительно незначительны, поэтому относительная скорость ${ Displaystyle v _ { rm {rel}} приблизительно v}$ .

Если, с другой стороны, частица пучка является частью установленного равновесия с идентичными частицами, то квадрат относительной скорости равен:

${ displaystyle { overline { mathbf {v} _ { rm {relative}} ^ {2}}} = { overline {( mathbf {v} _ {1} - mathbf {v} _ {2 }) ^ {2}}} = { overline { mathbf {v} _ {1} ^ {2} + mathbf {v} _ {2} ^ {2} -2 mathbf {v} _ {1 } cdot mathbf {v} _ {2}}}.}$

В равновесии ${ displaystyle mathbf {v} _ {1}}$ и ${ displaystyle mathbf {v} _ {2}}$ случайны и некоррелированы, поэтому ${ displaystyle { overline { mathbf {v} _ {1} cdot mathbf {v} _ {2}}} = 0}$ , а относительная скорость равна

${ displaystyle v _ { rm {rel}} = { sqrt { overline { mathbf {v} _ { rm {relative}} ^ {2}}}} = { sqrt { overline { mathbf { v} _ {1} ^ {2} + mathbf {v} _ {2} ^ {2}}}} = { sqrt {2}} v.}$

Это означает, что количество столкновений равно ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ умноженное на количество с неподвижными целями. Следовательно, применяются следующие отношения:^[3]

{ Displaystyle ell = ({ sqrt {2}} , п сигма) ^ {- 1},}

и используя ${ Displaystyle п = N / V = п / (к _ { текст {B}} T)}$ (закон идеального газа ) и ${ displaystyle sigma = pi (2r) ^ {2} = pi d ^ {2}}$ (эффективная площадь поперечного сечения для сферических частиц радиусом ${ displaystyle r}$ ), можно показать, что длина свободного пробега равна^[4]

{ displaystyle ell = { frac {k _ { text {B}} T} {{ sqrt {2}} pi d ^ {2} p}},}

где k_B это Постоянная Больцмана.

На практике диаметр молекул газа точно не определен. Фактически, кинетический диаметр молекулы определяется через длину свободного пробега. Обычно молекулы газа не ведут себя как твердые сферы, а скорее притягиваются друг к другу на больших расстояниях и отталкиваются друг от друга на меньших расстояниях, что можно описать с помощью Потенциал Леннарда-Джонса. Один из способов справиться с такими «мягкими» молекулами - использовать параметр σ Леннарда-Джонса в качестве диаметра. Другой способ - предположить, что газ твердых сфер имеет такой же вязкость как рассматриваемый фактический газ. Это приводит к средней длине свободного пробега ^[5]

{ displaystyle ell = { frac { mu} {p}} { sqrt { frac { pi k _ { text {B}} T} {2m}}},}

где м - молекулярная масса, а μ вязкость. Это выражение можно представить в следующем удобном виде

{ displaystyle ell = { frac { mu} {p}} { sqrt { frac { pi R_ {u} T} {2M}}},}

с ${ displaystyle R_ {u}}$ будучи универсальная газовая постоянная и ${ displaystyle M}$ то молекулярный вес. Эти разные определения диаметра молекулы могут привести к немного разным значениям длины свободного пробега.

В следующей таблице перечислены некоторые типичные значения для воздуха при разном давлении и комнатной температуре.

Диапазон вакуума	Давление в гПа (мбар )	Давление в мм рт. ст. (Торр )	числовая плотность (Молекулы / см³)	числовая плотность (Молекулы / м³)	Длина свободного пробега
Давление внешней среды	1013	759.8	2.7 × 10¹⁹	2.7 × 10²⁵	68 нм^[6]
Низкий вакуум	300 – 1	220 – 8×10⁻¹	10¹⁹ – 10¹⁶	10²⁵ – 10²²	0.1 – 100 мкм
Средний вакуум	1 – 10⁻³	8×10⁻¹ – 8×10⁻⁴	10¹⁶ – 10¹³	10²² – 10¹⁹	0,1 - 100 мм
Высокий вакуум	10⁻³ – 10⁻⁷	8×10⁻⁴ – 8×10⁻⁸	10¹³ – 10⁹	10¹⁹ – 10¹⁵	10 см - 1 км
Сверхвысокий вакуум	10⁻⁷ – 10⁻¹²	8×10⁻⁸ – 8×10⁻¹³	10⁹ – 10⁴	10¹⁵ – 10¹⁰	1 км - 10⁵ км
Чрезвычайно высокий вакуум	<10⁻¹²	<8×10⁻¹³	<10⁴	<10¹⁰	>10⁵ км

В других сферах

Рентгенография

Длина свободного пробега фотонов в диапазоне энергий от 1 кэВ до 20 МэВ для элементов с Z = От 1 до 100.^[7] Разрывы вызваны низкой плотностью газовых элементов. Шесть полос соответствуют районам шести благородные газы. Также показано расположение края поглощения.

В гамма-луч рентгенография то длина свободного пробега из карандашный луч моноэнергетических фотоны - среднее расстояние, которое проходит фотон между столкновениями с атомами материала мишени. Это зависит от материала и энергии фотонов:

{ displaystyle ell = mu ^ {- 1} = (( mu / rho) rho) ^ {- 1},}

где μ это коэффициент линейного затухания, μ / ρ это массовый коэффициент затухания и ρ это плотность материала. В массовый коэффициент затухания можно найти или рассчитать для любой комбинации материала и энергии с помощью Национальный институт стандартов и технологий (NIST) базы данных.^[8]^[9]

В Рентгеновский рентгенография расчет длина свободного пробега сложнее, потому что фотоны не моноэнергетичны, но имеют некоторые распространение энергий, называемых спектр. Когда фотоны движутся через материал мишени, они ослабленный с вероятностями в зависимости от их энергии, в результате чего их распределение изменяется в процессе, называемом усилением спектра. Из-за усиления спектра длина свободного пробега из Рентгеновский спектр меняется с расстоянием.

Иногда измеряют толщину материала в количество длин свободного пробега. Материал толщиной в одну длина свободного пробега ослабнет до 37% (1 /е ) фотонов. Это понятие тесно связано с слой половинной стоимости (HVL): материал толщиной в один HVL будет ослаблять 50% фотонов. Стандартное рентгеновское изображение - это изображение на просвет, изображение с отрицательным логарифмом его интенсивности иногда называют количество длин свободного пробега образ.

Электроника

При макроскопическом переносе заряда длина свободного пробега носитель заряда в металле ${ displaystyle ell}$ пропорционально электрическая мобильность ${ displaystyle mu}$ , значение, непосредственно связанное с электрическая проводимость, это:

{ displaystyle mu = { frac {q tau} {m}} = { frac {q ell} {m ^ {*} v _ { rm {F}}}},}

где q это обвинять, ${ Displaystyle тау}$ это среднее свободное время, м^* это эффективная масса, и v_F это Скорость Ферми носителя заряда. Скорость Ферми легко выводится из Энергия Ферми через нерелятивистское уравнение кинетической энергии. В тонкие пленки однако толщина пленки может быть меньше, чем прогнозируемая длина свободного пробега, что делает поверхностное рассеяние намного более заметным, эффективно увеличивая удельное сопротивление.

Подвижность электронов в среде с размерами меньше длины свободного пробега электронов происходит через баллистическая проводимость или баллистический транспорт. В таких сценариях электроны изменяют свое движение только при столкновении со стенками проводника.

Оптика

Если взять суспензию непоглощающих свет частиц диаметром d с объемная доля Φ, длина свободного пробега фотонов равна:^[10]

{ displaystyle ell = { frac {2d} {3 Phi Q _ { text {s}}}},}

где Q_s - коэффициент эффективности рассеяния. Q_s можно вычислить численно для сферических частиц, используя Теория Ми.

Акустика

В пустой полости, длина свободного пробега отдельной частицы, отскакивающей от стенок, равна:

{ displaystyle ell = { frac {FV} {S}},}

где V - объем полости, S - общая площадь внутренней поверхности полости, а F - константа, связанная с формой полости. Для наиболее простых форм полости F примерно 4.^[11]

Это соотношение используется при выводе Уравнение Сабина в акустике с использованием геометрического приближения распространения звука.^[12]

Ядерная физика и физика элементарных частиц

В физике элементарных частиц понятие длины свободного пробега обычно не используется, его заменяет аналогичное понятие длина затухания. В частности, для фотонов высоких энергий, с которыми в основном взаимодействуют электронно-позитронные парное производство, то радиационная длина используется во многом так же, как длина свободного пробега в рентгенографии.

Модели независимых частиц в ядерной физике требуют невозмущенной орбиты нуклоны в пределах ядро прежде, чем они начнут взаимодействовать с другими нуклонами.^[13]

Эффективная длина свободного пробега нуклона в ядерной материи должна быть несколько больше ядерных размеров, чтобы можно было использовать модель независимых частиц. Это требование, по-видимому, противоречит предположениям, сделанным в теории ... Здесь мы сталкиваемся с одной из фундаментальных проблем физики ядерной структуры, которую еще предстоит решить.
— Джон Маркус Блатт и Виктор Вайскопф, Теоретическая ядерная физика (1952)^[14]

Смотрите также

использованная литература

^ Брюнглингхаус, Марион. "Длина свободного пробега". Европейское ядерное общество. Архивировано из оригинал на 2011-11-05. Получено 2011-11-08.
^ Чен, Фрэнк Ф. (1984). Введение в физику плазмы и управляемый синтез (1-е изд.). Пленум Пресс. п. 156. ISBN 0-306-41332-9.
^ С. Чепмен и Т. Г. Коулинг, Математическая теория неоднородных газов, 3-й. издание, Cambridge University Press, 1990 г., ISBN 0-521-40844-X, п. 88.
^ «Средняя длина свободного пробега, молекулярные столкновения». Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. Получено 2011-11-08.
^ Винченти, В. Г. и Крюгер, К. Х. (1965). Введение в физическую газовую динамику. Издательство Кригер. п. 414.CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт)
^ Дженнингс, S (1988). «Средняя длина свободного пробега в воздухе». Журнал аэрозольной науки. 19 (2): 159. Bibcode:1988JAerS..19..159J. Дои:10.1016/0021-8502(88)90219-4.
^ На основании данных "NIST: Примечание - базы данных форм-фактора рентгеновского излучения и ослабления". Physics.nist.gov. 1998-03-10. Получено 2011-11-08.
^ Хаббелл, Дж. Х.; Зельцер, С.М. «Таблицы массовых коэффициентов ослабления рентгеновского излучения и массовых коэффициентов поглощения энергии». Национальный институт стандартов и технологий. Получено 19 сентября 2007.
^ Бергер, М. Дж .; Хаббелл, Дж. Х.; Зельцер, С. М .; Chang, J .; Coursey, J. S .; Sukumar, R .; Цукер, Д.С. "XCOM: База данных сечений фотонов". Национальный институт стандартов и технологий (NIST). Получено 19 сентября 2007.
^ Mengual, O .; Meunier, G .; Cayré, I .; Puech, K .; Снабре, П. (1999). «TURBISCAN MA 2000: измерение многократного светорассеяния для анализа нестабильности концентрированной эмульсии и суспензии». Таланта. 50 (2): 445–56. Дои:10.1016 / S0039-9140 (99) 00129-0. PMID 18967735.
^ Янг, Роберт В. (июль 1959 г.). «Уравнение реверберации Сабины и расчеты звуковой мощности». Журнал акустического общества Америки. 31 (7): 918. Bibcode:1959ASAJ ... 31..912Y. Дои:10.1121/1.1907816.
^ Дэвис, Д. и Патронис, Э. «Проектирование звуковых систем» (1997) Focal Press, ISBN 0-240-80305-1 п. 173.
^ Кук, Норман Д. (2010). «Средняя длина свободного пробега нуклонов в ядрах». Модели атомного ядра. (2-е изд.). Гейдельберг: Springer. п. 324. ISBN 978-3-642-14736-4.
^ Blatt, John M .; Вайскопф, Виктор Ф. (1979). Теоретическая ядерная физика. Дои:10.1007/978-1-4612-9959-2. ISBN 978-1-4612-9961-5.

внешняя ссылка

Набор инструментов для газовой динамики: Расчет длины свободного пробега для смесей газов с использованием модели VHS

[1] Брюнглингхаус, Марион. "Длина свободного пробега". Европейское ядерное общество. Архивировано из оригинал на 2011-11-05. Получено 2011-11-08.

[2] Чен, Фрэнк Ф. (1984). Введение в физику плазмы и управляемый синтез (1-е изд.). Пленум Пресс. п. 156. ISBN 0-306-41332-9.

[3] С. Чепмен и Т. Г. Коулинг, Математическая теория неоднородных газов, 3-й. издание, Cambridge University Press, 1990 г., ISBN 0-521-40844-X, п. 88.

[4] «Средняя длина свободного пробега, молекулярные столкновения». Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. Получено 2011-11-08.

[5] Винченти, В. Г. и Крюгер, К. Х. (1965). Введение в физическую газовую динамику. Издательство Кригер. п. 414.CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт)

[6] Дженнингс, S (1988). «Средняя длина свободного пробега в воздухе». Журнал аэрозольной науки. 19 (2): 159. Bibcode:1988JAerS..19..159J. Дои:10.1016/0021-8502(88)90219-4.

[7] На основании данных "NIST: Примечание - базы данных форм-фактора рентгеновского излучения и ослабления". Physics.nist.gov. 1998-03-10. Получено 2011-11-08.

[NIST1-8] Хаббелл, Дж. Х.; Зельцер, С.М. «Таблицы массовых коэффициентов ослабления рентгеновского излучения и массовых коэффициентов поглощения энергии». Национальный институт стандартов и технологий. Получено 19 сентября 2007.

[NIST2-9] Бергер, М. Дж .; Хаббелл, Дж. Х.; Зельцер, С. М .; Chang, J .; Coursey, J. S .; Sukumar, R .; Цукер, Д.С. "XCOM: База данных сечений фотонов". Национальный институт стандартов и технологий (NIST). Получено 19 сентября 2007.

[10] Mengual, O .; Meunier, G .; Cayré, I .; Puech, K .; Снабре, П. (1999). «TURBISCAN MA 2000: измерение многократного светорассеяния для анализа нестабильности концентрированной эмульсии и суспензии». Таланта. 50 (2): 445–56. Дои:10.1016 / S0039-9140 (99) 00129-0. PMID 18967735.

[YoungRW-11] Янг, Роберт В. (июль 1959 г.). «Уравнение реверберации Сабины и расчеты звуковой мощности». Журнал акустического общества Америки. 31 (7): 918. Bibcode:1959ASAJ ... 31..912Y. Дои:10.1121/1.1907816.

[12] Дэвис, Д. и Патронис, Э. «Проектирование звуковых систем» (1997) Focal Press, ISBN 0-240-80305-1 п. 173.

[13] Кук, Норман Д. (2010). «Средняя длина свободного пробега нуклонов в ядрах». Модели атомного ядра. (2-е изд.). Гейдельберг: Springer. п. 324. ISBN 978-3-642-14736-4.

[14] Blatt, John M .; Вайскопф, Виктор Ф. (1979). Теоретическая ядерная физика. Дои:10.1007/978-1-4612-9959-2. ISBN 978-1-4612-9961-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]