Кинетическая теория газов - Kinetic theory of gases

В температура идеального одноатомный газ пропорционально среднему кинетическая энергия его атомов. В размер из гелий атомы относительно их расстояния показаны в масштабе до 1950 г. атмосферы давления. Атомы имеют определенную, среднюю скорость, здесь два замедленных. триллион сложить от комнатной температуры.

В кинетическая теория газов исторически значимая, но простая модель термодинамический поведение газы, с помощью которых были созданы многие основные понятия термодинамики. Модель описывает газ как большое количество идентичных субмикроскопических частицы (атомы или молекулы ), все из которых находятся в постоянном, быстром, случайный движение. Предполагается, что их размер намного меньше среднего расстояния между частицами. Частицы испытывают случайные упругие столкновения между собой и с ограждающими стенками контейнера. Базовая версия модели описывает идеальный газ, и не учитывает никаких других взаимодействий между частицами и, таким образом, характер передачи кинетической энергии во время столкновений строго тепловой.

Кинетическая теория газов объясняет макроскопический свойства газов, такие как объем, давление и температура, а также транспортные свойства такие как вязкость, теплопроводность и массовая диффузия. Модель также учитывает связанные явления, такие как Броуновское движение.

История

Примерно через 50 До н.э., римский философ Лукреций предположил, что внешне статические макроскопические тела состоят из быстро движущихся атомов небольшого размера, отскакивающих друг от друга.^[1] Эта Эпикурейский атомистическая точка зрения редко рассматривалась в последующие века, когда Аристотелевский идеи были доминирующими.

Передняя крышка Hydrodynamica

В 1738 г. Даниэль Бернулли опубликовано Гидродинамика, положившие начало кинетической теории газов. В этой работе Бернулли выдвинул аргумент, который все еще используется по сей день, что газы состоят из большого числа молекул, движущихся во всех направлениях, что их воздействие на поверхность вызывает давление газа, которое мы чувствуем, и что то, что мы ощущаем как высокая температура это просто кинетическая энергия их движения. Теория была принята не сразу, отчасти потому, что сохранение энергии еще не было установлено, и для физиков не было очевидно, как столкновения между молекулами могут быть совершенно упругими.^[2]:36–37

Другие пионеры кинетической теории (работы которых в значительной степени игнорировались их современниками) были Михаил Ломоносов (1747),^[3] Жорж-Луи Ле Саж (ок. 1780 г., опубликовано в 1818 г.),^[4] Джон Герапат (1816)^[5] и Джон Джеймс Уотерстон (1843),^[6] которые связали свои исследования с разработкой механические объяснения гравитации. В 1856 г. Август Крёниг (вероятно, после прочтения статьи Уотерстона) создал простую газокинетическую модель, которая учитывала только поступательное движение частиц.^[7]

В 1857 г. Рудольф Клаузиус, по его собственным словам, независимо от Кренига, разработал аналогичную, но гораздо более сложную версию теории, которая включала поступательные и (в отличие от Крёнига) также вращательные и колебательные движения молекул. В этой же работе он ввел понятие длина свободного пробега частицы.^[8] В 1859 году, после прочтения статьи Клаузиуса о диффузии молекул, шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл сформулировал Распределение Максвелла молекулярных скоростей, что дает долю молекул, имеющих определенную скорость в определенном диапазоне.^[9] Это был первый статистический закон в физике.^[10] Максвелл также привел первый механический аргумент, что столкновения молекул влекут за собой выравнивание температур и, следовательно, тенденцию к равновесию.^[11] В своей тринадцатистраничной статье 1873 года «Молекулы» Максвелл утверждает: «нам говорят, что« атом »- это материальная точка, окруженная« потенциальными силами »и что, когда« летающие молекулы »ударяются о твердое тело в постоянной последовательности это вызывает то, что называется давление воздуха и других газов ".^[12]В 1871 г. Людвиг Больцманн обобщил достижение Максвелла и сформулировал Распределение Максвелла – Больцмана. Так же логарифмический связь между энтропия и вероятность был впервые заявлен им.

Однако в начале 20 века многие физики считали атомы чисто гипотетическими конструкциями, а не реальными объектами. Важным поворотным моментом стал Альберт Эйнштейн s (1905)^[13] и Мариан Смолуховский s (1906)^[14] документы на Броуновское движение, которому удалось сделать определенные точные количественные прогнозы, основанные на кинетической теории.

Предположения

Теория идеальных газов делает следующие предположения:

• Газ состоит из очень маленьких частиц, известных как молекулы. Эта малость их размера такова, что общая объем суммирования отдельных молекул газа ничтожно мало по сравнению с объемом наименьшего открытого шара, содержащего все молекулы. Это эквивалентно утверждению, что среднее расстояние между частицами газа велико по сравнению с их размер.
• Эти частицы имеют одинаковые масса.
• Количество молекул настолько велико, что можно применить статистическую обработку.
• Быстро движущиеся частицы постоянно сталкиваются между собой и со стенками контейнера. Все эти столкновения совершенно упругие. Это означает, что молекулы считаются идеально сферическими по форме и эластичными по своей природе.
• За исключением столкновений, взаимодействия среди молекул ничтожно малы. (То есть они не оказывают силы друг на друга.)

Из этого следует:

1. Релятивистский эффекты незначительны.

2. Квантово-механический эффекты незначительны. Это означает, что межчастичное расстояние намного больше, чем тепловая длина волны де Бройля и молекулы рассматриваются как классический объекты.

3. Благодаря двум вышеупомянутым, их динамику можно трактовать классически. Это означает, что уравнения движения молекул обратимы во времени.

• Средняя кинетическая энергия частиц газа зависит только от абсолютная температура из система. Кинетическая теория имеет собственное определение температуры, не идентичное термодинамическому.
• Истекшее время столкновения между молекулой и стенкой контейнера ничтожно мало по сравнению с временем между последовательными столкновениями.
• Поскольку у них есть масса, гравитация будет ускорять молекулы. (Если бы это было не так, тогда в тропосфере планеты не было бы градиента плотности, и она рухнула бы на поверхность.)

Более современные разработки ослабляют эти предположения и основываются на Уравнение Больцмана. Они могут точно описывать свойства плотных газов, потому что они включают объем молекул. Необходимые предположения - отсутствие квантовых эффектов, молекулярный хаос и небольшие градиенты в объемных свойствах. Расширения до более высоких порядков по плотности известны как вириальные разложения.

Важной книгой по кинетической теории является книга Чепмен и Капот.^[15] Важный подход к предмету называется Теория Чепмена – Энскога.^[16] Было много современных разработок, и есть альтернативный подход, разработанный Grad, основанный на разложении моментов.^[17]В другом пределе, для чрезвычайно разреженных газов, градиенты объемных свойств не малы по сравнению с длинами свободного пробега. Это известно как режим Кнудсена, и разложения могут быть выполнены в Число Кнудсена.

Равновесные свойства

Давление и кинетическая энергия

В кинетической модели газов давление равна силе, прилагаемой атомами, ударяющимися и отскакивающими от единицы площади поверхности газового баллона. Рассмотрим газ N молекулы, каждая из масс м, заключенный в куб объема V = L³. Когда молекула газа сталкивается со стенкой контейнера перпендикулярно Икс ось и отскакивает в противоположном направлении с той же скоростью ( упругое столкновение ), изменение импульс дан кем-то:

${ displaystyle Delta p = p_ {i, x} -p_ {f, x} = p_ {i, x} - (- p_ {i, x}) = 2p_ {i, x} = 2mv_ {x}, }$

где п это импульс, я и ж указать начальный и конечный импульс (до и после столкновения), Икс указывает, что только Икс направление рассматривается, и v это скорость частица (то же самое до и после столкновения).

Частица ударяется об одну конкретную боковую стенку один раз за

${ displaystyle Delta t = { frac {2L} {v_ {x}}},}$

где L расстояние между противоположными стенами.

В сила из-за этой частицы

${ displaystyle F = { frac { Delta p} { Delta t}} = { frac {mv_ {x} ^ {2}} {L}}.}$

Общая сила на стене составляет

${ displaystyle F = { frac {Nm { overline {v_ {x} ^ {2}}}} {L}},}$

где черта обозначает среднее значение N частицы.

Поскольку движение частиц является случайным и нет смещения в каком-либо направлении, средний квадрат скорости в каждом направлении идентичен:

${ displaystyle { overline {v_ {x} ^ {2}}} = { overline {v_ {y} ^ {2}}} = { overline {v_ {z} ^ {2}}}.}$

От теорема Пифагора в трех измерениях общая скорость в квадрате v дан кем-то

${ displaystyle { overline {v ^ {2}}} = { overline {v_ {x} ^ {2}}} + { overline {v_ {y} ^ {2}}} + { overline {v_ {z} ^ {2}}},}$

${ displaystyle { overline {v ^ {2}}} = 3 { overline {v_ {x} ^ {2}}}.}$

Следовательно:

${ displaystyle { overline {v_ {x} ^ {2}}} = { frac { overline {v ^ {2}}} {3}},}$

а силу можно записать как:

${ displaystyle F = { frac {Nm { overline {v ^ {2}}}} {3L}}.}$

Эта сила действует на область L². Следовательно, давление газа равно

${ displaystyle P = { frac {F} {L ^ {2}}} = { frac {Nm { overline {v ^ {2}}}} {3V}},}$

где V = L³ объем коробки.

По кинетической энергии газа K:

${ displaystyle PV = { frac {2} {3}} times {K}.}$

Это первый нетривиальный результат кинетической теории, поскольку он связывает давление, макроскопический собственности, в (переводной) кинетическая энергия молекул ${ displaystyle N { frac {1} {2}} м { overline {v ^ {2}}}}$, который является микроскопический свойство.

Температура и кинетическая энергия

Переписывая приведенный выше результат для давления как ${ displaystyle PV = {Nm { overline {v ^ {2}}} over 3}}$, мы можем объединить его с закон идеального газа

${ Displaystyle Displaystyle PV = Nk_ {B} T,}$

(1)

где ${ displaystyle displaystyle k_ {B}}$ это Постоянная Больцмана и ${ displaystyle displaystyle T}$ тоабсолютный температура определяется законом идеального газа, чтобы получить

${ displaystyle k_ {B} T = {m { overline {v ^ {2}}} over 3}}$,

что приводит к упрощенному выражению средней кинетической энергии на молекулу,^[18]

${ displaystyle displaystyle { frac {1} {2}} m { overline {v ^ {2}}} = { frac {3} {2}} k_ {B} T}$.

Кинетическая энергия системы в N раз больше, чем у молекулы, а именно ${ Displaystyle К = { гидроразрыва {1} {2}} Нм { overline {v ^ {2}}}}$.Тогда температура ${ displaystyle displaystyle T}$ принимает форму

${ displaystyle displaystyle T = {m { overline {v ^ {2}}} более 3k_ {B}}}$

(2)

который становится

${ displaystyle displaystyle T = { frac {2} {3}} { frac {K} {Nk_ {B}}}.}$

(3)

Уравнение (3) является одним из важных результатов кинетической теории:Средняя кинетическая энергия молекул пропорциональна абсолютной температуре в соответствии с законом идеального газа..Из уравнения (1) и уравнение (3),у нас есть

${ displaystyle displaystyle PV = { frac {2} {3}} K.}$

(4)

Таким образом, произведение давления и объема на моль пропорциональна средней (поступательной) молекулярной кинетической энергии.

Уравнение (1) и уравнение (4) называются "классическими результатами", которые также могут быть получены из статистическая механика; подробнее см .:^[19]

Поскольку есть${ displaystyle displaystyle 3N}$степени свободы в одноатомной газовой системе с${ displaystyle displaystyle N}$частиц кинетическая энергия на одну степень свободы на молекулу равна

${ displaystyle displaystyle { frac {K} {3N}} = { frac {k_ {B} T} {2}}}$

(5)

В кинетической энергии на степень свободы коэффициент пропорциональности температуры составляет 1/2 раза Постоянная Больцмана или R / 2 на моль. В дополнение к этому, температура будет снижаться, когда давление упадет до определенной точки.^{[Зачем? ]}Этот результат связан с теорема о равнораспределении.

Как отмечено в статье о теплоемкость, двухатомные газы должны иметь 7 степеней свободы, но более легкие двухатомные газы действуют так, как если бы они имели только 5. Одноатомные газы имеют 3 степени свободы.

Таким образом, кинетическая энергия на кельвин (одноатомная идеальный газ ) равно 3 [R / 2] = 3R / 2:

• на моль: 12,47 Дж
• на молекулу: 20,7 yJ = 129 мкэВ.

В стандартная температура (273,15 К), получаем:

• на моль: 3406 Дж
• на молекулу: 5,65 zJ = 35,2 мэВ.

Столкновения с контейнером

Распределение скорости частиц, ударяющихся о стенку контейнера, можно рассчитать^[20] основан на наивной кинетической теории, и результат может быть использован для анализа эффузивная скорость потока:

Предположим, что в контейнере плотность числа равна ${ displaystyle n}$ и частицы подчиняются Распределение скорости Максвелла:

${ Displaystyle f_ {Максвелл} (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) dv_ {x} dv_ {y} dv_ {z} = left ({ frac {m} {2 pi kT }} right) ^ {3/2} , e ^ {- { frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} dv_ {x} dv_ {y} dv_ {z}}$

Тогда количество частиц, попавших в область ${ displaystyle dA}$ со скоростью ${ displaystyle v}$ под углом ${ displaystyle theta}$ от нормы, во временном интервале ${ displaystyle dt}$ является:

${ displaystyle nv cos { theta} dAdt { times} left ({ frac {m} {2 pi k_ {B} T}} right) ^ {3/2} , e ^ {- { frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} (v ^ {2} sin { theta} dv {d theta} d phi)}$.

Интегрируя это по всем подходящим скоростям в пределах ограничения ${ Displaystyle v> 0,0 < theta < pi / 2,0 < phi <2 pi}$ дает количество атомных или молекулярных столкновений со стенкой контейнера на единицу площади в единицу времени:

${ displaystyle J_ {collision} = { frac {1} {4}} n { bar {v}} = { frac {n} {4}} { sqrt { frac {8k_ {B} T} { pi m}}}.}$

Эта величина также известна как «скорость столкновения» в физике вакуума.

Если эта небольшая площадь ${ displaystyle A}$ пробивается, чтобы стать маленьким отверстием, эффузивная скорость потока будет:

${ displaystyle Phi _ {effusion} = J_ {collision} A = nA { sqrt { frac {k_ {B} T} {2 pi m}}}.}.}$

В сочетании с закон идеального газа, это дает:

${ displaystyle Phi _ {effusion} = { frac {PA} { sqrt {2 pi mk_ {B} T}}}.}.$

Распределение скоростей частиц, попадающих в эту небольшую область:

${ Displaystyle { begin {выровнено} е (v, theta, phi) dv {d theta} d phi & = const. { times} (v cos { theta}) { times} e ^ {- { frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} { times} (v ^ {2} sin { theta} dv {d theta} d phi) & = const. { times} (v ^ {3} e ^ {- { frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} dv) { times} ( cos { theta} sin { theta} {d theta}) { times} d phi end {align}}}$

с ограничением ${ Displaystyle v> 0,0 < theta < pi / 2,0 < phi <2 pi}$, и ${ displaystyle const.}$ можно определить условием нормировки как ${ displaystyle { frac {1} {2 pi}} left ({ frac {m} {k_ {B} T}} right) ^ {2}}$.

Скорость молекул

Из формулы кинетической энергии можно показать, что

${ displaystyle v _ { text {p}} = { sqrt {2 cdot { frac {k_ {B} T} {m}}}},}$

${ displaystyle { bar {v}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} v_ {p} = { sqrt {{ frac {8} { pi}} cdot { гидроразрыв {k_ {B} T} {m}}}},}$

${ displaystyle v _ { text {rms}} = { sqrt { frac {3} {2}}} v_ {p} = { sqrt {{3} cdot { frac {k_ {B} T}) {m}}}},}$

где v в м / с, Т в кельвинах, а м - масса одной молекулы газа. Наиболее вероятная (или модовая) скорость ${ displaystyle v _ { text {p}}}$ составляет 81,6% от среднеквадратичной скорости ${ displaystyle v _ { text {rms}}}$, и средняя (средняя арифметическая или средняя) скорость ${ displaystyle { bar {v}}}$ составляет 92,1% от среднеквадратичной скорости (изотропный распределение скоростей ).

Увидеть:

• Средний,
• Среднеквадратичная скорость
• Среднее арифметическое
• Значить
• Режим (статистика)

Транспортные свойства

Кинетическая теория газов имеет дело не только с газами, находящимися в термодинамическом равновесии, но также, что очень важно, с газами, не находящимися в термодинамическом равновесии. Это означает использование кинетической теории для рассмотрения так называемых «транспортных свойств», таких как вязкость, теплопроводность и массовая диффузия.

Вязкость и кинетический импульс

В книгах по элементарной кинетической теории^[21] можно найти результаты моделирования разреженного газа, которые широко используются. Вывод кинетической модели сдвиговой вязкости обычно начинается с рассмотрения Поток Куэтта где две параллельные пластины разделены газовой прослойкой. Верхняя пластина движется с постоянной скоростью вправо из-за силы F. Нижняя пластина неподвижна, и поэтому на нее должна действовать равная и противоположная сила, чтобы удерживать ее в состоянии покоя. Молекулы в газовом слое имеют прямую составляющую скорости ${ displaystyle u}$ которые равномерно увеличиваются с расстоянием ${ displaystyle y}$ над нижней пластиной. Неравновесный поток накладывается на Равновесное распределение Максвелла-Больцмана молекулярных движений.

Позволять ${ displaystyle sigma}$ быть столкновением поперечное сечение столкновения одной молекулы с другой. Числовая плотность ${ displaystyle n}$ определяется как количество молекул в (обширном) объеме ${ Displaystyle п = Н / В}$. Сечение столкновения на объем или плотность сечения столкновения составляет ${ Displaystyle п сигма}$, и это связано с длина свободного пробега ${ displaystyle l}$ от

${ Displaystyle quad l = { гидроразрыва {1} {{ sqrt {2}} п сигма}}}$

Обратите внимание, что единица измерения поперечного сечения столкновения на объем ${ Displaystyle п сигма}$ обратно длине. Средняя длина свободного пробега - это среднее расстояние, которое проходит молекула или количество молекул в объеме, прежде чем они совершат свое первое столкновение.

Позволять ${ displaystyle u_ {0}}$ - поступательная скорость газа на воображаемой горизонтальной поверхности внутри газового слоя. Количество молекул, попадающих в область ${ displaystyle dA}$ по одну сторону от слоя газа, со скоростью ${ displaystyle v}$ под углом ${ displaystyle theta}$ от нормы, во временном интервале ${ displaystyle dt}$ является

${ displaystyle quad nv cos { theta} dAdt { times} left ({ frac {m} {2 pi k_ {B} T}} right) ^ {3/2} , e ^ {- { frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} (v ^ {2} sin { theta} dv {d theta} d phi)}$

Эти молекулы совершили свое последнее столкновение на расстоянии ${ Displaystyle л соз тета}$ над и под слоем газа, и каждый из них будет вносить прямой импульс

${ displaystyle quad p_ {x} ^ { pm} = m left (u_ {0} pm l cos theta {du over dy} right),}$

где знак плюс относится к молекулам сверху, а знак минус снизу. Обратите внимание, что градиент скорости поступательного движения ${ displaystyle du / dy}$ можно считать постоянным на расстоянии длины свободного пробега.

Интегрирование по всем подходящим скоростям в пределах ограничения

${ Displaystyle quad v> 0,0 < theta < pi / 2,0 < phi <2 pi}$

дает прямую передачу импульса в единицу времени на единицу площади (также известную как напряжение сдвига ):

${ displaystyle quad tau ^ { pm} = { frac {1} {4}} { bar {v}} n cdot m left (u_ {0} pm { frac {2} { 3}} l {du over dy} right)}$

Таким образом, чистая скорость количества движения на единицу площади, переносимого по воображаемой поверхности, равна

${ displaystyle quad tau = tau ^ {+} - tau ^ {-} = { frac {1} {3}} { bar {v}} nm cdot l {du over dy}}$

Комбинируя приведенное выше кинетическое уравнение с Закон вязкости Ньютона

${ displaystyle quad tau = eta {du over dy}}$

дает уравнение для сдвиговой вязкости, которое обычно обозначают ${ displaystyle eta _ {0}}$ когда это разреженный газ:

${ displaystyle quad eta _ {0} = { frac {1} {3}} { bar {v}} nml}$

Объединение этого уравнения с уравнением для длины свободного пробега дает

${ displaystyle quad eta _ {0} = { frac {1} {3 { sqrt {2}}}} { frac {m cdot { bar {v}}} { sigma}}}$

Распределение Максвелла-Больцмана дает среднюю (равновесную) скорость молекул как

${ displaystyle quad { bar {v}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} v_ {p} = 2 { sqrt {{ frac {2} { pi}} cdot { frac {k_ {B} T} {m_ {}}}}}}$

где ${ displaystyle v_ {p}}$ это наиболее вероятная скорость. Отметим, что

${ displaystyle quad k_ {B} cdot N_ {A} = R quad { text {and}} quad M = m cdot N_ {A}}$

и вставьте скорость в уравнение вязкости выше. Это дает хорошо известное уравнение для сдвиговая вязкость для разреженных газов:

${ displaystyle quad eta _ {0} = { frac {2} {3 { sqrt { pi}}}} cdot { frac { sqrt {mk_ {B} T}} { sigma} } = { frac {2} {3 { sqrt { pi}}}} cdot { frac { sqrt {MRT}} { sigma cdot N_ {A}}}}$

и ${ displaystyle M}$ это молярная масса. Приведенное выше уравнение предполагает, что плотность газа низкая (т.е. давление низкое). Это означает, что кинетическая поступательная энергия преобладает над вращательной и колебательной энергиями молекул.Уравнение вязкости также предполагает, что существует только один тип молекул газа и что молекулы газа представляют собой совершенные упругие частицы с твердым ядром сферической формы. Это предположение об упругих сферических молекулах с твердым ядром, таких как бильярдные шары, означает, что сечение столкновения одной молекулы можно оценить следующим образом:

${ displaystyle quad sigma = pi left (2r right) ^ {2} = pi d ^ {2}}$

Радиус ${ displaystyle r}$ называется радиусом сечения столкновения или кинетическим радиусом, а диаметр ${ displaystyle d}$ называется диаметром поперечного сечения столкновения или кинетический диаметр молекулы в мономолекулярном газе. Нет простой общей связи между столкновением поперечное сечение и размер твердого ядра (довольно сферической) молекулы. Соотношение зависит от формы потенциальной энергии молекулы. Для реальной сферической молекулы (то есть атома благородного газа или достаточно сферической молекулы) потенциал взаимодействия больше похож на Потенциал Леннарда-Джонса или Потенциал Морзе у которых есть отрицательная часть, которая притягивает другую молекулу с расстояний, превышающих радиус твердого ядра. Радиус нулевого потенциала Леннарда-Джонса тогда подходит для использования в качестве оценки кинетического радиуса.

Теплопроводность и тепловой поток

Следуя той же логике, что и выше, можно вывести кинетическую модель для теплопроводность^[21] разреженного газа:

Рассмотрим две параллельные пластины, разделенные слоем газа. Обе пластины имеют однородную температуру и настолько массивны по сравнению со слоем газа, что их можно рассматривать как термальные резервуары. Верхняя пластина имеет более высокую температуру, чем нижняя пластина. Молекулы в газовом слое обладают молекулярной кинетической энергией ${ displaystyle varepsilon}$ который равномерно увеличивается с расстоянием ${ displaystyle y}$ над нижней пластиной. Неравновесный поток энергии накладывается на Равновесное распределение Максвелла-Больцмана молекулярных движений.

Позволять ${ displaystyle varepsilon _ {0}}$ - молекулярная кинетическая энергия газа на воображаемой горизонтальной поверхности внутри газового слоя. Количество молекул, попадающих в область ${ displaystyle dA}$ по одну сторону от слоя газа, со скоростью ${ displaystyle v}$ под углом ${ displaystyle theta}$ от нормы, во временном интервале ${ displaystyle dt}$ является

${ displaystyle quad nv cos { theta} dAdt { times} left ({ frac {m} {2 pi k_ {B} T}} right) ^ {3/2} , e ^ {- { frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} (v ^ {2} sin { theta} dv {d theta} d phi)}$

Эти молекулы совершили свое последнее столкновение на расстоянии ${ Displaystyle л соз тета}$ над и под слоем газа, и каждый будет давать молекулярную кинетическую энергию

${ displaystyle quad varepsilon ^ { pm} = left ( varepsilon _ {0} pm mc_ {v} l cos theta {dT over dy} right),}$

где ${ displaystyle c_ {v}}$ это удельная теплоемкость. Опять же, знак плюс применяется к молекулам сверху, а знак минус - снизу. Обратите внимание, что температурный градиент ${ displaystyle dT / dy}$ можно считать постоянным на расстоянии длины свободного пробега.

Интегрирование по всем подходящим скоростям в пределах ограничения

${ Displaystyle quad v> 0,0 < theta < pi / 2,0 < phi <2 pi}$

дает передачу энергии в единицу времени на единицу площади (также известную как Тепловой поток ):

${ displaystyle quad q_ {y} ^ { pm} = - { frac {1} {4}} { bar {v}} n cdot left ( varepsilon _ {0} pm { frac {2} {3}} mc_ {v} l {dT over dy} right)}$

Обратите внимание, что передача энергии сверху находится в ${ displaystyle -y}$ направление и, следовательно, общий знак минус в уравнении. Таким образом, чистый тепловой поток через воображаемую поверхность равен

${ displaystyle quad q = q_ {y} ^ {+} - q_ {y} ^ {-} = - { frac {1} {3}} { bar {v}} nmc_ {v} l {dT over dy}}$

Комбинируя приведенное выше кинетическое уравнение с Закон Фурье

${ displaystyle quad q = - kappa {dT over dy}}$

дает уравнение теплопроводности, которое обычно обозначают ${ displaystyle kappa _ {0}}$ когда это разреженный газ:

${ displaystyle quad kappa _ {0} = { frac {1} {3}} { bar {v}} nmc_ {v} l}$

Коэффициент диффузии и диффузионный поток

Следуя той же логике, что и выше, можно вывести кинетическую модель для массовая диффузия^[21] разреженного газа:

Рассмотрим устойчивый диффузия между двумя областями одного и того же газа с идеально плоскими и параллельными границами, разделенными слоем того же газа. Оба региона имеют униформу числовые плотности, но верхняя область имеет более высокую числовую плотность, чем нижняя область. В установившемся состоянии плотность числа в любой точке постоянна (то есть не зависит от времени). Однако числовая плотность ${ displaystyle n}$ в слое равномерно увеличивается с расстоянием ${ displaystyle y}$ над нижней пластиной. Неравновесный молекулярный поток накладывается на Равновесное распределение Максвелла-Больцмана молекулярных движений.

Позволять ${ displaystyle n_ {0}}$ - плотность газа на воображаемой горизонтальной поверхности внутри слоя. Количество молекул, попадающих в область ${ displaystyle dA}$ по одну сторону от слоя газа, со скоростью ${ displaystyle v}$ под углом ${ displaystyle theta}$ от нормы, во временном интервале ${ displaystyle dt}$ является

${ displaystyle quad nv cos { theta} dAdt { times} left ({ frac {m} {2 pi k_ {B} T}} right) ^ {3/2} , e ^ {- { frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} (v ^ {2} sin { theta} dv {d theta} d phi)}$

Эти молекулы совершили свое последнее столкновение на расстоянии ${ Displaystyle л соз тета}$ над и под слоем газа, где локальная числовая плотность равна

${ displaystyle quad n ^ { pm} = left (n_ {0} pm l cos theta {dn over dy} right)}$

Опять же, знак плюс применяется к молекулам сверху, а знак минус - снизу. Обратите внимание, что градиент числовой плотности ${ displaystyle dn / dy}$ можно считать постоянным на расстоянии длины свободного пробега.

Интегрирование по всем подходящим скоростям в пределах ограничения

${ Displaystyle quad v> 0,0 < theta < pi / 2,0 < phi <2 pi}$

дает молекулярный перенос в единицу времени на единицу площади (также известный как диффузионный поток ):

${ displaystyle quad J_ {y} ^ { pm} = - { frac {1} {4}} { bar {v}} cdot left (n_ {0} pm { frac {2}) {3}} l {dn over dy} right)}$

Обратите внимание, что молекулярный перенос сверху находится в ${ displaystyle -y}$ направление и, следовательно, общий знак минус в уравнении. Таким образом, суммарный диффузионный поток через воображаемую поверхность равен

${ displaystyle quad J = J_ {y} ^ {+} - J_ {y} ^ {-} = - { frac {1} {3}} { bar {v}} l {dn over dy} }$

Комбинируя приведенное выше кинетическое уравнение с Первый закон диффузии Фика

${ Displaystyle quad J = -D {dn over dy}}$

дает уравнение для массовой диффузии, которое обычно обозначают ${ displaystyle D_ {0}}$ когда это разреженный газ:

${ displaystyle quad D_ {0} = { frac {1} {3}} { bar {v}} l}$

Смотрите также

Статистическая механика
Термодинамика Кинетическая теория
Статистика частиц Теорема спин-статистики Идентичные частицы Максвелл – Больцманн Бозе-Эйнштейн Ферми – Дирак Парастатистика Статистика Anyonic Статистика плетения
Термодинамические ансамбли NVE Микроканонический NVT Канонический мкВт Большой канонический НПХ Изоэнтальпийно-изобарический ДНЯО Изотермически-изобарический
Модели Дебай Эйнштейн Я пою Potts
Потенциал Внутренняя энергия Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца Свободная энергия Гиббса Большой потенциал / свободная энергия Ландау
Ученые Максвелл Больцман Гиббс Эйнштейн Эренфест фон Нейман Толман Дебай Ферми Bose

• Иерархия уравнений Боголюбова-Борна-Грина-Кирквуда-Ивона
• Уравнение Больцмана
• Теория столкновений
• Критическая температура
• Газовые законы
• Высокая температура
• Межатомный потенциал
• Магнитогидродинамика
• Распределение Максвелла – Больцмана
• Mixmaster динамика
• Термодинамика
• Модель Вичека
• Уравнение Власова

Заметки

использованная литература

• Клаузиус, Р. (1857 г.), "Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen", Annalen der Physik, 176 (3): 353–379, Bibcode:1857AnP ... 176..353C, Дои:10.1002 / andp.18571760302

• de Groot, S.R., W.A. van Leeuwen и Ch. Г. ван Веерт (1980), Релятивистская кинетическая теория, Северная Голландия, Амстердам.
• Эйнштейн, А. (1905), "Über die von der molkularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten Suspendierten Teilchen" (PDF), Annalen der Physik, 17 (8): 549–560, Bibcode:1905AnP ... 322..549E, Дои:10.1002 / andp.19053220806

• Град, Гарольд (1949), "Кинетическая теория разреженных газов", Сообщения по чистой и прикладной математике, 2 (4): 331–407, Дои:10.1002 / cpa.3160020403

• Херапат, Дж. (1816), «О физических свойствах газов», Анналы философии, Роберт Болдуин: 56–60

• Херапат, Дж. (1821 г.), «О причинах, законах и явлениях тепла, газов, гравитации», Анналы философии, Болдуин, Крэдок и Джой, 9: 273–293

• Крёниг, А. (1856 г.), "Grundzüge einer Theorie der Gase", Annalen der Physik, 99 (10): 315–322, Bibcode:1856AnP ... 175..315K, Дои:10.1002 / andp.18561751008

• Ле Саж, Г.-Л. (1818 г.), "Physique Mécanique des Georges-Louis Le Sage", в Прево, Пьер (ред.), Deux Traites de Physique Mécanique, Женева и Париж: J.J. Paschoud, стр. 1–186.

• Либофф, Р. Л. (1990), Кинетическая теория, Прентис-Холл, Энглвудские скалы, Н. Дж.
• Ломоносов, М. (1970) [1758], «О соотношении количества материала и веса», в Генри М. Лестере (ред.), Михаил Васильевич Ломоносов о корпускулярной теории, Кембридж: Издательство Гарвардского университета, стр. 224–233.

• Махон, Бэзил (2003), Человек, который все изменил - жизнь Джеймса Клерка Максвелла, Хобокен, Нью-Джерси: Wiley, ISBN  0-470-86171-1

• Максвелл, Джеймс Клерк (1873), «Молекулы», Природа, 417 (6892): 903, Bibcode:2002Натура.417..903М, Дои:10.1038 / 417903a, PMID  12087385, S2CID  4417753, заархивировано из оригинал (– ^{Академический поиск}) 9 февраля 2007 г.
• Смолуховский, М. (1906), "Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen", Annalen der Physik, 21 (14): 756–780, Bibcode:1906АнП ... 326..756В, Дои:10.1002 / andp.19063261405

• Уотерстон, Джон Джеймс (1843), Мысли о психических функциях (перепечатано в его Статьи, 3, 167, 183.)

• Уильямс, М. М. Р. (1971). Математические методы в теории переноса частиц. Баттервортс, Лондон. ISBN  9780408700696.

дальнейшее чтение

• Сидней Чепмен и Т. Г. Коулинг (1939/1970). Математическая теория неоднородных газов: изложение кинетической теории вязкости, теплопроводности и диффузии в газах, (первое издание 1939 г., второе издание 1952 г.), третье издание 1970 г. подготовлено в сотрудничестве с Д. Бернеттом, Cambridge University Press, Лондон.
• Дж. О. Хиршфельдер, К. Ф. Кертисс и Р. Б. Берд (1964). Молекулярная теория газов и жидкостей, второе издание (Wiley).
• Р. Л. Либофф (2003). Кинетическая теория: классическое, квантовое и релятивистское описания, третье издание (Springer).
• Б. Рахими и Х. Страчтруп, Макроскопическое и кинетическое моделирование многоатомных разреженных газов, Journal of Fluid Mechanics, 806, 437–505, 2016. DOI: https://dx.doi.org/10.1017/jfm.2016.604

внешние ссылки

• Ранние теории газов
• Термодинамика - глава из онлайн-учебника
• Температура и давление идеального газа: уравнение состояния на Проект PHYSNET.
• Введение к кинетической молекулярной теории газов от школьного совета округа Верхняя Канада
• Java-анимация иллюстрирование кинетической теории от Университета Арканзаса
• Схема объединение концепций кинетической теории из HyperPhysics
• Интерактивные Java-апплеты позволяя старшеклассникам экспериментировать и узнавать, как различные факторы влияют на скорость химических реакций.
• https://www.youtube.com/watch?v=47bF13o8pb8&list=UUXrJjdDeqLgGjJbP1sMnH8A Демонстрационная установка для теплового перемешивания в газах.