Теория Чепмена – Энскога - Chapman–Enskog theory

Теория Чепмена – Энскога обеспечивает структуру, в которой уравнения гидродинамика для газа можно получить из Уравнение Больцмана. Техника оправдывает иначе феноменологический учредительные отношения появляющиеся в гидродинамических описаниях, таких как Уравнения Навье – Стокса. При этом выражения для различных транспортных коэффициентов, таких как теплопроводность и вязкость получены с точки зрения молекулярных параметров. Таким образом, теория Чепмена – Энскога представляет собой важный шаг на пути от микроскопического описания, основанного на частицах, к континуум гидродинамический.

Теория названа в честь Сидней Чепмен и Дэвид Энског, которые представили его независимо в 1916 и 1917 годах.^[1]

Описание

Отправной точкой теории Чепмена – Энскога является уравнение Больцмана для одночастичной функции распределения ${ Displaystyle е ( mathbf {r}, mathbf {v}, т)}$ :

{ displaystyle { frac { partial f} { partial t}} + mathbf {v cdot} { frac { partial f} { partial mathbf {r}}} + { frac { mathbf {F}} {m}} cdot { frac { partial f} { partial mathbf {v}}} = { hat {C}} f,}

куда ${ displaystyle { hat {C}}}$ - нелинейный интегральный оператор, моделирующий эволюцию ${ displaystyle f}$ при межчастичных столкновениях. Эта нелинейность затрудняет решение полного уравнения Больцмана и побуждает к развитию приближенных методов, таких как метод, предложенный теорией Чепмена – Энскога.

Учитывая эту отправную точку, различные предположения, лежащие в основе уравнения Больцмана, также переносятся на теорию Чепмена – Энскога. Самый простой из них требует разделения шкалы между продолжительностью столкновения. ${ displaystyle tau _ {c}}$ и среднее свободное время между столкновениями ${ displaystyle tau _ {f}}$ : ${ displaystyle tau _ {c} ll tau _ {f}}$ . Это условие гарантирует, что столкновения являются четко определенными событиями в пространстве и времени, и выполняется, если безразмерный параметр ${ Displaystyle гамма эквив г_ {с} ^ {3} п}$ маленький, где ${ displaystyle r_ {c}}$ - диапазон межчастичных взаимодействий и ${ displaystyle n}$ - числовая плотность.^[2] В дополнение к этому предположению теория Чепмена – Энскога также требует, чтобы ${ displaystyle tau _ {f}}$ намного меньше, чем любой внешний сроки ${ Displaystyle { тау _ { текст {ext}} }}$ . Это временные шкалы, связанные с членами в левой части уравнения Больцмана, которые описывают изменения состояния газа на макроскопических длинах. Обычно их значения определяются начальными / граничными условиями и / или внешними полями. Такое разделение масштабов означает, что член столкновений в правой части уравнения Больцмана намного меньше, чем члены потока в левой части. Таким образом, приближенное решение можно найти из

{ displaystyle { hat {C}} f = 0.}

Можно показать, что решением этого уравнения является Гауссовский:

{ Displaystyle f = N ( mathbf {r}, t) left ({ frac {m} {2 pi k_ {B} T ( mathbf {r}, t)}} right) ^ {3 / 2} exp left [- { frac {m left ( mathbf {v} - mathbf {v} _ {0} ( mathbf {r}, t) right) ^ {2}} { 2k_ {B} T ( mathbf {r}, t)}} right],}

куда ${ displaystyle m}$ это масса молекулы и ${ displaystyle k_ {B}}$ это Постоянная Больцмана.^[3]Говорят, что газ находится в локальное равновесие если он удовлетворяет этому уравнению.^[4] Предположение о локальном равновесии непосредственно приводит к Уравнения Эйлера, которые описывают жидкости без диссипации, то есть с теплопроводностью и вязкостью, равными ${ displaystyle 0}$ . Основная цель теории Чепмена – Энскога - систематическое получение обобщений уравнений Эйлера, которые действительно включают диссипацию. Это достигается выражением отклонений от локального равновесия в виде пертурбативного ряда в Число Кнудсена ${ displaystyle { text {Kn}}}$ , что мало, если ${ Displaystyle тау _ {е} ll { тау _ { текст {ext}} }}$ . Концептуально полученные гидродинамические уравнения описывают динамическое взаимодействие между свободным течением и межчастичными столкновениями. Последние имеют тенденцию гнать газ к локальное равновесие, в то время как первый действует через пространственные неоднородности, заставляя газ прочь от локального равновесия.^[5] Когда число Кнудсена порядка 1 или больше, газ в рассматриваемой системе не может быть описан как жидкость.

Для первого заказа в ${ displaystyle { text {Kn}}}$ , получаем Уравнения Навье – Стокса. Второй и третий порядок порождают Уравнения Бернетта и супербёрнеттские уравнения.

Математическая формулировка

Поскольку число Кнудсена не появляется явно в уравнении Больцмана, а скорее неявно в терминах функции распределения и граничных условий, фиктивный параметр ${ displaystyle epsilon}$ вводится для отслеживания соответствующих приказов в расширении Chapman – Enskog:

{ displaystyle { frac { partial f} { partial t}} + mathbf {v cdot} { frac { partial f} { partial mathbf {r}}} + { frac { mathbf {F}} {m}} cdot { frac { partial f} { partial mathbf {v}}} = { frac {1} { epsilon}} { hat {C}} f.}

Видно, что маленькие ${ displaystyle epsilon}$ подразумевает коллизионный член ${ displaystyle { hat {C}} f}$ доминирует над термином потоковой передачи ${ displaystyle mathbf {v cdot} { frac { partial f} { partial mathbf {r}}} + { frac { mathbf {F}} {m}} cdot { frac { частичный f} { partial mathbf {v}}}}$ , что то же самое, что сказать, что число Кнудсена мало. Таким образом, подходящая форма для разложения Чепмена – Энскога:

{ displaystyle f = f ^ {(0)} + epsilon f ^ {(1)} + epsilon ^ {2} f ^ {(2)} + ldots .}

Решения, которые могут быть формально расширены таким образом, известны как нормальный решения уравнения Больцмана.^[6] Ясно, что этот класс решений исключает непертурбативные вклады (такие как ${ displaystyle e ^ {- 1 / epsilon}}$ ), которые появляются в пограничных слоях или вблизи внутренних ударные слои. Таким образом, теория Чепмена – Энскога ограничивается ситуациями, в которых такими решениями можно пренебречь.

Подставляя это разложение и приравнивая порядки ${ displaystyle epsilon}$ ведет к иерархии

{ displaystyle { begin {align} J (f ^ {(0)}, f ^ {(0)}) & = 0 2J (f ^ {(0)}, f ^ {(n)}) & = left ({ frac { partial} { partial t}} + mathbf {v cdot} { frac { partial} { partial mathbf {r}}} + { frac { mathbf {F}} {m}} cdot { frac { partial} { partial mathbf {v}}} right) f ^ {(n-1)} - sum _ {m = 1} ^ { n-1} J (f ^ {(n)}, f ^ {(nm)}), qquad n> 0, end {выровнено}}}

куда ${ displaystyle J}$ - интегральный оператор, линейный по обоим аргументам, удовлетворяющий ${ Displaystyle J (е, g) = J (g, f)}$ и ${ Displaystyle J (е, е) = { шляпа {C}} f}$ . Решение первого уравнения является гауссовским:

{ displaystyle f ^ {(0)} = n '( mathbf {r}, t) left ({ frac {m} {2 pi k_ {B} T' ( mathbf {r}, t) }} right) ^ {3/2} exp left [- { frac {m left ( mathbf {v} - mathbf {v} '_ {0} ( mathbf {r}, t) right) ^ {2}} {2k_ {B} T '( mathbf {r}, t)}} right].}

для некоторых функций ${ Displaystyle п '( mathbf {г}, т)}$ , ${ displaystyle mathbf {v} '_ {0} ( mathbf {r}, t)}$ , и ${ Displaystyle Т '( mathbf {г}, т)}$ . Заманчиво приравнять эти функции к физическим гидродинамическим полям, определяемым как моменты ${ Displaystyle е ( mathbf {r}, mathbf {v}, т)}$ :

{ displaystyle { begin {align} n ( mathbf {r}, t) & = int fd mathbf {v} n ( mathbf {r}, t) v_ {0} ( mathbf {r }, t) & = int mathbf {v} fd mathbf {v} n ( mathbf {r}, t) T ( mathbf {r}, t) & = int { frac {m } {3k_ {B}}} mathbf {v} ^ {2} fd mathbf {v}. End {выравнивается}}}

Однако с чисто математической точки зрения эти два набора функций не обязательно одинаковы для ${ displaystyle epsilon> 0}$ (за ${ displaystyle epsilon = 0}$ они равны по определению). Действительно, если систематически продвигаться по иерархии, можно обнаружить, что аналогично ${ displaystyle f ^ {(0)}}$ , каждый ${ displaystyle f ^ {(n)}}$ также содержит произвольные функции ${ displaystyle mathbf {r}}$ и ${ displaystyle t}$ связь которого с физическими гидродинамическими полями априори неизвестный. Одно из ключевых упрощающих предположений теории Чепмена – Энскога состоит в том, что предполагать что эти в противном случае произвольные функции могут быть записаны в терминах точный гидродинамические поля и их пространственные градиенты. Другими словами, пространственно-временная зависимость ${ displaystyle f}$ входит только неявно через гидродинамические поля. Это утверждение физически правдоподобно, так как при малых числах Кнудсена ожидается вход в гидродинамический режим, в котором состояние газа определяется исключительно гидродинамическими полями. В случае ${ displaystyle f ^ {(0)}}$ , функции ${ Displaystyle п '( mathbf {г}, т)}$ , ${ displaystyle mathbf {v} '_ {0} ( mathbf {r}, t)}$ , и ${ Displaystyle Т '( mathbf {г}, т)}$ полагаются в точности равными физическим гидродинамическим полям.

Хотя эти предположения физически правдоподобны, возникает вопрос, действительно ли существуют решения, удовлетворяющие этим свойствам. Точнее, нужно показать, что существуют решения, удовлетворяющие

{ Displaystyle { begin {align} int sum _ {n = 1} ^ { infty} epsilon ^ {n} f ^ {(n)} d mathbf {v} = 0 = int sum _ {n = 1} ^ { infty} epsilon ^ {n} f ^ {(n)} mathbf {v} ^ {2} d mathbf {v} int sum _ {n = 1 } ^ { infty} epsilon ^ {n} f ^ {(n)} v_ {i} d mathbf {v} = 0, qquad i in {x, y, z }. end { выровнено}}}

Более того, даже если такие решения существуют, остается дополнительный вопрос о том, охватывают ли они полный набор нормальных решений уравнения Больцмана, т.е.не представляют собой искусственное ограничение исходного разложения в ${ displaystyle epsilon}$ . Одно из ключевых технических достижений теории Чепмена – Энскога - дать положительный ответ на оба эти вопроса.^[6] Таким образом, по крайней мере на формальном уровне, подход Чепмена – Энскога не теряет общности.

Установив эти формальные соображения, можно приступить к вычислению ${ displaystyle f ^ {(1)}}$ . Результат^[1]

{ displaystyle f ^ {(1)} = left [- { frac {1} {n}} left ({ frac {2k_ {B} T} {m}} right) ^ {1/2 } mathbf {A ( mathbf {v}) cdot nabla ln} T mathbf {-} { frac {2} {n}} mathbb {B ( mathbf {v}) двоеточие nabla } mathbf {v} _ {0} right] f ^ {(0)},}

куда ${ Displaystyle mathbf {A} ( mathbf {v})}$ вектор и ${ Displaystyle mathbb {B} ( mathbf {v})}$ а тензор, каждое из которых является решением линейной неоднородной интегральное уравнение которая может быть решена явно с помощью полиномиального разложения. Обратите внимание, что двоеточие обозначает произведение с двумя точками, ${ displaystyle mathbb {T}: mathbb {T '} = sum _ {i} sum _ {j} T_ {ij} T' _ {ji}}$ для тензоров ${ displaystyle mathbb {T}}$ , ${ Displaystyle mathbb {Т '}}$ .

Прогнозы

В первом порядке по числу Кнудсена тепловой поток ${ displaystyle mathbf {q} = { frac {m} {2}} int f mathbf {v} ^ {2} mathbf {v} d mathbf {v}}$ оказывается подчиняться Закон теплопроводности Фурье,^[7]

{ displaystyle mathbf {q} = - lambda nabla T,}

и тензор потока импульса ${ Displaystyle mathbf { sigma} = м int ( mathbf {v} - mathbf {v} _ {0}) ( mathbf {v} - mathbf {v} _ {0}) ^ { mathsf {T}} f mathrm {d} mathbf {v}}$ это то из Ньютоновская жидкость,^[7]

{ displaystyle mathbf { sigma} = p mathbb {I} - mu left ( nabla mathbf {v_ {0}} + nabla mathbf {v_ {0}} ^ {T} right) + { frac {2} {3}} mu ( nabla cdot mathbf {v_ {0}}) mathbb {I},}

с ${ displaystyle mathbb {I}}$ тождественный тензор. Здесь ${ displaystyle lambda}$ и ${ displaystyle mu}$ являются константами, которые мы теперь отождествляем с теплопроводностью и вязкостью. Их можно явно рассчитать в терминах молекулярных параметров, решив линейное интегральное уравнение; в таблице ниже приведены результаты для нескольких важных молекулярных моделей ( ${ displaystyle m}$ это масса молекулы и ${ displaystyle k_ {B}}$ - постоянная Больцмана).^[8]

Таблица 1: Прогнозируемые выражения для теплопроводности и вязкости.
Модель	${ displaystyle mu}$	${ displaystyle lambda}$	Заметки
Жесткие упругие шары диаметром ${ displaystyle sigma}$	${ displaystyle 1.016 cdot { frac {5} {16 sigma ^ {2}}} left ({ frac {k_ {B} mT} { pi}} right) ^ {1/2}}$	${ displaystyle 2.522 cdot { frac {3} {2}} { frac {k_ {B}} {m}} cdot mu}$	Правильно до 3-х знаков после запятой.
Молекулы с силой отталкивания ${ Displaystyle каппа / г ^ { ню}}$	${ displaystyle { frac {5} {8}} { frac {1} {A_ {2} ( nu) Gamma left (4 - { frac {2} { nu -1}} right )}} left ({ frac {k_ {B} mT} { pi}} right) ^ {1/2} left ({ frac {2k_ {B} T} { kappa}} right ) ^ {2 / ( nu -1)}}$	${ displaystyle { frac {15} {4}} { frac {k_ {B}} {m}} cdot mu}$	${ displaystyle Gamma}$ обозначает Гамма-функция, и ${ Displaystyle A_ {2} ( ню)}$ - числовой коэффициент. Чепмен и Коулинг перечисляют несколько значений последнего, например ${ displaystyle A_ {2} (5) = 0,436}$ и ${ displaystyle A_ {2} (11) = 0,319}$ .^[9]
Потенциал Леннарда-Джонса: ${ Displaystyle V (г) = 4 эпсилон {( sigma / r) ^ {12} - ( sigma / r) ^ {6} }}$	${ displaystyle { frac {5} {8 sigma ^ {2}}} left ({ frac {k_ {B} mT} { pi}} right) ^ {1/2} cdot { гидроразрыв {1} {{ mathcal {W}} _ {1} ^ {(2)} (2)}}}$	${ displaystyle { frac {15} {4}} { frac {k_ {B}} {m}} cdot mu}$	${ Displaystyle { mathcal {W}} _ {1} ^ {(2)} (2)}$ является функцией ${ displaystyle k_ {B} T / epsilon}$ который можно рассчитать численно. Это варьируется от ${ displaystyle 5.682}$ за ${ displaystyle k_ {B} T / epsilon = 0,3}$ к ${ displaystyle 1.1738}$ за ${ displaystyle k_ {B} T / epsilon = 100}$ .^[10]

С этими результатами легко получить уравнения Навье – Стокса. Взятие моментов скорости из уравнения Больцмана приводит к точный уравнения баланса гидродинамических полей ${ Displaystyle п ( mathbf {r}, т)}$ , ${ displaystyle mathbf {v} _ {0} ( mathbf {r}, t)}$ , и ${ Displaystyle Т ( mathbf {г}, т)}$ :

${ displaystyle { begin {align} { frac { partial n} { partial t}} + nabla cdot left (n mathbf {v} _ {0} right) & = 0 { frac { partial mathbf {v} _ {0}} { partial t}} + mathbf {v} _ {0} cdot nabla mathbf {v} _ {0} - { frac { mathbf {F}} {m}} + { frac {1} {n}} nabla cdot mathbf { sigma} & = 0 { frac { partial T} { partial t}} + mathbf {v} _ {0} cdot nabla T + { frac {2} {3k_ {B} n}} left ( mathbf { sigma:} nabla mathbf {v} _ {0} + nabla cdot mathbf {q} right) & = 0. end {align}}}$

Как и в предыдущем разделе, двоеточие обозначает произведение с двумя точками, ${ displaystyle mathbb {T}: mathbb {T '} = sum _ {i} sum _ {j} T_ {ij} T' _ {ji}}$ . Подставляя выражения Чепмена – Энскога для ${ displaystyle mathbf {q}}$ и ${ displaystyle sigma}$ , приходим к уравнениям Навье – Стокса.

Сравнение с экспериментом

Важным предсказанием теории Чепмена-Энскога является то, что вязкость не зависит от плотности (это можно увидеть для каждой молекулярной модели в таблице 1, но на самом деле она не зависит от модели). Этот удивительный результат восходит к Джеймс Клерк Максвелл, который сделал это в 1860 году на основе более элементарных кинетических аргументов.^[11] Это хорошо проверено экспериментально для газов обычных плотностей.

Таблица 2: Экспериментально измеренные значения ${ displaystyle f = lambda / mu c_ {v}}$ для первых пяти благородных газов.^[12]
Гелий	2.45
Неон	2.52
Аргон	2.48
Криптон	2.535
Ксенон	2.58

С другой стороны, теория предсказывает, что ${ displaystyle mu}$ действительно зависит от температуры. Для жестких упругих сфер прогнозируемое масштабирование составляет ${ displaystyle mu propto T ^ {1/2}}$ , в то время как другие модели обычно показывают большее изменение в зависимости от температуры. Например, для молекул, отталкивающих друг друга с силой ${ displaystyle propto r ^ {- nu}}$ прогнозируемое масштабирование ${ displaystyle mu propto T ^ {s}}$ , куда ${ Displaystyle s = 1/2 + 2 / ( nu -1)}$ . Принимая ${ displaystyle s = 0,668}$ , соответствующий ${ displaystyle nu приблизительно 12,9}$ , показывает разумное согласие с экспериментально наблюдаемым скейлингом для гелия. Для более сложных газов согласие не такое хорошее, скорее всего, из-за пренебрежения силами притяжения.^[13] Действительно, Модель Леннарда-Джонса, который включает в себя аттракционы, может быть приведен в большее соответствие с экспериментом (хотя и за счет более непрозрачного ${ displaystyle T}$ зависимость; см. запись Леннарда-Джонса в таблице 1).^[14]

Теория Чепмена – Энскога также предсказывает простую связь между ${ displaystyle lambda}$ и ${ displaystyle mu}$ в виде ${ displaystyle lambda = f mu c_ {v}}$ , куда ${ displaystyle c_ {v}}$ это удельная теплоемкость при постоянном объеме и ${ displaystyle f}$ является чисто числовым фактором. Для сферически-симметричных молекул его значение будет очень близко к ${ displaystyle 2.5}$ немного зависящим от модели способом. Например, жесткие упругие сферы имеют ${ displaystyle f приблизительно 2,522}$ , и молекулы с силой отталкивания ${ displaystyle propto r ^ {- 13}}$ имеют ${ displaystyle f приблизительно 2,511}$ (последнее отклонение не учитывается в таблице 1). Частный случай Молекулы Максвелла (сила отталкивания ${ displaystyle propto r ^ {- 5}}$ ) имеет ${ displaystyle f = 2,5}$ точно.^[15] С ${ displaystyle lambda}$ , ${ displaystyle mu}$ , и ${ displaystyle c_ {v}}$ могут быть измерены непосредственно в эксперименте, простой экспериментальной проверкой теории Чепмена – Энскога является измерение ${ displaystyle f}$ для сферически симметричной благородные газы. Таблица 2 показывает, что существует разумное согласие между теорией и экспериментом.^[12]

Расширения

Основные принципы теории Чепмена – Энскога можно распространить на более разнообразные физические модели, включая газовые смеси и молекулы с внутренними степенями свободы. В режиме высокой плотности теория может быть адаптирована для учета столкновительного переноса импульса и энергии, то есть переноса по молекулярному диаметру в течение столкновение, а не на длине свободного пробега (между столкновения). Включение этого механизма предсказывает зависимость вязкости от плотности при достаточно высокой плотности, что также наблюдается экспериментально.

Можно также провести теорию до более высокого порядка по числу Кнудсена. В частности, вклад третьего порядка ${ displaystyle f ^ {(2)}}$ был рассчитан Бернеттом.^[16] В общих обстоятельствах, однако, к этим исправлениям высокого порядка следует подходить с осторожностью, учитывая, что расширение Чепмена – Энскога не всегда может сходиться.^[17] (С другой стороны, расширение считается по крайней мере асимптотическим по отношению к решениям уравнения Больцмана, и в этом случае усечение в низком порядке по-прежнему дает точные результаты.)^[18] Даже если поправки более высокого порядка действительно позволяют улучшить данную систему, интерпретация соответствующих гидродинамических уравнений все еще обсуждается.^[19]

Смотрите также

Заметки

^ ^а ^б Чепмен, Сидней; Каулинг, Т. (1970), Математическая теория неоднородных газов. (3-е изд.), Cambridge University Press
^ Балеску, Раду (1975), Равновесная и неравновесная статистическая механика, Джон Уайли и сыновья, ISBN 978-0-471-04600-4
^ Черчиньяни, Карло (1975), Теория и применение уравнения Больцмана., Elsevier, стр. 78–79, ISBN 978-0-444-19450-3
^ Балеску, стр. 450
^ Балеску, стр. 451
^ ^а ^б Град, Гарольд (1958), "Принципы кинетической теории газов", в Flügge, S. (ed.), Энциклопедия физики, XII, Springer-Verlag, стр. 205–294.
^ ^а ^б Берд, Р. Брайон; Армстронг, Роберт С .; Хассагер, Оле (1987), Динамика полимерных жидкостей, Том 1: Механика жидкости (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 10–11.
^ Чепмен и Коулинг, глава 10
^ Чепмен и Коулинг, стр. 172
^ Чепмен и Коулинг, стр. 185
^ Максвелл, Джеймс (1860), "V. Иллюстрации к динамической теории газов. - Часть I. О движениях и столкновениях идеально упругих сфер", Философский журнал, 19 (124): 19–32, Дои:10.1080/14786446008642818
^ ^а ^б Чепмен и Коулинг стр. 249
^ Chapman & Cowling, стр. 230-232.
^ Chapman & Cowling, стр. 235-237.
^ Chapman & Cowling, стр. 247
^ Бернетт Д. (1936 г.), "Распределение молекулярных скоростей и среднее движение в неоднородном газе", Труды Лондонского математического общества, 40: 382, Дои:10.1112 / плмс / с2-40.1.382
^ Сантос, Андрес; Брей, Дж. Хавьер; Дафти, Джеймс В. (1986), "Дивергенция расширения Чепмена-Энскога", Письма с физическими проверками, 56 (15): 1571–1574, Дои:10.1103 / PhysRevLett.56.1571, PMID 10032711
^ Град, Гарольд (1963), "Асимптотическая теория уравнения Больцмана", Физика жидкостей, 6 (2): 147, Дои:10.1063/1.1706716
^ Гарсия-Колин, Л.С.; Velasco, R.M .; Урибе, Ф.Дж. (2008), "Помимо уравнений Навье – Стокса: гидродинамика Бернетта", Отчеты по физике, 465 (4): 149–189, Дои:10.1016 / j.physrep.2008.04.010