Функция линейного отклика - Linear response function

А функция линейного отклика описывает отношения ввода-вывода преобразователь сигнала например, поворот радио электромагнитные волны в музыку или нейрон превращение синаптический ввод в ответ. Благодаря многочисленным приложениям в теория информации, физика и инженерное дело существуют альтернативные названия для конкретных функций линейного отклика, таких как восприимчивость, импульсивный ответ или же сопротивление, смотрите также функция передачи. Концепция Функция Грина или же фундаментальное решение из обыкновенное дифференциальное уравнение тесно связан.

Математическое определение

Обозначим вход системы через ${displaystyle h (t)}$ (например, сила ), а ответ системы - ${displaystyle x (t)}$ (например, должность). Как правило, значение ${displaystyle x (t)}$ будет зависеть не только от текущей стоимости ${displaystyle h (t)}$ , но и прошлые ценности. Примерно ${displaystyle x (t)}$ представляет собой взвешенную сумму предыдущих значений ${displaystyle h (t ')}$ , с весами, заданными функцией линейного отклика ${displaystyle chi (t-t ')}$ :

{displaystyle x (t) = int _ {- infty} ^ {t} dt ', chi (t-t') h (t ') + точки,.}

Явный член в правой части - это ведущий заказ срок Расширение Вольтерры для полного нелинейного отклика. Если рассматриваемая система сильно нелинейна, члены более высокого порядка в разложении, обозначенные точками, становятся важными, и преобразователь сигнала не может быть адекватно описан только его функцией линейного отклика.

Комплекснозначный преобразование Фурье ${displaystyle {ilde {chi}} (омега)}$ функции линейного отклика очень полезен, так как он описывает выход системы, если вход является синусоидальным ${displaystyle h (t) = h_ {0} cdot sin (omega t)}$ с частотой ${displaystyle omega}$ . Результат гласит

{displaystyle x (t) = | {ilde {chi}} (omega) | cdot h_ {0} cdot sin (omega t + arg {ilde {chi}} (омега)) ,,}

с усиление амплитуды ${displaystyle | {ilde {chi}} (омега) |}$ и сдвиг фазы ${displaystyle arg {ilde {chi}} (омега)}$ .

Пример

Рассмотрим затухающий гармонический осциллятор с входом, заданным внешней движущей силой ${displaystyle h (t)}$ ,

{displaystyle {ddot {x}} (t) + gamma {dot {x}} (t) + omega _ {0} ^ {2} x (t) = h (t).,}

Комплекснозначный преобразование Фурье функции линейного отклика дается выражением

{displaystyle {ilde {chi}} (omega) = {frac {{ilde {x}} (omega)} {{ilde {h}} (omega)}} = {frac {1} {omega _ {0} ^ {2} -omega ^ {2} + igamma omega}}.,}

Коэффициент усиления амплитуды определяется величиной комплексного числа ${displaystyle {ilde {chi}} (омега),}$ и фазовый сдвиг на arctan мнимой части функции, деленной на действительную.

Из этого представления мы видим, что для малых ${displaystyle gamma}$ преобразование Фурье ${displaystyle {ilde {chi}} (омега)}$ функции линейного отклика дает ярко выраженный максимум ("Резонанс ") на частоте ${displaystyle omega около omega _ {0}}$ . Функция линейного отклика для гармонического осциллятора математически идентична функции линейного отклика для гармонического осциллятора. Схема RLC. Ширина максимальная ${displaystyle, Delta omega,}$ обычно намного меньше, чем ${displaystyle omega _ {0},}$ таким образом Фактор качества ${displaystyle S: = omega _ {0} / Delta omega}$ может быть очень большим.

Формула Кубо

Изложение теории линейного отклика в контексте квантовая статистика, можно найти в статье Рёго Кубо.^[1] Это, в частности, определяет Формула Кубо, который рассматривает общий случай, когда «сила» h (t) является возмущением основного оператора системы, Гамильтониан, ${displaystyle {hat {H}} _ {0} o {hat {H}} _ {0} -h (t ') {hat {B}} (t'),}$ куда ${displaystyle {hat {B}}}$ соответствует измеряемой величине в качестве входа, в то время как выход x (t) представляет собой возмущение теплового ожидания другой измеряемой величины ${displaystyle {hat {A}} (t)}$ . Затем формула Кубо определяет квантово-статистический расчет восприимчивость ${displaystyle chi (t-t ')}$ по общей формуле, включающей только указанные операторы.

Как следствие принципа причинность комплексная функция ${displaystyle {ilde {chi}} (омега)}$ имеет полюса только в нижней полуплоскости. Это приводит к Отношения Крамерса – Кронига, связывающий действительную и мнимую части ${displaystyle {ilde {chi}} (омега)}$ путем интеграции. Самый простой пример - это снова затухающий гармонический осциллятор.^[2]

Смотрите также

внешняя ссылка

Функции линейного отклика в Ева Паварини, Эрик Кох, Дитер Фоллхардт и Александр Лихтенштейн (редакторы): DMFT в 25 лет: Бесконечные измерения, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN 978-3-89336-953-9

[1] Кубо Р., Статистическая механическая теория необратимых процессов I, Журнал Физического общества Японии, т. 121957, с. 570–586.

[2] Де Клозо,Теория линейного отклика, в: Антончик Э. и др., Теория конденсированного состояния, МАГАТЭ Вена, 1968 г.

[1]

[2]