Отношения Крамерса – Кронига - Kramers–Kronig relations

В Отношения Крамерса – Кронига двунаправленные математический отношения, связывающие настоящий и воображаемый части любых сложная функция то есть аналитический в верхняя полуплоскость. Отношения часто используются для вычисления действительной части из мнимой части (или наоборот) функции ответа в физические системы, потому что для стабильных систем причинность подразумевает условие аналитичности, и, наоборот, аналитичность подразумевает причинность соответствующей стабильной физической системы.^[1] Отношение названо в честь Ральф Крониг и Ганс Крамерс.^[2][3] В математика, эти отношения известны под названиями Теорема Сохоцкого – Племеля. и Преобразование Гильберта.

Формулировка

Иллюстрация к одному из соотношений Крамерса-Кронига. Найдите действительную часть восприимчивости с известной мнимой.

Позволять ${ Displaystyle чи ( омега) = чи _ {1} ( омега) + я чи _ {2} ( омега)}$ быть сложной функцией комплексной переменной ${ displaystyle omega}$, где ${ displaystyle chi _ {1} ( omega)}$ и ${ displaystyle chi _ {2} ( omega)}$ находятся настоящий. Предположим, эта функция аналитический в закрытом верхняя полуплоскость из ${ displaystyle omega}$ и исчезает как ${ displaystyle 1 / | omega |}$ или быстрее как ${ displaystyle | omega | rightarrow infty}$. Возможны и несколько более слабые условия. Соотношения Крамерса – Кронига даются формулами

${ displaystyle chi _ {1} ( omega) = {1 over pi} { mathcal {P}} ! ! ! int limits _ {- infty} ^ { infty} { chi _ {2} ( omega ') over omega' - omega} , d omega '}$

и

${ displaystyle chi _ {2} ( omega) = - {1 over pi} { mathcal {P}} ! ! ! int limits _ {- infty} ^ { infty} { chi _ {1} ( omega ') over omega' - omega} , d omega ',}$

где ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ обозначает Главное значение Коши. Таким образом, действительная и мнимая части такой функции не являются независимыми, и полная функция может быть восстановлена ​​только по одной из ее частей.

Вывод

Доказательство начинается с применения Теорема Коши о вычетах для сложной интеграции. Для любой аналитической функции ${ displaystyle chi}$ в закрытой верхней полуплоскости функция ${ displaystyle omega ' rightarrow chi ( omega') / ( omega '- omega)}$ где ${ displaystyle omega}$ реально будет также аналитично в верхней половине плоскости. Следовательно, теорема о вычетах утверждает, что

${ displaystyle oint { чи ( omega ') over omega' - omega} , d omega '= 0}$

Интегральный контур для вывода соотношений Крамерса – Кронига.

для любых закрытых контур в этом регионе. Выбираем контур для прорисовки реальной оси, горб над столб в ${ displaystyle omega '= omega}$, и большой полукруг в верхней полуплоскости. Затем мы разлагаем интеграл на его вклады по каждому из этих трех сегментов контура и передаем их до пределов. Длина полукруглого сегмента увеличивается пропорционально ${ displaystyle | omega '|}$, но интеграл по нему в пределе обращается в нуль, поскольку ${ Displaystyle чи ( омега ')}$ исчезает по крайней мере так же быстро, как ${ displaystyle 1 / | omega '|}$. У нас остались отрезки по действительной оси и полукруг вокруг полюса. Обнуляем размер полукруга и получаем

${ displaystyle 0 = oint { chi ( omega ') over omega' - omega} , d omega '= { mathcal {P}} ! ! ! int limits _ { - infty} ^ { infty} { chi ( omega ') over omega' - omega} , d omega '-i pi chi ( omega).}$

Второй член в последнем выражении получен с помощью теории вычетов,^[4] более конкретно Теорема Сохоцкого – Племеля.. Переставив, мы приходим к компактной форме соотношений Крамерса – Кронига:

${ displaystyle chi ( omega) = {1 over i pi} { mathcal {P}} ! ! ! int limits _ {- infty} ^ { infty} { chi ( omega ') over omega' - omega} , d omega '.}$

Сингл ${ displaystyle i}$ в знаменатель осуществит связь между реальной и мнимой составляющими. Наконец, разделить ${ Displaystyle чи ( омега)}$ и уравнение на их действительную и мнимую части, чтобы получить указанные выше формы.

Физическая интерпретация и альтернативная форма

Мы можем применить формализм Крамерса – Кронига к функции ответа. В определенных линейных физических системах или в инженерных областях, таких как обработка сигналов, функция отклика ${ Displaystyle чи (т-т ') !}$ описывает, как некоторое зависящее от времени свойство ${ Displaystyle P (т) !}$ физической системы реагирует на импульс сила ${ Displaystyle F (т ') !}$ вовремя ${ displaystyle t '.}$ Например, ${ Displaystyle P (т) !}$ может быть угол из маятник и ${ Displaystyle F (т)}$ приложенная сила мотор управляя движением маятника. Ответ ${ Displaystyle чи (т-т ')}$ должен быть нулевым для ${ Displaystyle т <т '!}$ поскольку система не может реагировать на силу до ее применения. Его можно показать (например, вызвав Теорема Титчмарша ), что из этого условия причинности следует, что преобразование Фурье ${ Displaystyle чи ( омега) !}$ из ${ Displaystyle чи (т) !}$ аналитична в верхней полуплоскости.^[5]Кроме того, если мы подвергаем систему воздействию колебательной силы с частотой, намного превышающей ее наивысшую резонансную частоту, у системы почти не будет времени реагировать до того, как сила изменит направление, и поэтому частотная характеристика ${ Displaystyle чи ( омега) !}$ будет сходиться к нулю при ${ displaystyle omega}$ становится очень большим. Из этих физических соображений мы видим, что ${ Displaystyle чи ( омега) !}$ обычно удовлетворяет условиям, необходимым для применения соотношений Крамерса – Кронига.

Мнимая часть функции отклика описывает, как система рассеивает энергию, поскольку он находится в фаза с движущая сила. Соотношения Крамерса-Кронига подразумевают, что наблюдения за диссипативным откликом системы достаточно для определения ее противофазного (реактивного) отклика, и наоборот.

Интегралы начинаются с ${ displaystyle - infty}$ к ${ displaystyle infty}$, подразумевая, что мы знаем реакцию на отрицательных частотах. К счастью, в большинстве физических систем положительная частотная характеристика определяет отрицательную частотную характеристику, потому что ${ Displaystyle чи ( омега)}$ является преобразованием Фурье действительного ответа ${ Displaystyle чи (т)}$. В дальнейшем мы будем делать это предположение.

Как следствие, ${ Displaystyle чи (- омега) = чи ^ {*} ( омега)}$. Это означает ${ displaystyle chi _ {1} ( omega)}$ является даже функция частоты и ${ displaystyle chi _ {2} ( omega)}$ является странный.

Используя эти свойства, мы можем свернуть диапазоны интегрирования до ${ displaystyle [0, infty)}$. Рассмотрим первое соотношение, которое дает действительную часть ${ displaystyle chi _ {1} ( omega)}$. Преобразуем интеграл в интеграл определенной четности, умножив числитель и знаменатель числа интегрировать к ${ displaystyle omega '+ omega}$ и отделяя:

${ displaystyle chi _ {1} ( omega) = {1 over pi} { mathcal {P}} ! ! ! int limits _ {- infty} ^ { infty} { omega ' chi _ {2} ( omega') over omega '^ {2} - omega ^ {2}} , d omega' + { omega over pi} { mathcal { P}} ! ! ! Int limits _ {- infty} ^ { infty} { chi _ {2} ( omega ') over omega' ^ {2} - omega ^ { 2}} , d omega '.}$

С ${ displaystyle chi _ {2} ( omega)}$ нечетно, второй интеграл обращается в нуль, и остается

${ displaystyle chi _ {1} ( omega) = {2 over pi} { mathcal {P}} ! ! ! int limits _ {0} ^ { infty} { omega ' chi _ {2} ( omega') over omega '^ {2} - omega ^ {2}} , d omega'.}$

Тот же вывод для мнимой части дает

${ displaystyle chi _ {2} ( omega) = - {2 over pi} { mathcal {P}} ! ! ! int limits _ {0} ^ { infty} { omega chi _ {1} ( omega ') over omega' ^ {2} - omega ^ {2}} , d omega '= - {2 omega over pi} { mathcal { P}} ! ! ! Int limits _ {0} ^ { infty} { chi _ {1} ( omega ') over omega' ^ {2} - omega ^ {2} } , d omega '.}$

Это соотношения Крамерса – Кронига в форме, полезной для физически реалистичных функций отклика.

Связанное доказательство из временной области

Ху^[6] и зал, и черт возьми^[7] предоставить связанное и, возможно, более интуитивное доказательство, позволяющее избежать интеграции контуров. Он основан на следующих фактах:

• Причинно-импульсная реакция может быть выражена как сумма четной функции и нечетной функции, где нечетная функция - это четная функция, умноженная на сигнум функция.
• Четная и нечетная части сигнала во временной области соответствуют действительной и мнимой частям его интеграла Фурье соответственно.
• Умножение на сигнум-функцию во временной области соответствует Преобразование Гильберта (т.е. свертка ядром Гильберта ${ displaystyle 1 / pi omega}$) в частотной области.

Объединение формул, полученных из этих фактов, дает соотношения Крамерса – Кронига. Это доказательство несколько отличается от предыдущего в том смысле, что оно связывает действительную и мнимую части в частотной области любой функции, которая является причинной во временной области, предлагая подход, несколько отличный от условия аналитичности в верхней полуплоскости частотная область.

Также доступна статья с неформальной иллюстрацией этого доказательства.^[8]

Величина (усиление) - фазовая зависимость

Традиционная форма Крамерса – Кронига, приведенная выше, связывает настоящий и воображаемый часть сложной функции ответа. Связанная с этим цель - найти связь между величина и фаза сложной функции отклика.

В целом, к сожалению, фазу нельзя однозначно предсказать по величине.^[9] Простым примером этого является чистая временная задержка времени T, которая имеет амплитуду 1 на любой частоте независимо от T, но имеет фазу, зависящую от T (в частности, фаза = 2π × T × частота).

Однако существует уникальное соотношение амплитуды и фазы в частном случае минимальная фаза система,^[9] иногда называют Зависимость коэффициента усиления от фазы Боде. Условия Отношения Баяра-Боде и Теорема Баярда-Боде, после произведений Марсель Баярд (1936) и Хендрик Уэйд Боде (1945) также используются либо для соотношений Крамерса – Кронига в целом, либо для соотношения амплитуда – фаза в частности, особенно в полях телекоммуникации и теория управления.^[10][11]

Приложения в физике

Комплексный показатель преломления

Соотношения Крамерса – Кронига используются для связи действительной и мнимой частей комплексный показатель преломления ${ Displaystyle { тильда {п}} = п + я каппа}$ среды, где ${ displaystyle kappa}$ это коэффициент экстинкции.^[12] Следовательно, по сути, это также относится к сложному относительная диэлектрическая проницаемость и электрическая восприимчивость.^[13]

Оптическая активность

Соотношения Крамерса – Кронига устанавливают связь между оптическая вращательная дисперсия и круговой дихроизм.

Магнитооптика

Соотношения Крамерса – Кронига позволяют получить точные решения нетривиальных задач рассеяния, которые находят применение в магнитооптике.^[14]

Электронная спектроскопия

В спектроскопия потерь энергии электронов, Анализ Крамерса – Кронига позволяет рассчитать энергетическую зависимость как действительной, так и мнимой частей светооптического излучения образца. диэлектрическая проницаемость вместе с другими оптическими свойствами, такими как коэффициент поглощения и отражательная способность.^[15]

Короче говоря, измеряя количество электронов с высокой энергией (например, 200 кэВ), которые теряют заданное количество энергии при прохождении через очень тонкий образец (приближение однократного рассеяния), можно вычислить мнимую часть диэлектрической проницаемости при этой энергии. Используя эти данные с анализом Крамерса – Кронига, можно также вычислить реальную часть диэлектрической проницаемости (как функцию энергии).

Это измерение производится с помощью электронов, а не света, и может выполняться с очень высоким пространственным разрешением. Таким образом, можно, например, искать полосы поглощения ультрафиолета (УФ) в лабораторном образце межзвездная пыль менее 100 нм в поперечнике, т.е. слишком мал для УФ-спектроскопии. Хотя электронная спектроскопия имеет более низкое энергетическое разрешение, чем световая спектроскопия, данные о свойствах в видимом, ультрафиолетовом и мягком рентгене спектральные диапазоны могут быть записаны в том же эксперименте.

В фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением соотношения Крамерса – Кронига можно использовать для связи действительной и мнимой частей электронов собственная энергия. Это характерно для многочастичного взаимодействия, которое электрон испытывает в материале. Известные примеры находятся в высокотемпературные сверхпроводники, где в полосе дисперсии наблюдаются изломы, соответствующие реальной части собственной энергии, а также наблюдаются изменения ширины МДП, соответствующие мнимой части собственной энергии.^[16]

Адронное рассеяние

Соотношения Крамерса – Кронига также используются под названием «интегральные дисперсионные соотношения» со ссылкой на адронный рассеяние.^[17] В данном случае функция - это амплитуда рассеяния. За счет использования оптическая теорема тогда мнимая часть амплитуды рассеяния связана с полным поперечное сечение, который является физически измеримой величиной.

Геофизика

Для распространения сейсмических волн соотношение Крамера – Кронига помогает найти правильную форму для добротности в затухающей среде.^[18]

Смотрите также

• Дисперсия (оптика)
• Функция линейного отклика

Рекомендации

Цитаты

Источники