Минимальная фаза - Minimum phase

В теория управления и обработка сигналов, а линейный, инвариантный во времени система называется минимальная фаза если система и ее обратный находятся причинный и стабильный.^[1]^[2]

Самый общий причинный LTI Передаточная функция может быть однозначно разложена на серию из многопроходной и минимально-фазовой систем. Тогда системная функция является продуктом двух частей, и во временной области ответ системы представляет собой свертка из двух частей ответов. Разница между минимальной фазой и общей передаточной функцией состоит в том, что минимальная фазовая система имеет все полюсы и нули своей передаточной функции в левой половине представления s-плоскости (в дискретном времени, соответственно, внутри единичного круга z-плоскость). Поскольку инвертирование системной функции приводит к полюса поворачиваясь к нули и наоборот, а столбы с правой стороны (s-plane воображаемая линия ) или снаружи (z-плоскость единичный круг ) из комплексная плоскость привести к неустойчивый системы, только класс минимально-фазных систем замыкается на инверсию. Интуитивно понятно, что минимальная фазовая часть общей причинной системы реализует свой амплитудный отклик с минимальным групповая задержка, а его все проходят часть исправляет его фазовый отклик только для соответствия исходной функции системы.

Анализ в терминах полюсов и нулей точен только в случае передаточных функций, которые могут быть выражены как отношения полиномов. В случае непрерывного времени такие системы превращаются в сети обычных, идеализированных Сети LCR. В дискретном времени они удобно переводятся в их приближенные значения, используя сложение, умножение и единичную задержку. Можно показать, что в обоих случаях системные функции рациональной формы с возрастающим порядком могут использоваться для эффективной аппроксимации любой другой системной функции; таким образом, даже системные функции, не имеющие рациональной формы и, следовательно, имеющие бесконечное количество полюсов и / или нулей, на практике могут быть реализованы так же эффективно, как и любые другие.

В контексте причинно-следственных, стабильных систем мы теоретически могли бы свободно выбирать, будут ли нули системной функции выходить за пределы стабильного диапазона (вправо или за пределы), если условие замыкания не является проблемой. Тем не мение, инверсия имеет большое практическое значение, как и теоретически совершенные факторизации сами по себе. (Сравните спектрально-симметричное / антисимметричное разложение как другой важный пример, приводящий, например, к Преобразование Гильберта Многие физические системы также естественно стремятся к минимальной фазовой характеристике, и иногда их приходится инвертировать с использованием других физических систем, подчиняющихся тому же ограничению.

Ниже дается понимание того, почему эта система называется минимально-фазовой и почему основная идея применима, даже когда системная функция не может быть приведена в рациональную форму, которая могла бы быть реализована.

Обратная система

Система ${ displaystyle mathbb {H}}$ является обратимым, если мы можем однозначно определить его вход по его выходу. То есть мы можем найти систему ${ displaystyle mathbb {H} _ {inv}}$ так что если мы применим ${ displaystyle mathbb {H}}$ с последующим ${ displaystyle mathbb {H} _ {inv}}$ , получаем систему тождества ${ displaystyle mathbb {I}}$ . (Видеть Обратная матрица для конечномерного аналога). Т.е.,

{ Displaystyle mathbb {H} _ {inv} , mathbb {H} = mathbb {I}}

Предположим, что ${ displaystyle { tilde {x}}}$ ввод в систему ${ displaystyle mathbb {H}}$ и дает результат ${ displaystyle { tilde {y}}}$ .

{ Displaystyle mathbb {H} , { тильда {x}} = { тильда {y}}}

Применение обратной системы ${ displaystyle mathbb {H} _ {inv}}$ к ${ displaystyle { tilde {y}}}$ дает следующее.

{ displaystyle mathbb {H} _ {inv} , { tilde {y}} = mathbb {H} _ {inv} , mathbb {H} , { tilde {x}} = mathbb {I} , { tilde {x}} = { tilde {x}}}

Итак, мы видим, что обратная система ${ displaystyle mathbb {H} _ {inv}}$ позволяет однозначно определить вход ${ displaystyle { tilde {x}}}$ с выхода ${ displaystyle { tilde {y}}}$ .

Пример дискретного времени

Предположим, что система ${ displaystyle mathbb {H}}$ дискретное время, линейный, инвариантный во времени (LTI) система, описываемая импульсивный ответ ${ Displaystyle ч (п)}$ за п в Z. Кроме того, предположим ${ displaystyle mathbb {H} _ {inv}}$ имеет импульсный отклик ${ displaystyle h_ {inv} (п)}$ . Каскад двух систем LTI представляет собой свертка. В этом случае указанное выше соотношение следующее:

{ displaystyle (h_ {inv} * h) (n) = (h * h_ {inv}) (n) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} h (k) , h_ { inv} (nk) = delta (n)}

куда ${ Displaystyle дельта (п)}$ это Дельта Кронекера или личность система в дискретном времени. (Изменение порядка ${ displaystyle h_ {inv}}$ и ${ displaystyle h}$ допускается из-за коммутативности операции свертки.) Обратите внимание, что эта обратная система ${ displaystyle mathbb {H} _ {inv}}$ не обязательно быть уникальным.

Минимальная фазовая система

Когда мы накладываем ограничения причинность и стабильность, обратная система единственна; и система ${ displaystyle mathbb {H}}$ и его обратное ${ displaystyle mathbb {H} _ {inv}}$ называются минимальная фаза. Ограничения причинности и устойчивости в случае дискретного времени следующие (для инвариантных во времени систем, где h - импульсная характеристика системы):

Причинно-следственная связь

{ Displaystyle час (п) = 0 , , forall , п <0}

и

{ Displaystyle h_ {inv} (п) = 0 , , forall , п <0}

Стабильность

{ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} { left | h (n) right |} = | h | _ {1} < infty}

и

{ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} { left | h_ {inv} (n) right |} = | h_ {inv} | _ {1} < infty}

См. Статью о стабильность для аналогичных условий для случая непрерывного времени.

Частотный анализ

Частотный анализ в дискретном времени

Выполнение частотного анализа для случая дискретного времени даст некоторое понимание. Уравнение временной области следующее.

{ Displaystyle (ч * ч_ {inv}) (п) = , ! дельта (п)}

Применяя Z-преобразование дает следующее соотношение в z-области.

{ Displaystyle Н (г) , Н_ {inv} (г) = 1}

Из этого соотношения мы понимаем, что

{ Displaystyle H_ {inv} (z) = { frac {1} {H (z)}}}

Для простоты мы рассматриваем только случай рациональный функция передачи ЧАС(z). Причинность и стабильность подразумевают, что все полюса из ЧАС(z) должен находиться строго внутри единичный круг (Видеть стабильность ). Предполагать

{ Displaystyle H (z) = { гидроразрыва {A (z)} {D (z)}}}

куда А(z) и D(z) находятся многочлен в z. Причинно-следственная связь и стабильность подразумевают, что полюса - в корни из D(z) - должен находиться строго внутри единичный круг. Мы также знаем, что

{ displaystyle H_ {inv} (z) = { frac {D (z)} {A (z)}}}

Итак, причинность и стабильность для ${ Displaystyle H_ {inv} (г)}$ подразумевают, что это полюса - корни А(z) - должно быть внутри единичный круг. Эти два ограничения подразумевают, что и нули, и полюсы минимальной фазовой системы должны находиться строго внутри единичной окружности.

Частотный анализ в непрерывном времени

Анализ для случая непрерывного времени проводится аналогичным образом, за исключением того, что мы используем Преобразование Лапласа для частотного анализа. Уравнение временной области следующее.

{ Displaystyle (ч * ч_ {inv}) (т) = , ! дельта (т)}

куда ${ Displaystyle дельта (т)}$ это Дельта-функция Дирака. В Дельта-функция Дирака является тождественным оператором в случае непрерывного времени из-за свойства просеивания с любым сигналом Икс(т).

{ Displaystyle ( дельта * х) (т) = int _ {- infty} ^ { infty} дельта (т- тау) х ( тау) д тау = х (т)}

Применяя Преобразование Лапласа дает следующее соотношение в s-plane.

{ Displaystyle H (s) , H_ {inv} (s) = 1}

Из этого соотношения мы понимаем, что

{ Displaystyle H_ {inv} (s) = { frac {1} {H (s)}}}

Опять же, для простоты, мы рассматриваем только случай рациональный функция передачи ЧАС(s). Причинность и стабильность подразумевают, что все полюса из ЧАС(s) должен находиться строго внутри левой половины s-plane (Видеть стабильность ). Предполагать

{ Displaystyle H (s) = { гидроразрыва {A (s)} {D (s)}}}

куда А(s) и D(s) находятся многочлен в s. Причинно-следственная связь и стабильность подразумевают, что полюса - в корни из D(s) - должен находиться внутри левой половины s-plane. Мы также знаем, что

{ Displaystyle H_ {inv} (s) = { frac {D (s)} {A (s)}}}

Итак, причинность и стабильность для ${ displaystyle H_ {inv} (s)}$ подразумевают, что это полюса - корни А(s) - должен находиться строго внутри левой половины s-plane. Эти два ограничения подразумевают, что и нули, и полюса минимальной фазовой системы должны находиться строго внутри левой половины s-plane.

Отношение амплитуды отклика к фазовой характеристике

Система с минимальной фазой, будь то дискретная или непрерывная, имеет дополнительное полезное свойство - натуральный логарифм величины частотной характеристики («усиление», измеренное в неперс что пропорционально дБ ) связан с фазовым углом частотной характеристики (измеряется в радианы ) посредством Преобразование Гильберта. То есть, в случае непрерывного времени, пусть

{ Displaystyle H (J omega) { stackrel { mathrm {def}} {=}} H (s) { Big |} _ {s = j omega} }

быть сложной частотной характеристикой системы ЧАС(s). Тогда только для минимально-фазовой системы фазовая характеристика ЧАС(s) связана с выигрышем соотношением

{ Displaystyle arg left [H (j omega) right] = - { mathcal {H}} lbrace log left (| H (j omega) | right) rbrace }

куда ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ обозначает преобразование Гильберта, и, наоборот,

{ displaystyle log left (| H (j omega) | right) = log left (| H (j infty) | right) + { mathcal {H}} lbrace arg left [H (j omega) right] rbrace }

.

Говоря более компактно, пусть

{ Displaystyle H (J omega) = | H (J omega) | e ^ {j arg left [H (j omega) right]} { stackrel { mathrm {def}} {= }} e ^ { alpha ( omega)} e ^ {j phi ( omega)} = e ^ { alpha ( omega) + j phi ( omega)} }

куда ${ Displaystyle альфа ( омега)}$ и ${ displaystyle phi ( omega)}$ являются действительными функциями действительной переменной. потом

{ displaystyle phi ( omega) = - { mathcal {H}} lbrace alpha ( omega) rbrace }

и

{ Displaystyle альфа ( omega) = альфа ( infty) + { mathcal {H}} lbrace phi ( omega) rbrace }

.

Оператор преобразования Гильберта определяется как

{ displaystyle { mathcal {H}} lbrace x (t) rbrace { stackrel { mathrm {def}} {=}} { widehat {x}} (t) = { frac {1 } { pi}} int _ {- infty} ^ { infty} { frac {x ( tau)} {t- tau}} , d tau }

.

Эквивалентное соответствующее соотношение справедливо и для систем с минимальной фазой с дискретным временем.

Минимальная фаза во временной области

Для всех причинный и стабильный системы, которые имеют одинаковые величина отклика, минимальная фазовая система имеет энергию, сосредоточенную около начала импульсивный ответ. то есть минимизирует следующую функцию, которую мы можем рассматривать как задержку энергии в импульсивный ответ.

{ Displaystyle сумма _ {п = м} ^ { infty} влево | час (п) вправо | ^ {2} , , , , , , , forall , м в mathbb {Z} ^ {+}}

Минимальная фаза как минимальная групповая задержка

Для всех причинный и стабильный системы, которые имеют одинаковые величина отклика, минимальная фазовая система имеет минимум групповая задержка. Следующее доказательство иллюстрирует эту идею минимума групповая задержка.

Предположим, мы рассматриваем один нуль ${ displaystyle a}$ из функция передачи ${ displaystyle H (z)}$ . Разместим это нуль ${ displaystyle a}$ внутри единичный круг ( ${ Displaystyle влево | а вправо | <1}$ ) и посмотрите, как групповая задержка подвергается воздействию.

{ displaystyle a = left | a right | e ^ {i theta _ {a}} , { mbox {where}} , theta _ {a} = { mbox {Arg}} (a )}

Поскольку нуль ${ displaystyle a}$ вносит свой вклад ${ displaystyle 1-az ^ {- 1}}$ к функция передачи, фаза, вносимая этим термином, следующая.

{ displaystyle phi _ {a} left ( omega right) = { mbox {Arg}} left (1-ae ^ {- я omega} right)}

{ displaystyle = { mbox {Arg}} left (1- left | a right | e ^ {i theta _ {a}} e ^ {- i omega} right)}

{ Displaystyle = { mbox {Arg}} left (1- left | a right | e ^ {- i ( omega - theta _ {a})} right)}

{ displaystyle = { mbox {Arg}} left ( left {1- left | a right | cos ( omega - theta _ {a}) right } + i left { left | a right | sin ( omega - theta _ {a}) right } right)}

{ displaystyle = { mbox {Arg}} left ( left { left | a right | ^ {- 1} - cos ( omega - theta _ {a}) right } + я left { sin ( omega - theta _ {a}) right } right)}

${ Displaystyle phi _ {а} ( omega)}$ вносит свой вклад в групповая задержка.

{ displaystyle - { frac {d phi _ {a} ( omega)} {d omega}} = { frac { sin ^ {2} ( omega - theta _ {a}) + cos ^ {2} ( omega - theta _ {a}) - left | a right | ^ {- 1} cos ( omega - theta _ {a})} { sin ^ {2} ( omega - theta _ {a}) + cos ^ {2} ( omega - theta _ {a}) + left | a right | ^ {- 2} -2 left | a right | ^ {- 1} cos ( omega - theta _ {a})}}}

{ displaystyle - { frac {d phi _ {a} ( omega)} {d omega}} = { frac { left | a right | - cos ( omega - theta _ {a })} { left | a right | + left | a right | ^ {- 1} -2 cos ( omega - theta _ {a})}}}

Знаменатель и ${ Displaystyle theta _ {а}}$ инвариантны к отражению нуль ${ displaystyle a}$ вне единичный круг, т. е. замена ${ displaystyle a}$ с ${ Displaystyle (а ^ {- 1}) ^ {*}}$ . Однако, отражая ${ displaystyle a}$ вне единичного круга мы увеличиваем величину ${ Displaystyle влево | а вправо |}$ в числителе. Таким образом, имея ${ displaystyle a}$ внутри единичный круг сводит к минимуму групповая задержка внесенный фактором ${ displaystyle 1-az ^ {- 1}}$ . Мы можем распространить этот результат на общий случай более чем одного нуль так как фаза мультипликативных множителей вида ${ displaystyle 1-a_ {i} z ^ {- 1}}$ аддитивный. Т.е., для функция передачи с ${ displaystyle N}$ нули,

{ displaystyle { mbox {Arg}} left ( prod _ {i = 1} ^ {N} left (1-a_ {i} z ^ {- 1} right) right) = sum _ {i = 1} ^ {N} { mbox {Arg}} left (1-a_ {i} z ^ {- 1} right)}

Итак, минимальная фазовая система со всеми нули внутри единичный круг сводит к минимуму групповая задержка так как групповая задержка каждого человека нуль сводится к минимуму.

Иллюстрация приведенного выше исчисления. Вверху и внизу показаны фильтры с одинаковой характеристикой усиления (слева: Диаграммы Найквиста справа: фазовые характеристики), но фильтр вверху с

{ displaystyle a = 0,8 <1}

имеет наименьшую амплитуду фазовой характеристики.

Неминимальная фаза

Причинные и стабильные системы, чьи обратные причины и нестабильны, известны как неминимальная фаза системы. Данная система с неминимальной фазой будет иметь больший вклад фазы, чем система с минимальной фазой с эквивалентной амплитудной характеристикой.

Максимальная фаза

А максимальная фаза система является противоположностью минимальной фазовой системы. Причинно-следственная и стабильная система LTI - это максимальная фаза система, если ее инверсия причинна и нестабильна.^{[сомнительный – обсуждать]} То есть,

Нули системы с дискретным временем находятся вне единичный круг.
Нули системы непрерывного времени находятся в правой части комплексная плоскость.

Такая система называется максимальная фазная система потому что он имеет максимум групповая задержка набора систем, которые имеют одинаковую величину отклика. В этом наборе систем с одинаковой амплитудой отклика система с максимальной фазой будет иметь максимальную задержку энергии.

Например, две системы LTI с непрерывным временем, описываемые передаточными функциями

{ displaystyle { frac {s + 10} {s + 5}} qquad { text {and}} qquad { frac {s-10} {s + 5}}}

иметь ответы эквивалентной величины; однако вторая система дает гораздо больший вклад в фазовый сдвиг. Следовательно, в этом наборе вторая система является системой с максимальной фазой, а первая система является системой с минимальной фазой. Эти системы также известны как системы с неминимальной фазой, которые вызывают много проблем со стабильностью управления. Одним из недавних решений этих систем является перемещение нулей RHP в LHP с помощью метода PFCD.^[3].

Смешанная фаза

А смешанная фаза система имеет некоторые из нули внутри единичный круг и есть другие за пределами единичный круг. Таким образом, его групповая задержка не является ни минимальным, ни максимальным, а находится где-то между групповая задержка системы минимального и максимального фазового эквивалента.

Например, система LTI с непрерывным временем, описываемая передаточной функцией

{ displaystyle { frac {(s + 1) (s-5) (s + 10)} {(s + 2) (s + 4) (s + 6)}}}

стабильно и причинно; однако у него есть нули как в левой, так и в правой частях комплексная плоскость. Следовательно, это смешанная фаза система. Для управления передаточными функциями, которые включают эти системы, некоторые методы, такие как внутренний модельный контроллер (IMC)^[4], обобщенный предсказатель Смита (GSP)^[5] и параллельное управление с прогнозированием с производной (PFCD)^[6] предлагаются.

Линейная фаза

А линейно-фазовый система имеет постоянный групповая задержка. Нетривиальные линейные или почти линейные фазовые системы также являются смешанными фазами.

Смотрите также

Всепроходный фильтр - Особый случай не с минимальной фазой.
Соотношение Крамерса – Кронига - Минимальная фазовая система в физике

дальнейшее чтение

Димитрис Г. Манолакис, Виней К. Ингл, Стивен М. Когон: Статистическая и адаптивная обработка сигналов, стр. 54–56, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040051-2
Боаз Порат: Курс цифровой обработки сигналов, стр. 261–263, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6

[1] Хассиби, Бабак; Кайлат, Томас; Сайед, Али Х. (2000). Линейная оценка. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall. п. 193. ISBN 0-13-022464-2.

[2] Дж. О. Смит III, Введение в цифровые фильтры с аудио приложениями (Выпуск от сентября 2007 г.).

[3] Нури, К. (2019). «Аналитическое статистическое исследование линейных параллельных компенсаторов прямой связи для неминимально-фазовых систем». Аналитическое статистическое исследование линейных параллельных компенсаторов прямой связи для неминимальных фазовых систем. Дои:10.1115 / DSCC2019-9126. ISBN 978-0-7918-5914-8.

[4] Морари, Манфред. (2002). Надежный контроль процесса. PTR Prentice Hall. ISBN 0137821530. OCLC 263718708.

[5] Раманатан, S .; Curl, R. L .; Краварис, К. (1989). «Динамика и управление квазирациональными системами». Журнал Айше. 35 (6): 1017–1028. Дои:10.1002 / aic.690350615. HDL:2027.42/37408. ISSN 1547-5905. S2CID 20116797.

[6] Нури, К. (2019). «Класс стабилизирующих параллельных компенсаторов прямой связи для неминимально-фазных систем». Класс стабилизирующих параллельных компенсаторов прямой связи для неминимальных фазовых систем. Дои:10.1115 / DSCC2019-9240. ISBN 978-0-7918-5914-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]