Формула Кубо - Kubo formula

Часть серии на
Квантовая механика
${ Displaystyle я HBAR { гидроразрыва { partial} { partial t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовый Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  (отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика

В Формула Кубо, названный в честь Рёго Кубо кто первым представил формулу в 1957 году,^[1][2] уравнение, которое выражает линейный отклик наблюдаемой величины из-за зависящей от времени возмущение.

Среди многочисленных приложений формулы Кубо можно вычислить зарядовую и спиновую восприимчивости систем электронов в ответ на приложенные электрические и магнитные поля. Также можно рассчитать реакцию на внешние механические силы и вибрации.

Общая формула Кубо

Рассмотрим квантовую систему, описываемую (не зависящим от времени) гамильтонианом ${ displaystyle H_ {0}}$. Ожидаемое значение физической величины, описываемое оператором ${ displaystyle { hat {A}}}$, можно оценить как:

${ displaystyle langle { hat {A}} rangle = {1 over Z_ {0}} operatorname {Tr} , [{ hat { rho _ {0}}} { hat {A} }] = {1 over Z_ {0}} sum _ {n} langle n | { hat {A}} | n rangle e ^ {- beta E_ {n}}}$

${ displaystyle { hat { rho _ {0}}} = e ^ {- beta { hat {H}} _ {0}} = sum _ {n} | n rangle langle n | e ^ {- beta E_ {n}}}$

куда ${ displaystyle Z_ {0} = operatorname {Tr} , [{ hat { rho}} _ {0}]}$ это функция распределения. Предположим, что чуть позже ${ displaystyle t = t_ {0}}$ к системе приложено внешнее возмущение. Возмущение описывается дополнительной временной зависимостью гамильтониана: ${ displaystyle { hat {H}} (t) = { hat {H}} _ {0} + { hat {V}} (t) theta (t-t_ {0}),}$ куда ${ Displaystyle тета (т)}$ это Функция Хевисайда (= 1 для положительных моментов времени, = 0 в противном случае) и ${ Displaystyle { шляпа {V}} (т)}$ эрмитов и определен для всех т, так что ${ displaystyle { hat {H}} (т)}$ имеет для положительного ${ displaystyle т-т_ {0}}$ снова полный набор действительных собственных значений ${ displaystyle E_ {n} (t).}$ Но эти собственные значения могут со временем измениться.

Однако снова можно найти временную эволюцию матрица плотности ${ Displaystyle { шляпа { rho}} (т)}$ rsp. статистической суммы ${ Displaystyle Z (t) = OperatorName {Tr} , [{ hat { rho}} (t)],}$ оценить математическое ожидание ${ displaystyle langle { hat {A}} rangle = operatorname {Tr} , [ rho (t) , { hat {A}}] / operatorname {Tr} , [{ hat { rho}} (t)].}$

Временная зависимость состояний ${ Displaystyle | п (т) rangle}$ регулируется Уравнение Шредингера ${ Displaystyle i partial _ {t} | N (T) rangle = { hat {H}} (t) | n (t) rangle,}$ что, таким образом, определяет все, что, конечно, соответствует Картина Шредингера. Но с тех пор ${ Displaystyle { шляпа {V}} (т)}$ следует рассматривать как небольшое возмущение, теперь вместо него удобно использовать картинка взаимодействия представление, ${ Displaystyle | { шляпа {п}} (т) rangle,}$ в низшем нетривиальном порядке. Временная зависимость в этом представлении дается выражением ${ displaystyle | n (t) rangle = e ^ {- i { hat {H}} _ {0} t} | { hat {n}} (t) rangle = e ^ {- i { шляпа {H}} _ {0} t} { hat {U}} (t, t_ {0}) | { hat {n}} (t_ {0}) rangle,}$ где по определению для всех t и ${ displaystyle t_ {0}}$ это: ${ displaystyle | { hat {n}} (t_ {0}) rangle = e ^ {i { hat {H}} _ {0} t_ {0}} | n (t_ {0}) rangle }$

В линейном порядке в ${ Displaystyle { шляпа {V}} (т)}$, у нас есть ${ displaystyle { hat {U}} (t, t_ {0}) = 1-я int _ {t_ {0}} ^ {t} dt '{ hat {V}} (t')}$. Таким образом получается математическое ожидание ${ displaystyle { hat {A}} (т)}$ с точностью до линейного порядка по возмущению.

${ displaystyle { begin {array} {rcl} langle { hat {A}} (t) rangle & = & langle { hat {A}} rangle _ {0} -i int _ { t_ {0}} ^ {t} dt '{1 over Z_ {0}} sum _ {n} e ^ {- beta E_ {n}} langle n (t_ {0}) | { hat {A}} (t) { hat {V}} (t ') - { hat {V}} (t') { hat {A}} (t) | n (t_ {0}) rangle & = & langle { hat {A}} rangle _ {0} -i int _ {t_ {0}} ^ {t} dt ' langle [{ hat {A}} (t) , { hat {V}} (t ')] rangle _ {0} end {array}}}$

Скобки ${ displaystyle langle rangle _ {0}}$ означают равновесное среднее по гамильтониану ${ displaystyle H_ {0}.}$ Следовательно, хотя результат первого порядка по возмущению, он включает только собственные функции нулевого порядка, что обычно имеет место в теории возмущений, и устраняет все сложности, которые в противном случае могли бы возникнуть для ${ displaystyle t> t_ {0}}$.

Вышеприведенное выражение справедливо для любых операторов. (смотрите также Второе квантование )^[3]

Смотрите также

• Отношения Грина – Кубо

Рекомендации