Квантовая геометрия - Quantum geometry

Часть серии на
Квантовая механика
${ Displaystyle я HBAR { гидроразрыва { partial} { partial t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Уравнение Шредингера
Введение Глоссарий История Учебники
Задний план Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи
Эффекты Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  (отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родился Bose де Бройль Candlin Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика

В теоретическая физика, квантовая геометрия набор математических понятий, обобщающих понятия геометрия понимание которых необходимо для описания физических явлений на масштабах расстояний, сравнимых с Планковская длина. На этих расстояниях квантовая механика оказывает глубокое влияние на физические явления.

Квантовая гравитация

Каждая теория квантовая гравитация использует термин «квантовая геометрия» несколько иначе. Теория струн, ведущий кандидат в квантовую теорию гравитации, использует термин квантовая геометрия для описания экзотических явлений, таких как Т-дуальность и другие геометрические двойственности, зеркальная симметрия, топология -смена переходов^{[требуется разъяснение ]}, минимально возможный масштаб расстояния и другие эффекты, бросающие вызов интуиции. С технической точки зрения квантовая геометрия относится к форме пространственно-временное многообразие как испытал D-браны который включает квантовые поправки к метрический тензор, например, мировой лист инстантоны. Например, квантовый объем цикла вычисляется из массы брана завернутый в этот цикл. В качестве другого примера, расстояние между двумя квантово-механическими частицами можно выразить через Метрика Лукашика – Кармовского.^[1]

В альтернативном подходе к квантовой гравитации под названием петля квантовой гравитации (LQG) фраза «квантовая геометрия» обычно относится к формализм в LQG, где наблюдаемые, которые захватывают информацию о геометрии, теперь являются четко определенными операторами на Гильбертово пространство. В частности, некоторые физические наблюдаемые, например площадь, имеют дискретный спектр. Также было показано, что петлевая квантовая геометрия некоммутативный.^[2]

Возможно (но считается маловероятным), что это строго квантованное понимание геометрии будет согласовываться с квантовой картиной геометрии, вытекающей из теории струн.

Другой, довольно успешный подход, который пытается восстановить геометрию пространства-времени из «первых принципов», - это Дискретная лоренцевская квантовая гравитация.

Квантовые состояния как дифференциальные формы

Дифференциальные формы используются для выражения квантовые состояния, с использованием клин:^[3]

${ Displaystyle | psi rangle = int psi ( mathbf {x}, t) , | mathbf {x}, t rangle , mathrm {d} ^ {3} mathbf {x} }$

где вектор положения является

${ displaystyle mathbf {x} = (x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3})}$

дифференциал элемент объема является

${ displaystyle mathrm {d} ^ {3} mathbf {x} = mathrm {d} x ^ {1} ! wedge mathrm {d} x ^ {2} ! wedge mathrm {d } x ^ {3}}$

и Икс¹, Икс², Икс³ - произвольный набор координат, верхние индексы указать контравариантность, нижние индексы указывают ковариация, поэтому явно квантовое состояние в дифференциальной форме:

${ displaystyle | psi rangle = int psi (x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}, t) , | x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}, t rangle , mathrm {d} x ^ {1} ! Wedge mathrm {d} x ^ {2} ! Wedge mathrm {d} x ^ {3}}$

Интеграл перекрытия определяется как:

${ displaystyle langle chi | psi rangle = int chi ^ {*} psi ~ mathrm {d} ^ {3} mathbf {x}}$

в дифференциальной форме это

${ displaystyle langle chi | psi rangle = int chi ^ {*} psi ~ mathrm {d} x ^ {1} ! wedge mathrm {d} x ^ {2} ! клин mathrm {d} x ^ {3}}$

Вероятность найти частицу в некоторой области космоса р дается интегралом по этой области:

${ Displaystyle langle psi | psi rangle = int _ {R} psi ^ {*} psi ~ mathrm {d} x ^ {1} ! wedge mathrm {d} x ^ { 2} ! Клин mathrm {d} x ^ {3}}$

при условии, что волновая функция нормализованный. Когда р это все трехмерное позиционное пространство, интеграл должен быть 1 если частица существует.

Дифференциальные формы - это подход к описанию геометрии кривые и поверхности координатно-независимым способом. В квантовая механика, идеализированные ситуации возникают в прямоугольных Декартовы координаты, такой как потенциальная яма, частица в коробке, квантовый гармонический осциллятор, и более реалистичные приближения в сферические полярные координаты такие как электроны в атомы и молекулы. Для общности полезен формализм, который можно использовать в любой системе координат.

Смотрите также

• Некоммутативная геометрия

использованная литература

дальнейшее чтение

• Суперсимметрия, Demystified, P. Labelle, McGraw-Hill (США), 2010, ISBN  978-0-07-163641-4
• Квантовая механика, Э. Аберс, изд. Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc., 2004 г., ISBN  9780131461000
• Демистификация квантовой механики, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006 г., ISBN  0-07-145546 9
• Квантовая теория поля, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2008 г., ISBN  978-0-07-154382-8

внешние ссылки

• Пространство и время: от древности до Эйнштейна и не только
• Квантовая геометрия и ее приложения
• Гиперкомплексные числа в геометрии и физике