Теорема о запрете клонирования - No-cloning theorem

Часть серии на
Квантовая механика
${ Displaystyle я HBAR { гидроразрыва { partial} { partial t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовый Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  (отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика

В физика, то теорема о запрете клонирования заявляет, что невозможно создать независимую и идентичную копию произвольного неизвестного квантовое состояние, заявление, которое имеет глубокие последствия в области квантовые вычисления среди прочего. Теорема представляет собой развитие 1970-х годов. запретная теорема Автор Джеймс Парк^[1], в которой он демонстрирует, что схема измерения без помех, которая является одновременно простой и совершенной, не может существовать (такой же результат был бы независимо получен в 1982 г. Wootters и Журек^[2] а также Dieks^[3] В том же году). Приведенные выше теоремы не исключают, что состояние одной системы становится запутанный с состоянием другого, поскольку клонирование конкретно относится к созданию отделимое состояние с идентичными факторами. Например, можно использовать управляемые ворота НЕ и Ворота Уолша-Адамара запутать два кубиты без нарушения теоремы о запрете клонирования, поскольку никакое четко определенное состояние не может быть определено в терминах подсистемы запутанного состояния. Теорема о запрете клонирования (в общем понимании) касается только чистые состояния тогда как обобщенное утверждение относительно смешанные состояния известен как теорема о запрете трансляции.

Теорема о запрете клонирования имеет обращенное во времени двойной, то теорема о запрете удаления. Вместе они лежат в основе интерпретации квантовой механики с точки зрения теория категорий, и, в частности, как кинжал компактная категория.^[4][5] Эта формулировка, известная как категориальная квантовая механика, позволяет, в свою очередь, установить связь между квантовой механикой и линейная логика как логика квантовая теория информации (в том же смысле, что интуиционистская логика возникает из Декартовы закрытые категории ).

История

В соответствии с Ашер Перес^[6] и Дэвид Кайзер,^[7] публикация доказательства теоремы о запрете клонирования 1982 г.Wootters и Журек^[2] и по Dieks^[3] был вызван предложением Ник Герберт^[8] для сверхсветовая коммуникация устройство, использующее квантовая запутанность, и Джанкарло Гирарди^[9] доказал теорему за 18 месяцев до опубликованного доказательства Wootters и Zurek в своем отчете рефери по указанному предложению (о чем свидетельствует письмо от редактора^[9]). Тем не мение, Ортигосо^[10] отметил в 2018 году, что полное доказательство наряду с интерпретацией с точки зрения отсутствия простых невозмущающих измерений в квантовой механике было предоставлено Паком в 1970 году.^[1]

Теорема и доказательство

Предположим, у нас есть две квантовые системы А и B с общим гильбертовым пространством ${ displaystyle H = H_ {A} = H_ {B}}$. Предположим, мы хотим иметь процедуру для копирования состояния ${ displaystyle | phi rangle _ {A}}$ квантовой системы А, по состоянию ${ displaystyle | е rangle _ {B}}$ квантовой системы B, для любого исходного состояния ${ displaystyle | phi rangle _ {A}}$ (видеть обозначение бюстгальтера ). То есть начиная с состояния ${ displaystyle | phi rangle _ {A} otimes | e rangle _ {B}}$, мы хотим получить состояние ${ displaystyle | phi rangle _ {A} otimes | phi rangle _ {A}}$. Сделать «копию» государства А, совмещаем с системой B в каком-то неизвестном начальном или пустом состоянии ${ displaystyle | е rangle _ {B}}$ независим от ${ displaystyle | phi rangle _ {A}}$, о которых мы не знаем.

Тогда состояние исходной составной системы описывается следующим тензорное произведение:

${ displaystyle | phi rangle _ {A} otimes | e rangle _ {B}.}$

(в дальнейшем мы будем опускать ${ displaystyle otimes}$ символ и оставьте его неявным).

Есть только два допустимых квантовые операции с помощью которого мы можем манипулировать составной системой:

• Мы можем провести наблюдение, что необратимо рушится система в некоторые собственное состояние из наблюдаемый, искажая информацию, содержащуюся в кубит (ы). Очевидно, это не то, что мы хотим.
• В качестве альтернативы мы могли бы контролировать Гамильтониан из комбинированный система, и, следовательно, оператор эволюции во времени U(т), например для гамильтониана, не зависящего от времени, ${ Displaystyle U (т) = е ^ {- iHt / hbar}}$. Развитие до определенного времени ${ displaystyle t_ {0}}$ дает унитарный оператор U на ${ displaystyle H otimes H}$, гильбертово пространство комбинированной системы. Однако такой унитарный оператор U можно клонировать все состояния.

Теорема: Нет унитарного оператора U на ${ displaystyle H otimes H}$ так что для всех нормализованных состояний ${ displaystyle | phi rangle _ {A}}$ и ${ displaystyle | е rangle _ {B}}$ в ${ displaystyle H}$

${ Displaystyle U (| phi rangle _ {A} | e rangle _ {B}) = e ^ {i alpha ( phi, e)} | phi rangle _ {A} | phi rangle _ {B}}$

для какого-то реального числа ${ displaystyle alpha}$ в зависимости от ${ displaystyle phi}$ и ${ displaystyle e}$.

Дополнительный фазовый фактор выражает тот факт, что квантово-механическое состояние определяет нормированный вектор в гильбертовом пространстве только с точностью до фазового фактора, то есть как элемент проективизированное гильбертово пространство.

Для доказательства теоремы выберем произвольную пару состояний ${ displaystyle | phi rangle _ {A}}$ и ${ displaystyle | psi rangle _ {A}}$ в гильбертовом пространстве ${ displaystyle H}$. Потому что U унитарен,

${ Displaystyle langle phi | psi rangle langle e | e rangle Equiv langle phi | _ {A} langle e | _ {B} | psi rangle _ {A} | e rangle _ {B} = langle phi | _ {A} langle e | _ {B} U ^ { dagger} U | psi rangle _ {A} | e rangle _ {B} = e ^ {-i ( alpha ( phi, e) - alpha ( psi, e))} langle phi | _ {A} langle phi | _ {B} | psi rangle _ {A} | psi rangle _ {B} Equiv e ^ {- i ( alpha ( phi, e) - alpha ( psi, e))} langle phi | psi rangle ^ {2}. }$

Поскольку квантовое состояние ${ Displaystyle | е rangle}$ считается нормированным, получаем

${ displaystyle | langle phi | psi rangle | ^ {2} = | langle phi | psi rangle |.}$

Это означает, что либо ${ Displaystyle | langle phi | psi rangle | = 1}$ или же ${ Displaystyle | langle phi | psi rangle | = 0}$. Следовательно Неравенство Коши – Шварца либо ${ Displaystyle phi = е ^ {я бета} psi}$ или же ${ displaystyle phi}$ является ортогональный к ${ displaystyle psi}$. Однако этого не может быть для двух произвольный состояния. Следовательно, единый универсальный U не может клонировать Общее квантовое состояние. Это доказывает теорему о запрете клонирования.

Взять кубит Например. Его можно представить двумя сложные числа, называется амплитуды вероятности (нормализовано до 1 ), то есть три действительных числа (два полярных угла и один радиус). Копирование трех чисел на классический компьютер с помощью любого скопировать и вставить операция тривиальна (с точностью до конечной точности), но проблема проявляется, если кубит унитарно преобразован (например, Квантовые ворота Адамара ) быть поляризованными (что унитарное преобразование это сюръективная изометрия ). В таком случае кубит может быть представлен всего двумя действительными числами (одним полярным углом и одним радиусом, равным 1), а значение третьего может быть произвольным в таком представлении. Тем не менее реализация кубита (например, фотона с поляризационным кодированием) может хранить всю информационную поддержку кубита в своей «структуре». Таким образом, нет единой универсальной унитарной эволюции U может клонировать произвольное квантовое состояние согласно теореме о запрете клонирования. Это должно было бы зависеть от преобразованного (начального) состояния кубита и, следовательно, не было бы универсальный.

Обобщение

В формулировке теоремы были сделаны два предположения: копируемое состояние - это чистое состояние и предлагаемый копировальный аппарат действует через единичную временную эволюцию. Эти предположения не теряют общности. Если копируемое состояние смешанное состояние, может быть очищенный.^{[требуется разъяснение ]} В качестве альтернативы можно привести другое доказательство, работающее непосредственно со смешанными состояниями; в этом случае теорему часто называют теорема о запрете трансляции^[11][12]. Аналогично произвольный квантовая операция может быть реализован путем введения Ancilla и выполнение подходящей унитарной эволюции.^{[требуется разъяснение ]} Таким образом, теорема о запрете клонирования верна во всей общности.

Последствия

• Теорема о запрете клонирования запрещает использование некоторых классических исправление ошибки методы квантовых состояний. Например, резервные копии состояния в середине квантовые вычисления не могут быть созданы и использованы для исправления последующих ошибок. Исправление ошибок жизненно важно для практических квантовых вычислений, и какое-то время было неясно, возможно ли это. В 1995 г. Шор и Steane показал, что это путем самостоятельной разработки первого квантовая коррекция ошибок коды, которые обходят теорему о запрете клонирования.
• Точно так же клонирование нарушит теорема о запрете телепортации, в котором говорится, что невозможно преобразовать квантовое состояние в последовательность классических битов (даже бесконечную последовательность битов), скопировать эти биты в какое-то новое место и воссоздать копию исходного квантового состояния в новом месте. Это не следует путать с телепортация с помощью запутывания, что позволяет разрушить квантовое состояние в одном месте и воссоздать точную копию в другом месте.
• Теорема о запрете клонирования следует из теорема о запрете общения, который утверждает, что квантовая запутанность не может использоваться для передачи классической информации (сверхсветовой или медленной). То есть клонирование вместе с запутыванием позволило бы такой коммуникации происходить. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим Мысленный эксперимент EPR, и предположим, что квантовые состояния можно клонировать. Предположим, что части максимально запутанный Состояние колокола распространяются Алисе и Бобу. Алиса может посылать биты Бобу следующим образом: если Алиса желает передать «0», она измеряет спин своего электрона в z направление, сворачивая состояние Боба в ${ displaystyle | z + rangle _ {B}}$ или же ${ displaystyle | z- rangle _ {B}}$. Чтобы передать «1», Алиса ничего не делает со своим кубитом. Боб создает множество копий состояния своего электрона и измеряет спин каждой копии в z направление. Боб будет знать, что Алиса передала «0», если все его измерения дадут одинаковый результат; в противном случае его измерения будут иметь результаты ${ displaystyle | z + rangle _ {B}}$ или же ${ displaystyle | z- rangle _ {B}}$ с равной вероятностью. Это позволило бы Алисе и Бобу передавать друг другу классические биты (возможно, через космический разлучения, нарушение причинность ).
• Квантовые состояния нельзя полностью различить.^[13]
• Теорема о запрете клонирования препятствует интерпретации голографический принцип за черные дыры означает, что есть две копии информации, одна из которых горизонт событий а другой - в интерьере черной дыры. Это приводит к более радикальным интерпретациям, таким как комплементарность черной дыры.
• Теорема о запрете клонирования применима ко всем кинжал компактные категории: не существует универсального морфизма клонирования для любой нетривиальной категории такого типа.^[14] Хотя эта теорема заложена в определение этой категории, нетривиально увидеть, что это так; понимание важно, поскольку эта категория включает вещи, которые не являются конечномерными гильбертовыми пространствами, в том числе категория множеств и отношений и категория кобордизмы.

Несовершенное клонирование

Несмотря на то, что невозможно создать идеальные копии неизвестного квантового состояния, можно создать несовершенные копии. Это можно сделать, подключив большую вспомогательную систему к системе, которую необходимо клонировать, и применив унитарное преобразование к комбинированной системе. Если унитарное преобразование выбрано правильно, несколько компонентов объединенной системы превратятся в приблизительные копии исходной системы. В 1996 г. В. Бузек и М. Хиллери показали, что универсальная машина для клонирования может создать клон неизвестного состояния с удивительно высокой точностью 5/6.^[15]

Несовершенный квантовое клонирование может использоваться как подслушивающая атака на квантовая криптография протоколы, среди прочего, в квантовой информатике.

Смотрите также

Рекомендации

Другие источники

• В. Бузек и М. Хиллери, Квантовое клонирование, Physics World 14 (11) (2001), стр. 25–29.