Очистка квантового состояния - Purification of quantum state

В квантовая механика, особенно квантовая информация, очищение относится к тому факту, что каждый смешанное состояние действующий на конечномерные гильбертовы пространства можно рассматривать как пониженное состояние какого-то чистого состояния.

С чисто линейной алгебраической точки зрения это можно рассматривать как утверждение о положительно-полуопределенные матрицы.

Заявление

Пусть ρ - матрица плотности действуя на Гильбертово пространство ${displaystyle H_ {A}}$ конечной размерности п. Тогда можно построить второе гильбертово пространство ${displaystyle H_ {B}}$ и чистое состояние ${displaystyle | psi угол в H_ {A} иногда H_ {B}}$ такое, что ρ - частичный след ${displaystyle | psi angle langle psi |}$ относительно ${displaystyle H_ {B}}$. В то время как исходное гильбертово пространство ${displaystyle H_ {A}}$ может соответствовать физически значимым величинам, второе гильбертово пространство ${displaystyle H_ {B}}$ не нужно вообще никакой физической интерпретации. Однако в физике процесс очистки состояния считается физическим, и поэтому второе гильбертово пространство ${displaystyle H_ {B}}$ также должны соответствовать физическому пространству, например окружающей среде. Точная форма ${displaystyle H_ {B}}$ в таких случаях будет зависеть от проблемы. Вот Доказательство принципа, показывая, что по крайней мере ${displaystyle H_ {B}}$ должен иметь размеры больше или равные ${displaystyle H_ {A}}$.

Имея в виду эти утверждения, если,

${displaystyle operatorname {tr_ {B}} left (| угол psi langle psi | свет) = ho,}$

мы говорим, что ${displaystyle | psi angle}$ очищает ${displaystyle ho}$.

Доказательство

Матрица плотности по определению положительно полуопределенная. Таким образом, ρ может быть диагонализованный и написано как ${displaystyle ho = sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} | iangle langle i |}$ для некоторых основа ${displaystyle {| iangle}}$. Позволять ${displaystyle H_ {B}}$ быть еще одной копией п-мерное гильбертово пространство с ортонормированный базис ${displaystyle {| i'angle}}$. Определять ${displaystyle | psi угол в H_ {A} иногда H_ {B}}$ к

${displaystyle | psi angle = sum _ {i} {sqrt {p_ {i}}} | iangle otimes | i'angle.}$

Прямой расчет дает

${displaystyle {egin {align} operatorname {tr_ {B}} left (| psi angle langle psi | ight) & = operatorname {tr_ {B}} left [left (sum _ {i} {sqrt {p_ {i}}} } | iangle otimes | i'angle ight) left (sum _ {j} {sqrt {p_ {j}}} langle j | otimes langle j '| ight) ight] & = operatorname {tr_ {B}} left ( sum _ {i, j} {sqrt {p_ {i} p_ {j}}} | iangle langle j | otimes | i'angle langle j '| ight) & = sum _ {i, j} delta _ {ij } {sqrt {p_ {i} p_ {j}}} | iangle langle j | & = sum _ {i} {sqrt {p_ {i}}} ^ {2} | iangle langle i | & = ho. конец {выровнен}}}$

Это доказывает утверждение.

Примечание

• Очищение не уникальное, но если при строительстве ${displaystyle | psi angle}$ в доказательстве выше ${displaystyle H_ {B}}$ генерируется только ${displaystyle {| i'angle}}$ для которого ${displaystyle p_ {i}}$ не равно нулю, любая другая очистка ${displaystyle | varphi angle}$ на ${displaystyle H_ {A} иногда H_ {C}}$ вызывает изометрия ${displaystyle V: H_ {B} o H_ {C}}$ такой, что ${displaystyle | varphi angle = (Iotimes V) | psi angle}$.
• Векторное чистое состояние ${displaystyle | psi angle}$ находится в форме, указанной Разложение Шмидта.
• С квадратный корень разложения положительно полуопределенной матрицы не единственны, как и очищения.
• В терминах линейной алгебры квадратная матрица положительно полуопределенная если и только если его можно очистить в указанном выше смысле. В если часть импликации следует непосредственно из того факта, что частичный след положительного отображения остается положительная карта.

Приложение: теорема Стайнспринга

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Июнь 2008 г.)

Объединив Теорема Чоя о вполне положительных отображениях и очистки смешанного состояния, мы можем восстановить Теорема Стайнспринга о расширении для конечномерного случая.