Кинжал компактной категории - Dagger compact category

В теория категорий, филиал математика, кинжал компактные категории (или же кинжал компактные закрытые категории) впервые появился в 1989 г. в работе Серджио Допличер и Джон Э. Робертс о реконструкции компактные топологические группы из их категории конечномерных непрерывных унитарных представлений (т. е. Категории таннакиана ).^[1] Они также появились в творчестве Джон Баэз и Джеймс Долан как пример полурайонного k-тупло моноидальный п-категории, которые описывают общие топологические квантовые теории поля,^[2] за п = 1 и k = 3. Они являются фундаментальной структурой в Самсон Абрамский и Боб Кук с категориальная квантовая механика.^[3]^[4]^[5]

Обзор

Компактные категории Dagger могут использоваться для выражения и проверки некоторых фундаментальных квантовая информация протоколы, а именно: телепортация, телепортация логических ворот и замена запутанности, а также стандартные понятия, такие как унитарность, внутренний продукт, трассировка, Двойственность Чоя-Ямиолковского, полная позитивность, Белл заявляет и многие другие понятия уловлены языком компактных категорий кинжала.^[3] Все это следует из приведенной ниже теоремы о полноте. Категориальная квантовая механика использует категории кинжала компактности как фоновую структуру, относительно которой могут быть абстрактно определены другие квантово-механические понятия, такие как квантовые наблюдаемые и их дополнительность. Это формирует основу для высокоуровневого подхода к квантовая информация обработка.

Формальное определение

А кинжал компактная категория это кинжал симметричная моноидальная категория ${displaystyle mathbf {C}}$ что также компактный закрытый, вместе с отношением, чтобы связать структуру кинжала с компактной структурой. В частности, кинжал используется для соединения юнита с фишкой, так что для всех ${displaystyle A}$ в ${displaystyle mathbf {C}}$ , следующая диаграмма коммутирует:

Подводя итог всем этим моментам:

Категория есть закрыто если у него есть внутренний функтор hom; то есть, если домашний набор морфизмов между двумя объектами категории является объектом самой категории (а не Набор).
Категория есть моноидальный если он снабжен ассоциативным бифунктор ${displaystyle mathbf {C} otimes mathbf {C} o mathbf {C}}$ что ассоциативно, естественный и имеет левую и правую идентичности, подчиняющиеся определенным условия согласованности.
Моноидальная категория - это симметричный моноидальный, если для каждой пары А, B объектов в C, существует изоморфизм ${displaystyle sigma _ {A, B}: Aotimes Bsimeq Botimes A}$ то есть естественный в обоих А и B, и, опять же, подчиняется определенным условиям когерентности (см. симметричная моноидальная категория подробнее).
Моноидальная категория - это компактный закрытый, если каждый объект ${displaystyle Ain mathbf {C}}$ имеет двойной объект ${displaystyle A ^ {*}}$ . Категории с двойственными объектами снабжены двумя морфизмами: единица измерения ${displaystyle eta _ {A}: I o A ^ {*} иногда A}$ и графство ${displaystyle varepsilon _ {A}: Aotimes A ^ {*} o I}$ , которые удовлетворяют определенной согласованности или условия рывка.
Категория - это категория кинжала если он оборудован инволютивный функтор ${displaystyle dagger двоеточие mathbf {C} ^ {op} ightarrow mathbf {C}}$ это тождество объектов, но сопоставляет морфизмы с ними.
Моноидальная категория - это кинжал симметричный если это категория кинжала, симметричная и имеющая условия когерентности, которые делают различные функторы естественными.

Тогда компактная категория кинжала является категорией, которая является каждой из вышеперечисленных, и, кроме того, имеет условие, чтобы связать структуру кинжала с компактной структурой. Это делается путем связывания юнита с графом через кинжал:

{displaystyle sigma _ {A, A ^ {*}} circ varepsilon _ {A} ^ {dagger} = eta _ {A}}

показано на схеме коммутации выше. В категории FdHilb для конечномерных гильбертовых пространств это последнее условие можно понимать как определение кинжала (эрмитово сопряженного) как транспонирования комплексно сопряженного.

Примеры

Следующие категории кинжалов компактны.

Категория FdHilb из конечномерные гильбертовы пространства и линейные карты. Морфизмы линейные операторы между гильбертовыми пространствами. Товар обычный тензорное произведение, а кинжал здесь Эрмитово сопряжение.
Категория Rel из Наборы и отношения. Продукт, конечно же, Декартово произведение. Кинжал здесь просто противоположный.
Категория конечно порожденный проективные модули через коммутативное кольцо. Кинжал здесь просто матрица транспонировать.
Категория nCob из кобордизмы. Здесь n-мерные кобордизмы - это морфизмы, несвязное объединение - это тензор, а разворот объектов (замкнутые многообразия) - это кинжал. А топологическая квантовая теория поля можно определить как функтор из nCob в FdHilb.^[6]
Категория Охватывать(C) из пролеты для любой категории C с конечные пределы.

Бесконечномерные гильбертовые пространства не являются кинжально-компактными и описываются кинжал симметричные моноидальные категории.

Структурные теоремы

Селинджер показал, что компактные категории кинжала допускают язык диаграмм в стиле Джоял-стрит.^[7] и доказал полноту кинжальных компактных категорий относительно конечномерных гильбертовых пространств^[8]^[9] т.е. Эквациональное утверждение на языке компактных категорий кинжала выполняется тогда и только тогда, когда оно может быть выведено в конкретной категории конечномерных гильбертовых пространств и линейных отображений. Нет аналогичной полноты для Rel или же nCob.

Этот результат о полноте означает, что различные теоремы из гильбертовых пространств распространяются на эту категорию. Например, теорема о запрете клонирования означает, что универсального морфизма клонирования не существует.^[10] Полнота также подразумевает гораздо более приземленные особенности: кинжал компактные категории могут иметь основу так же, как гильбертово пространство может иметь основу. Операторы можно разложить по базису; операторы могут иметь собственные векторы, и Т. Д.. Это рассматривается в следующем разделе.

Основа

Из теоремы полноты следует, что основные понятия из гильбертовых пространств переносятся на любую кинжал компактную категорию. Однако типичный используемый язык меняется. Понятие о основа дается в виде коалгебра. Учитывая объект А из категории компактных кинжалов основанием является комоноидный объект ${displaystyle (A, delta, varepsilon)}$ . Две операции представляют собой копирование или же коумножение δ: А → А ⊗ А морфизм, который является кокоммутативным и коассоциативным, и удаление операция или графство морфизм ε: А → я . Вместе они подчиняются пяти аксиомам:^[11]

Комультипликативность:

{displaystyle (1_ {A} otimes varepsilon) circ delta = 1_ {A} = (varepsilon otimes 1_ {A}) circ delta}

Коассоциативность:

{displaystyle (1_ {A} otimes delta) circ delta = (delta otimes 1_ {A}) circ delta}

Кокоммутативность:

{displaystyle sigma _ {A, A} круговая дельта = дельта}

Изометрия:

{displaystyle delta ^ {dagger} круговая дельта = 1_ {A}}

Закон Фробениуса:

{displaystyle (delta ^ {dagger} otimes 1_ {A}) circ (1_ {A} otimes delta) = дельта-круговая дельта ^ {dagger}}

Чтобы увидеть, что эти отношения определяют основу векторного пространства в традиционном смысле, запишите коумножение и счетчик, используя обозначение бюстгальтера, и понимая, что теперь это линейные операторы, действующие на векторы ${displaystyle | jangle}$ в гильбертовом пространстве ЧАС:

{displaystyle {egin {align} delta: H & o Hotimes H | jangle & mapsto | jangle otimes | jangle = | jjangle end {выравнивается}}}

и

{displaystyle {egin {align} varepsilon: H & o mathbb {C} | jangle & mapsto 1 end {align}}}

Единственные векторы ${displaystyle | jangle}$ которые могут удовлетворять указанным выше пяти аксиомам, должны быть ортогональны друг другу; тогда счетчик однозначно определяет основу. Наводящие на размышления имена копирование и удаление для операторов коумножения и счета исходят из идеи, что теорема о запрете клонирования и теорема о запрете удаления заявляют, что Только векторы, которые можно копировать или удалять, являются ортогональными базисными векторами.

Общие результаты

Учитывая приведенное выше определение базиса, можно сформулировать ряд результатов для гильбертовых пространств для компактных кинжальных категорий. Мы перечисляем некоторые из них ниже, взятые из^[11] если не указано иное.

Также можно понимать, что базис соответствует наблюдаемый, в том, что данные наблюдаемые факторы на (ортогональных) базисных векторах. То есть наблюдаемое представлено объектом А вместе с двумя морфизмами, определяющими базис: ${displaystyle (A, delta, varepsilon)}$ .
An собственное состояние наблюдаемых ${displaystyle (A, delta, varepsilon)}$ это любой объект ${displaystyle psi}$ для которого

{displaystyle delta circ psi = psi otimes psi}

Собственные состояния ортогональны друг другу.^{[требуется разъяснение ]}

Объект ${displaystyle psi}$ является дополнительный к наблюдаемому ${displaystyle (A, delta, varepsilon)}$ если^{[требуется разъяснение ]}

{displaystyle delta ^ {dagger} circ ({overline {psi}} otimes psi) = varepsilon ^ {dagger}}

(В квантовой механике вектор состояния

{displaystyle psi}

считается дополнительным к наблюдаемому, если любой результат измерения равновероятен. а именно собственное состояние спина S_Икс равновероятен при измерении в базисе S_z, или собственные состояния импульса равновероятны при измерении в базисе положения.)

Две наблюдаемые ${displaystyle (A, delta _ {X}, varepsilon _ {X})}$ и ${displaystyle (A, delta _ {Z}, varepsilon _ {Z})}$ являются дополнительными, если