Симметричная моноидальная категория кинжала - Википедия - Dagger symmetric monoidal category

В математической области теория категорий, а кинжал симметричная моноидальная категория это моноидальная категория ${ displaystyle langle mathbf {C}, otimes, I rangle}$ который также обладает структура кинжала. То есть эта категория оснащена не только тензорное произведение в теоретико-категорийный смысл, но и с структура кинжала, который используется для описания унитарные морфизмы и самосопряженные морфизмы в ${ displaystyle mathbf {C}}$: абстрактные аналоги найденных в FdHilb, то категория конечномерных гильбертовых пространств. Этот тип категория был представлен Питером Селинджером^[1] как промежуточная структура между категории кинжалов и кинжал компактные категории которые используются в категориальная квантовая механика, область, которая теперь также рассматривает кинжал-симметричные моноидальные категории при работе с бесконечномерными квантово-механический концепции.

Формальное определение

А кинжал симметричная моноидальная категория это симметричная моноидальная категория ${ displaystyle mathbf {C}}$ который также имеет структура кинжала такой, что для всех ${ displaystyle f: A rightarrow B}$, ${ displaystyle g: C rightarrow D}$ и все ${ displaystyle A, B, C}$ и ${ displaystyle D}$ в ${ Displaystyle Ob ( mathbf {C})}$,

• ${ displaystyle (f otimes g) ^ { dagger} = f ^ { dagger} otimes g ^ { dagger}: B otimes D rightarrow A otimes C}$;
• ${ displaystyle alpha _ {A, B, C} ^ { dagger} = alpha _ {A, B, C} ^ {- 1}: A otimes (B otimes C) rightarrow (A otimes Б) время В}$;
• ${ displaystyle rho _ {A} ^ { dagger} = rho _ {A} ^ {- 1}: A rightarrow A otimes I}$;
• ${ displaystyle lambda _ {A} ^ { dagger} = lambda _ {A} ^ {- 1}: A rightarrow I otimes A}$ и
• ${ displaystyle sigma _ {A, B} ^ { dagger} = sigma _ {A, B} ^ {- 1}: B otimes A rightarrow A otimes B}$.

Здесь, ${ displaystyle alpha, lambda, rho}$ и ${ displaystyle sigma}$ являются естественные изоморфизмы которые образуют симметричная моноидальная структура.

Примеры

Следующее категории примеры кинжальных симметричных моноидальных категорий:

• В категория Rel из наборы и отношения где тензор задается товар и где кинжал отношения дается его реляционным обращением.
• В категория FdHilb из конечномерные гильбертовые пространства кинжал-симметричная моноидальная категория, где тензор является обычным тензорное произведение гильбертовых пространств и где кинжал линейная карта дается его Эрмитово сопряженный.

Симметричная моноидальная категория кинжала, которая также компактный закрытый это кинжал компактная категория; оба приведенных выше примера действительно компактны.

Смотрите также

• Сильно ленточная категория

Рекомендации