Квантовая коррекция ошибок - Quantum error correction

Квантовая коррекция ошибок (QEC) используется в квантовые вычисления защищать квантовая информация от ошибок из-за декогеренция и другие квантовый шум. Квантовая коррекция ошибок необходима, если кто-то хочет добиться отказоустойчивых квантовых вычислений, которые могут иметь дело не только с шумом в хранимой квантовой информации, но также с неисправными квантовыми вентилями, ошибочной квантовой подготовкой и ошибочными измерениями.

Классический исправление ошибки нанимает избыточность. Самый простой способ - сохранить информацию несколько раз, и - если впоследствии выяснится, что эти копии не совпадают - просто проголосуйте большинством; например предположим, мы копируем бит трижды. Предположим далее, что зашумленная ошибка искажает трехбитовое состояние, так что один бит равен нулю, а два других равны единице. Если предположить, что зашумленные ошибки независимы и возникают с некоторой вероятностью п, скорее всего, это однобитовая ошибка, а переданное сообщение - три единицы. Возможно, возникнет двухбитовая ошибка и переданное сообщение будет равно трем нулям, но такой результат менее вероятен, чем результат выше.

Копирование квантовой информации невозможно из-за теорема о запрете клонирования. Эта теорема, кажется, представляет собой препятствие для формулирования теории квантовой коррекции ошибок. Но возможно распространять информация одного кубит на сильно запутанное состояние нескольких (физический) кубиты. Петр Шор впервые открыл этот метод формулирования квантовый код коррекции ошибок сохраняя информацию об одном кубите в сильно запутанном состоянии из девяти кубитов. Код квантовой коррекции ошибок защищает квантовую информацию от ошибок ограниченной формы.

Классические коды исправления ошибок используют измерение синдрома для диагностики того, какая ошибка искажает закодированное состояние. Затем мы исправляем ошибку, применяя корректирующую операцию на основе синдрома. Квантовая коррекция ошибок также использует синдромные измерения. Мы выполняем многокубитное измерение, которое не нарушает квантовую информацию в закодированном состоянии, но извлекает информацию об ошибке. Измерение синдрома может определить, был ли поврежден кубит, и если да, то какой. Более того, результат этой операции ( синдром) сообщает нам не только о том, какой физический кубит был затронут, но и о том, каким из нескольких возможных способов он был затронут. Последнее на первый взгляд противоречит интуиции: поскольку шум произвольный, как может влияние шума быть одной из немногих различных возможностей? В большинстве кодов эффект либо переворот битов, либо знак ( фаза ) перевернуть, или оба (соответствующие Матрицы Паули Икс, Z, и Y). Причина в том, что измерение синдрома имеет проективный эффект квантовое измерение. Таким образом, даже если ошибка из-за шума была произвольной, ее можно выразить как суперпозиция из основа операции - основание ошибки (который здесь задается матрицами Паули и личность ). Измерение синдрома «вынуждает» кубит «решить», что определенная «ошибка Паули» «произошла», и синдром сообщает нам, какая именно, так что мы можем позволить тому же оператору Паули снова воздействовать на испорченный кубит для восстановления эффект ошибки.

Измерение синдрома сообщает нам как можно больше о произошедшей ошибке, но ничего вообще о ценить который хранится в логическом кубите, иначе измерение уничтожит все квантовая суперпозиция этого логического кубита с другими кубитами в квантовый компьютер.

Битовый флип-код

В код повторения работает в классическом канале, потому что классические биты легко измерить и повторить. Это перестает иметь место для квантового канала, в котором из-за теорема о запрете клонирования, больше невозможно повторить один кубит три раза. Чтобы преодолеть это, другой метод, например так называемый трехкубитовый битовый флип-код, необходимо использовать. Этот метод использует запутанность и измерения синдрома и сопоставимы по производительности с кодом повторения.

Квантовая схема битового флип-кода

Рассмотрим ситуацию, в которой мы хотим передать состояние отдельного кубита ${ displaystyle vert psi rangle}$ через шумный канал ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ . Более того, предположим, что этот канал либо переворачивает состояние кубита, с вероятностью ${ displaystyle p}$ , или оставляет его без изменений. Действие ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ на общем входе ${ displaystyle rho}$ поэтому можно записать как ${ Displaystyle { mathcal {E}} ( rho) = (1-p) rho + p X rho X}$ .

Позволять ${ displaystyle | psi rangle = alpha _ {0} | 0 rangle + alpha _ {1} | 1 rangle}$ быть передаваемым квантовым состоянием. При отсутствии протокола исправления ошибок переданное состояние с вероятностью будет правильно передано. ${ displaystyle 1-p}$ . Однако мы можем улучшить это число, кодирование состояние в большее количество кубитов таким образом, чтобы ошибки в соответствующих логические кубиты можно обнаружить и исправить. В случае простого трехкубитового кода повторения кодирование состоит в отображениях ${ displaystyle vert 0 rangle rightarrow vert 0_ {L} rangle Equiv vert 000 rangle}$ и ${ displaystyle vert 1 rangle rightarrow vert 1_ {L} rangle Equiv vert 111 rangle}$ . Состояние входа ${ displaystyle vert psi rangle}$ закодировано в состояние ${ displaystyle vert psi ' rangle = alpha _ {0} vert 000 rangle + alpha _ {1} vert 111 rangle}$ . Это отображение может быть реализовано, например, с использованием двух вентилей CNOT, запутывающих систему с двумя вспомогательными кубитами, инициализированными в состоянии ${ displaystyle vert 0 rangle}$ .^[1] Закодированное состояние ${ displaystyle vert psi ' rangle}$ это то, что сейчас проходит через зашумленный канал.

Канал действует на ${ displaystyle vert psi ' rangle}$ перевернув некоторое подмножество (возможно, пустое) его кубитов. Ни один кубит не переворачивается с вероятностью ${ displaystyle (1-p) ^ {3}}$ , отдельный кубит переворачивается с вероятностью ${ displaystyle 3p (1-p) ^ {2}}$ , два кубита переворачиваются с вероятностью ${ displaystyle 3p ^ {2} (1-p)}$ , и все три кубита переворачиваются с вероятностью ${ displaystyle p ^ {3}}$ . Обратите внимание, что здесь сделано еще одно предположение о канале: мы предполагаем, что ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ действует одинаково и независимо на каждом из трех кубитов, в которых теперь закодировано состояние. Теперь проблема в том, как обнаруживать и исправлять такие ошибки. без одновременного нарушения передаваемого состояния.

Сравнение результатов минимум точность, с (красный) и без (синий) исправлением ошибок с помощью трехбитового флип-кода. Обратите внимание, как для

{ displaystyle p leq 1/2}

, схема исправления ошибок улучшает точность.

Предположим для простоты, что ${ displaystyle p}$ достаточно мала, чтобы пренебрежимо мала вероятность перевернуть более одного кубита. Затем можно определить, был ли кубит перевернут, без запроса передаваемых значений, задав вопрос, отличается ли один из кубитов от других. Это составляет выполнение измерения с четырьмя различными результатами, соответствующими четырем проективным измерениям:

{ displaystyle { begin {align} P_ {0} & = | 000 rangle langle 000 | + | 111 rangle langle 111 |, P_ {1} & = | 100 rangle langle 100 | + | 011 rangle langle 011 |, P_ {2} & = | 010 rangle langle 010 | + | 101 rangle langle 101 |, P_ {3} & = | 001 rangle langle 001 | + | 110 rangle langle 110 |. End {align}}}

Это может быть достигнуто, например, путем измерения

{ displaystyle Z_ {1} Z_ {2}}

а потом

{ displaystyle Z_ {2} Z_ {3}}

. Это показывает, какие кубиты отличаются от других, без предоставления информации о состоянии самих кубитов. Если результат, соответствующий

{ displaystyle P_ {0}}

не применяется, а если результат соответствует

{ displaystyle P_ {i}}

наблюдается, то вентиль Pauli X применяется к

{ displaystyle i}

-й кубит. Формально эта процедура исправления соответствует применению следующей карты к выходу канала:

{ displaystyle { mathcal {E}} _ { operatorname {corr}} ( rho) = P_ {0} rho P_ {0} + sum _ {i = 1} ^ {3} X_ {i} P_ {i} rho , P_ {i} X_ {i}.}

Обратите внимание, что, хотя эта процедура идеально корректирует вывод, когда канал вводит ноль или один переворот, если перевернуто более одного кубита, то вывод не корректируется должным образом. Например, если первый и второй кубиты перевернуты, то измерение синдрома даст результат

{ displaystyle P_ {3}}

, а третий кубит переворачивается вместо первых двух. Чтобы оценить эффективность этой схемы исправления ошибок для общего входа, мы можем изучить верность

{ Displaystyle F ( psi ')}

между входом

{ displaystyle vert psi ' rangle}

и выход

{ displaystyle rho _ { operatorname {out}} Equiv { mathcal {E}} _ { operatorname {corr}} ({ mathcal {E}} ( vert psi ' rangle langle psi ' vert))}

. Состояние выхода

{ displaystyle rho _ { operatorname {out}}}

правильно, если перевернуто не более одного кубита, что происходит с вероятностью

{ displaystyle (1-p) ^ {3} + 3p (1-p) ^ {2}}

, мы можем записать это как

{ Displaystyle [(1-p) ^ {3} + 3p (1-p) ^ {2}] , vert psi ' rangle langle psi' vert + (...)}

, где точками обозначены компоненты

{ displaystyle rho _ { operatorname {out}}}

возникшие в результате ошибок, не исправленных протоколом должным образом. Следует, что

{ Displaystyle F ( psi ') = langle psi' vert rho _ { operatorname {out}} vert psi ' rangle geq (1-p) ^ {3} + 3p (1- p) ^ {2} = 1-3p ^ {2} + 2p ^ {3}.}

Этот верность следует сравнивать с соответствующей точностью, полученной при отсутствии протокола исправления ошибок, которая, как было показано ранее, равна

{ displaystyle { sqrt {1-p}}}

. Затем небольшая алгебра показывает, что верность после исправление ошибок больше, чем без

{ displaystyle p <1/2}

. Обратите внимание, что это согласуется с рабочим предположением, которое было сделано при выводе протокола (

{ displaystyle p}

будучи достаточно маленьким).

Знак флип-код

Квантовая схема фазового флип-кода

Перевернутые биты - единственный вид ошибки в классическом компьютере, но есть еще одна возможность ошибки с квантовыми компьютерами - переворот знака. Через передачу в канале относительный знак между ${ displaystyle | 0 rangle}$ и ${ displaystyle | 1 rangle}$ может перевернуться. Например, кубит в состоянии ${ displaystyle | - rangle = (| 0 rangle - | 1 rangle) / { sqrt {2}}}$ может быть его знак перевернут на ${ displaystyle | + rangle = (| 0 rangle + | 1 rangle) / { sqrt {2}}.}$

Исходное состояние кубита

${ displaystyle | psi rangle = alpha _ {0} | + rangle + alpha _ {1} | - rangle}$

будет преобразован в состояние

${ displaystyle | psi ' rangle = alpha _ {0} | {+} {+} {+} rangle + alpha _ {1} | {-} {-} {-} rangle.}$

В основе Адамара переворачивание битов становится переключением знака, а изменение знака - переключением битов. Позволять ${ displaystyle E _ { text {phase}}}$ быть квантовым каналом, который может вызвать не более одного переворота фазы. Тогда битовый флип-код сверху может восстановить ${ displaystyle | psi rangle}$ путем преобразования в базис Адамара до и после передачи через ${ displaystyle E _ { text {phase}}}$ .

Кодекс Шора

Канал ошибки может вызвать переворот битов, смену знака (т. Е. Переворот фазы) или и то, и другое. Оба типа ошибок можно исправить с помощью одного кода, и код Шора делает именно это. Фактически, код Шора исправляет произвольные однокубитовые ошибки.

Квантовая схема кодекса Шора

Позволять ${ displaystyle E}$ быть квантовым каналом, который может произвольно повредить отдельный кубит. 1-й, 4-й и 7-й кубиты предназначены для переворота знака, а три группы кубитов (1,2,3), (4,5,6) и (7,8,9) предназначены для переворота битов. код. С кодом Шора состояние кубита ${ displaystyle | psi rangle = alpha _ {0} | 0 rangle + alpha _ {1} | 1 rangle}$ превратится в произведение 9 кубитов ${ displaystyle | psi ' rangle = alpha _ {0} | 0_ {S} rangle + alpha _ {1} | 1_ {S} rangle}$ , куда

{ displaystyle | 0_ {S} rangle = { frac {1} {2 { sqrt {2}}}} (| 000 rangle + | 111 rangle) otimes (| 000 rangle + | 111 rangle) otimes (| 000 rangle + | 111 rangle)}

{ displaystyle | 1_ {S} rangle = { frac {1} {2 { sqrt {2}}}} (| 000 rangle - | 111 rangle) otimes (| 000 rangle - | 111 rangle) otimes (| 000 rangle - | 111 rangle)}

Если с кубитом происходит ошибка переворота бита, синдромный анализ будет выполняться для каждого набора состояний (1,2,3), (4,5,6) и (7,8,9), а затем исправить ошибку. .

Если трехбитовая группа переключения (1,2,3), (4,5,6) и (7,8,9) рассматривается как три входа, тогда схема кода Шора может быть сокращена как код переключения знака. Это означает, что код Шора может также исправить ошибку переворота знака для одного кубита.^[2]

Код Шора также может исправлять любые произвольные ошибки (как изменение битов, так и изменение знака) в одном кубите. Если ошибка моделируется унитарным преобразованием U, которое будет действовать на кубит ${ displaystyle | psi rangle}$ , тогда ${ displaystyle U}$ можно описать в виде

{ displaystyle U = c_ {0} I + c_ {1} sigma _ {x} + c_ {2} sigma _ {y} + c_ {3} sigma _ {z}}

куда ${ displaystyle c_ {0}}$ , ${ displaystyle c_ {1}}$ , ${ displaystyle c_ {2}}$ , и ${ displaystyle c_ {3}}$ - комплексные константы, I - тождество, а Матрицы Паули даны

{ displaystyle sigma _ {x} = { biggl (} { begin {matrix} 0 & 1 1 & 0 end {matrix}} { biggr)};}

{ displaystyle sigma _ {y} = { biggl (} { begin {matrix} 0 & -i i & 0 end {matrix}} { biggr)};}

{ displaystyle sigma _ {z} = { biggl (} { begin {matrix} 1 & 0 0 & -1 end {matrix}} { biggr)}}

Если U равно I, то ошибки не возникает. Если ${ Displaystyle U = sigma _ {x}}$ возникает ошибка переворота битов. Если ${ Displaystyle U = sigma _ {z}}$ возникает ошибка переворота знака. Если ${ Displaystyle U = я sigma _ {y}}$ тогда возникает ошибка переворота битов и ошибка переворота знака. Из-за линейности следует, что код Шора может исправлять произвольные 1-кубитные ошибки.^{[требуется разъяснение ]}

Бозонные коды

Было сделано несколько предложений по хранению квантовой информации с исправлением ошибок в бозонных режимах. В отличие от двухуровневой системы, квантовый гармонический осциллятор имеет бесконечно много уровней энергии в одной физической системе. Коды для этих систем включают cat,^[3]^[4]^[5] Готтесман-Китаев-Прескилл (ГКП),^[6] и биномиальные коды.^[7]^[8] Эти коды позволяют использовать преимущества избыточности внутри одной системы, а не дублировать множество двухуровневых кубитов.

Написано в Фок базис, простейшее биномиальное кодирование

${ displaystyle | 0_ {L} rangle = { frac {| 0 rangle + | 4 rangle} { sqrt {2}}}, quad | 1_ {L} rangle = | 2 rangle,}$

где нижний индекс L указывает "логически закодированное" состояние. Тогда, если доминирующим механизмом ошибок системы является стохастическое применение бозонной оператор опускания ${ displaystyle { hat {a}},}$ соответствующие состояния ошибки ${ displaystyle | 3 rangle}$ и ${ displaystyle | 1 rangle,}$ соответственно. Поскольку кодовые слова содержат только четное число фотонов, а состояния ошибки включают только нечетное число фотонов, ошибки могут быть обнаружены путем измерения номер фотона паритетность системы.^[7]^[9] Измерение нечетной четности позволит выполнить корректировку путем применения соответствующей унитарной операции без знания конкретного логического состояния кубита. Однако приведенный выше конкретный биномиальный код не устойчив к двухфотонным потерям.

Общие коды

В целом квантовый код для квантовый канал ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ подпространство ${ Displaystyle { mathcal {C}} substeq { mathcal {H}}}$ , куда ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ гильбертово пространство состояний, такое, что существует другой квантовый канал ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ с

${ Displaystyle ({ mathcal {R}} circ { mathcal {E}}) ( rho) = rho quad forall rho = P _ { mathcal {C}} rho P _ { mathcal { C}},}$

куда ${ Displaystyle P _ { mathcal {C}}}$ это ортогональная проекция на ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ . Здесь ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ известен как операция коррекции.

А невырожденный код - это ошибка, для которой различные элементы набора исправляемых ошибок дают линейно независимые результаты при применении к элементам кода. Если отдельные исправимые ошибки дают ортогональные результаты, код считается чистый.^[10]

Модели

Со временем исследователи придумали несколько кодов:

Петр Шор 9-кубитовый код, также известный как код Шора, кодирует 1 логический кубит в 9 физических кубитов и может исправлять произвольные ошибки в одном кубите.
Эндрю Стейн нашел код, который делает то же самое с 7 вместо 9 кубитов, см. Код Steane.
Раймонд Лафламм и соавторы нашли класс 5-кубитовых кодов, которые делают то же самое, которые также обладают свойством быть отказоустойчивой. Код из 5 кубитов - это минимально возможный код, который защищает отдельный логический кубит от ошибок, связанных с одним кубитом.
Обобщение этого^{[который? ]} концепция CSS коды, названные в честь своих изобретателей: А. Р. Кальдербанк, Петр Шор и Эндрю Стейн. Согласно квантовой границе Хэмминга, для кодирования одного логического кубита и обеспечения произвольной коррекции ошибок в одном кубите требуется минимум 5 физических кубитов.
Более общий класс кодов (включающий первые) - это коды стабилизатора обнаружен Даниэль Готтесман ([1] ), и по А. Р. Кальдербанк, Эрик Рейнс, Петр Шор, и Н. Дж. А. Слоан ([2], [3] ); их также называют аддитивные коды.
Двумерные коды Бэкона-Шора представляют собой семейство кодов, параметризованных целыми числами m и n. В квадратной решетке расположены нм кубиты.^[11]
Более новая идея Алексей Китаев с топологические квантовые коды и более общее представление о топологический квантовый компьютер.
Тодд Брун, Игорь Деветак, и Мин-Сю Се также построил формализм стабилизатора с помощью сцепления как расширение стандарта формализм стабилизатора который включает квантовая запутанность разделяется между отправителем и получателем.

То, что эти коды действительно допускают квантовые вычисления произвольной длины, является содержанием квантовая пороговая теорема, найдено Майкл Бен-Ор и Дорит Ааронов, который утверждает, что вы можете исправить все ошибки, если объедините квантовые коды, такие как коды CSS, т.е. перекодировать каждый логический кубит тем же кодом еще раз и так далее на логарифмически многих уровнях -при условии частота ошибок отдельных квантовые ворота ниже определенного порога; в противном случае попытки измерить синдром и исправить ошибки привнесут больше новых ошибок, чем они исправят.

По состоянию на конец 2004 г. оценки этого порога показывают, что он может достигать 1-3%,^[12] при условии, что есть достаточно много кубиты имеется в наличии.

Экспериментальная реализация

Было несколько экспериментальных реализаций кодов на основе CSS. Первая демонстрация была с кубитами ЯМР.^[13] Впоследствии были проведены демонстрации линейной оптики,^[14] захваченные ионы,^[15]^[16] и сверхпроводящие (трансмон ) кубиты.^[17]

В 2016 году впервые срок службы квантового бита был продлен за счет использования кода QEC.^[18] Демонстрация исправления ошибок была проведена на Шредингер-кот утверждает закодирован в сверхпроводящем резонаторе и использовался квантовый контроллер способен выполнять операции обратной связи в реальном времени, включая считывание квантовой информации, ее анализ и исправление обнаруженных ошибок. Работа продемонстрировала, как система с квантовыми ошибками достигает точки безубыточности, в которой время жизни логического кубита превышает время жизни основных составляющих системы (физических кубитов).

Также были реализованы другие коды с исправлением ошибок, например код, предназначенный для коррекции потери фотонов, основного источника ошибок в схемах фотонных кубитов.^[19]^[20]

Смотрите также

Библиография

Даниэль Лидар и Тодд Брун, изд. (2013). Квантовая коррекция ошибок. Издательство Кембриджского университета.

Фрэнк Гайтан (2008). Квантовая коррекция ошибок и отказоустойчивые квантовые вычисления. Тейлор и Фрэнсис.

Фридман, Майкл Х .; Мейер, Дэвид А .; Ло, Фэн: Z₂-Систолическая свобода и квантовые коды. Математика квантовых вычислений, 287–320, Ж. вычисл. Математика. Сер., Chapman & Hall / CRC, Бока-Ратон, Флорида, 2002.
Фридман, Майкл Х .; Мейер, Дэвид А. (1998). «Проективные плоские и планарные квантовые коды». Найденный. Comput. Математика. 2001 (3): 325–332. arXiv:Quant-ph / 9810055. Bibcode:1998quant.ph.10055F.
Лассен, Микаэль; Сабунку, Метин; Гек, Александр; Нисет, Жюльен; Leuchs, Герд; Серф, Николас Дж .; Андерсен, Ульрик Л. (2010). «Квантовая оптическая когерентность может выдержать потери фотонов, используя квантовый код с непрерывной переменной, корректирующий стирание». Природа Фотоника. 4 (1): 10. Bibcode:2010NaPho ... 4 ... 10Вт. Дои:10.1038 / nphoton.2009.243.

внешняя ссылка

Книл, Э. (2004). «Квантовые вычисления с очень шумными устройствами». Природа. 434: 39–44. arXiv:Quant-ph / 0410199. Bibcode:2005Натура.434 ... 39К. Дои:10.1038 / природа03350. PMID 15744292. S2CID 4420858.
Прорыв в области квантовых вычислений^{[постоянная мертвая ссылка ]}
«Топологическая квантовая коррекция ошибок». Квантовый свет. Университет Шеффилда. 28 сентября 2018 г. - через YouTube.

[1] Майкл А. Нильсен и Исаак Л. Чуанг (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация. Издательство Кембриджского университета.

[2] У. Шор, Питер (1995). «Схема уменьшения декогеренции в памяти квантового компьютера». Физический обзор A. 52 (4): R2493 – R2496. Bibcode:1995ПхРвА..52.2493С. Дои:10.1103 / PhysRevA.52.R2493. PMID 9912632.

[3] Cochrane, P.T .; Milburn, G.J .; Манро, В. Дж. (1999-04-01). «Макроскопически различные состояния квантовой суперпозиции как бозонный код для демпфирования амплитуды». Физический обзор A. 59 (4): 2631–2634. arXiv:Quant-ph / 9809037. Bibcode:1999ПхРвА..59.2631С. Дои:10.1103 / PhysRevA.59.2631. S2CID 119532538.

[4] Легтас, Заки; Кирхмайр, Герхард; Властакис, Брайан; Schoelkopf, Роберт Дж .; Devoret, Michel H .; Миррахими, Мазьяр (2013-09-20). «Аппаратно-эффективная автономная квантовая защита памяти». Письма с физическими проверками. 111 (12): 120501. arXiv:1207.0679. Bibcode:2013PhRvL.111l0501L. Дои:10.1103 / Physrevlett.111.120501. ISSN 0031-9007. PMID 24093235. S2CID 19929020.

[5] Миррахими, Мазьяр; Легтас, Заки; Альберт, Виктор V; Тоузар, Стивен; Schoelkopf, Роберт Дж; Цзян, Лян; Деворе, Мишель Х (2014-04-22). «Динамически защищенные кошачьи кубиты: новая парадигма универсальных квантовых вычислений». Новый журнал физики. 16 (4): 045014. arXiv:1312.2017. Bibcode:2014NJPh ... 16d5014M. Дои:10.1088/1367-2630/16/4/045014. ISSN 1367-2630. S2CID 7179816.

[6] Дэниел Готтесман, Алексей Китаев, Джон Прескилл (2001). «Кодирование кубита в осцилляторе». Физический обзор A. 64 (1): 012310. arXiv:Quant-ph / 0008040. Bibcode:2001PhRvA..64a2310G. Дои:10.1103 / PhysRevA.64.012310. S2CID 18995200.CS1 maint: использует параметр авторов (связь)

[:0-7] а ^б Майкл, Мариос Х .; Сильвери, Матти; Brierley, R.T .; Альберт, Виктор V .; Салмилехто, Юха; Цзян, Лян; Гирвин, С. М. (14.07.2016). «Новый класс квантовых кодов исправления ошибок для бозонной моды». Физический обзор X. 6 (3): 031006. arXiv:1602.00008. Bibcode:2016PhRvX ... 6c1006M. Дои:10.1103 / PhysRevX.6.031006. S2CID 29518512.

[8] Виктор В. Альберт; и другие. (2018). «Характеристики и структура одномодовых бозонных кодов». Физический обзор A. 97 (3): 032346. arXiv:1708.05010. Bibcode:2018PhRvA..97c2346A. Дои:10.1103 / PhysRevA.97.032346. S2CID 51691343.

[9] Вс, л .; Петренко, А .; Leghtas, Z .; Властакис, Б .; Kirchmair, G .; Слива, К. М .; Нарла, А .; Hatridge, M .; Шанкар, С .; Blumoff, J .; Фрунцио, Л. (июль 2014 г.). «Отслеживание скачков фотонов с помощью многократных квантовых измерений четности без разрушения». Природа. 511 (7510): 444–448. arXiv:1311.2534. Дои:10.1038 / природа13436. ISSN 1476-4687. PMID 25043007. S2CID 987945.

[10] Calderbank, A. R .; Rains, E.M .; Шор, П. У .; Слоан, Н. Дж. А. (1998). «Квантовая коррекция ошибок с помощью кодов над GF (4)». IEEE Transactions по теории информации. 44 (4): 1369–1387. arXiv:Quant-ph / 9608006. Дои:10.1109/18.681315. S2CID 1215697.

[11] Бэкон, Дэйв (30.01.2006). «Операторные квантовые подсистемы коррекции ошибок для самокорректирующейся квантовой памяти». Физический обзор A. 73 (1): 012340. arXiv:Quant-ph / 0506023. Bibcode:2006PhRvA..73a2340B. Дои:10.1103 / PhysRevA.73.012340. S2CID 118968017.

[Knill04-12] Книл, Эмануэль (2 ноября 2004 г.). «Квантовые вычисления с очень шумными устройствами». Природа. 434 (7029): 39–44. arXiv:Quant-ph / 0410199. Bibcode:2005Натура.434 ... 39К. Дои:10.1038 / природа03350. PMID 15744292. S2CID 4420858.

[13] Кори, Д.Г .; Прайс, М.Д .; Maas, W .; Knill, E .; Laflamme, R .; Zurek, W. H .; Havel, T. F .; Сомару, С. С. (1998). «Экспериментальная квантовая коррекция ошибок». Phys. Rev. Lett. 81 (10): 2152–2155. arXiv:Quant-ph / 9802018. Дои:10.1103 / PhysRevLett.81.2152. S2CID 11662810.

[14] Питтман, Т.B .; Jacobs, B.C .; Фрэнсон, Дж. Д. (2005). «Демонстрация квантовой коррекции ошибок с помощью линейной оптики». Phys. Ред. А. 71 (5): 052332. arXiv:Quant-ph / 0502042. Bibcode:2005ПхРвА..71э2332П. Дои:10.1103 / PhysRevA.71.052332. S2CID 11679660.

[15] Chiaverini, J .; Leibfried, D .; Schaetz, T .; Barrett, M.D .; Blakestad, R. B .; Britton, J .; Itano, W. M .; Jost, J.D .; Knill, E .; Langer, C .; Озери, Р .; Вайнленд, Д. Дж. (2004). «Реализация квантовой коррекции ошибок». Природа. 432 (7017): 602–605. Bibcode:2004Натура.432..602C. Дои:10.1038 / природа03074. PMID 15577904. S2CID 167898.

[16] Schindler, P .; Barreiro, J. T .; Monz, T .; Nebendahl, V .; Nigg, D .; Chwalla, M .; Hennrich, M .; Блатт, Р. (2011). «Экспериментальная повторяющаяся квантовая коррекция ошибок». Наука. 332 (6033): 1059–1061. Bibcode:2011Научный ... 332.1059S. Дои:10.1126 / science.1203329. PMID 21617070. S2CID 32268350.

[17] Reed, M.D .; DiCarlo, L .; Nigg, S.E .; Вс, л .; Frunzio, L .; Гирвин, С. М .; Шелькопф, Р. Дж. (2012). «Реализация трехкубитной квантовой коррекции ошибок с помощью сверхпроводящих схем». Природа. 482 (7385): 382–385. arXiv:1109.4948. Bibcode:2012Натура.482..382R. Дои:10.1038 / природа10786. PMID 22297844. S2CID 2610639.

[18] Офек, Нисим; Петренко, Андрей; Heeres, Reinier; Рейнхольд, Филипп; Легтас, Заки; Властакис, Брайан; Лю, Ехан; Фрунцио, Луиджи; Гирвин, С. М .; Jiang, L .; Миррахими, Мазьяр (август 2016 г.). «Увеличение срока службы квантового бита с исправлением ошибок в сверхпроводящих схемах». Природа. 536 (7617): 441–445. Bibcode:2016Натура.536..441O. Дои:10.1038 / природа18949. ISSN 0028-0836. PMID 27437573. S2CID 594116.

[19] Лассен, М .; Sabuncu, M .; Гек, А .; Niset, J .; Leuchs, G .; Cerf, N.J .; Андерсен, У. Л. (2010). «Квантовая оптическая когерентность может выдержать потери фотонов, используя квантовый код с непрерывной переменной, корректирующий стирание». Природа Фотоника. 4 (10): 700. arXiv:1006.3941. Bibcode:2010НаФо ... 4..700л. Дои:10.1038 / nphoton.2010.168. S2CID 55090423.

[20] Го, Цихао; Чжао, Юань-Юань; Грассл, Маркус; Не, Синьфан; Сян, Го-Юн; Синь, Дао; Инь, Чжан-Ци; Цзэн, Бэй (22.01.2020). «Тестирование квантового кода исправления ошибок на различных платформах». arXiv:2001.07998 [Quant-ph ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]