Q-аналог - Q-analog

В математика, а q-аналог теоремы, тождества или выражения является обобщением, включающим новый параметр q который возвращает исходную теорему, тождество или выражение в предел так как q → 1. Обычно математиков интересуют q-аналоги, которые возникают естественно, а не в результате произвольного придумывания q-аналоги известных результатов. Раннее q-аналог подробно изучен базовый гипергеометрический ряд, который был введен в 19 веке.^[1]

q-аналоги наиболее часто изучаются в математических областях комбинаторика и специальные функции. В этих настройках лимит q → 1 часто бывает формальным, так как q часто имеет дискретное значение (например, может представлять основная сила ).q-аналоги находят применение в ряде областей, включая изучение фракталы и мультифрактальные меры, и выражения для энтропия хаотичного динамические системы. Связь с фракталами и динамическими системами является следствием того факта, что многие фрактальные паттерны обладают симметрией Фуксовы группы в общем (см. например Жемчуг Индры и Аполлонийская прокладка ) и модульная группа особенно. Соединение проходит через гиперболическая геометрия и эргодическая теория, где эллиптические интегралы и модульные формы играют заметную роль; то q-серии сами по себе тесно связаны с эллиптическими интегралами.

q-аналоги также появляются при изучении квантовые группы И в q-деформированный супералгебры. Связь здесь аналогичная, в большей части теория струн установлен на языке Римановы поверхности, что приводит к подключению к эллиптические кривые, которые, в свою очередь, относятся к q-серии.

"Классический" q-теория

Классический q-теория начинается с q-аналоги целых неотрицательных чисел.^[2] Равенство

${ displaystyle lim _ {q rightarrow 1} { frac {1-q ^ {n}} {1-q}} = n}$

предлагает определить q-аналог п, также известный как q-скобка или q-количество из п, быть

${ displaystyle [n] _ {q} = { frac {1-q ^ {n}} {1-q}} = 1 + q + q ^ {2} + ldots + q ^ {n-1} .}$

Сам по себе выбор именно этой q-аналог среди множества возможных вариантов немотивирован. Тем не менее, это естественно появляется в нескольких контекстах. Например, решив использовать [п]_q как q-аналог п, можно определить q-аналог факториал, известный как q-факториал, от

${ displaystyle { begin {align} { big [} n] _ {q}! & = [1] _ {q} cdot [2] _ {q} cdots [n-1] _ {q} cdot [n] _ {q} [6pt] & = { frac {1-q} {1-q}} cdot { frac {1-q ^ {2}} {1-q}} cdots { frac {1-q ^ {n-1}} {1-q}} cdot { frac {1-q ^ {n}} {1-q}} [6pt] & = 1 cdot (1 + q) cdots (1 + q + cdots + q ^ {n-2}) cdot (1 + q + cdots + q ^ {n-1}). end {выравнивается}}}$

Эта q-аналог естественно появляется в нескольких контекстах. Примечательно, что пока п! считает количество перестановки длины п, [п]_q! считает перестановки, отслеживая количество инверсии. То есть, если inv (ш) обозначает количество обращений перестановки ш и S_п обозначает множество перестановок длины п, у нас есть

${ displaystyle sum _ {w in S_ {n}} q ^ {{ text {inv}} (w)} = [n] _ {q} !.}$

В частности, можно восстановить обычный факториал, взяв предел как ${ displaystyle q rightarrow 1}$.

В q-factorial также имеет краткое определение в терминах q-Почхаммер символ, основной строительный блок всех q-теории:

${ displaystyle [n] _ {q}! = { frac {(q; q) _ {n}} {(1-q) ^ {n}}}.}$

От q-факториалы, можно перейти к определению q-биномиальные коэффициенты, также известные как коэффициенты Гаусса, полиномы Гаусса или Гауссовы биномиальные коэффициенты:

${ displaystyle { binom {n} {k}} _ {q} = { frac {[n] _ {q}!} {[nk] _ {q}! [k] _ {q}!}} .}$

В q-экспоненциальный определяется как:

${ displaystyle e_ {q} ^ {x} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {[n] _ {q}!}}.}$

q-тригонометрические функции, наряду с q-Преобразование Фурье было определено в этом контексте.

Комбинаторный q-аналоги

Коэффициенты Гаусса учитывают подпространства конечной векторное пространство. Позволять q быть количеством элементов в конечное поле. (Число q тогда сила простое число, q = п^е, поэтому используя букву q особенно уместно.) Тогда количество k-мерные подпространства п-мерное векторное пространство над q-элементное поле равно

${ displaystyle { binom {n} {k}} _ {q}.}$

Сдача q подход 1, получаем биномиальный коэффициент

${ displaystyle { binom {n} {k}},}$

или другими словами, количество k-элементные подмножества п-элементный набор.

Таким образом, можно рассматривать конечное векторное пространство как q-обобщение множества, а подпространства как q-обобщение подмножеств множества. Эта точка зрения оказалась плодотворной для поиска новых интересных теорем. Например, есть q-аналоги Теорема Спернера и Теория Рамсея.^{[нужна цитата ]}

Циклическое просеивание

Позволять q = (е^2πя/п)^d быть d-я степень примитива п-й корень из единства. Позволять C - циклическая группа порядка п генерируется элементом c. Позволять Икс быть набором k-элементные подмножества п-элементный набор {1, 2, ..., п}. Группа C имеет каноническое действие на Икс дается путем отправки c к циклическая перестановка (1, 2, ..., п). Тогда количество неподвижных точек c^d на Икс равно

${ displaystyle { binom {n} {k}} _ {q}.}$

q → 1

И наоборот, позволяя q варьироваться и видеть q-аналогов как деформаций, можно рассматривать комбинаторный случай q = 1 как предел q-аналоги как q → 1 (часто нельзя просто позволить q = 1 в формулах, отсюда и необходимость брать предел).

Это можно формализовать в поле с одним элементом, которая восстанавливает комбинаторику как линейную алгебру над полем с одним элементом: например, Группы Вейля просты алгебраические группы над полем с одним элементом.

Приложения в физических науках

q-аналоги часто встречаются в точных решениях многотельных задач.^{[нужна цитата ]} В таких случаях q → 1 предел обычно соответствует относительно простой динамике, например, без нелинейных взаимодействий, а q < 1 дает представление о сложном нелинейном режиме с обратной связью.

Примером из атомной физики является модель образования молекулярного конденсата из ультрахолодного фермионного атомарного газа во время развертки внешнего магнитного поля через резонанс Фешбаха.^[3] Этот процесс описывается моделью с q-деформированная версия алгебры операторов SU (2), решение которой описывается формулой q-деформированные экспоненциальные и биномиальные распределения.

Смотрите также

• Список q-аналоги
• Число Стирлинга
• Молодая картина

использованная литература

• Эндрюс, Г. Э., Аски, Р.А. & Рой, Р. (1999), Специальные функции, Cambridge University Press, Кембридж.
• Гаспер, Г. & Рахман, М. (2004), Базовая гипергеометрическая серия, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0521833574.
• Исмаил, М.Э. (2005), Классические и квантовые ортогональные многочлены от одной переменной, Издательство Кембриджского университета.
• Коэкоек, Р. & Сварттоу, Р.Ф. (1998), Схема Аски гипергеометрических ортогональных многочленов и ее q-аналог, 98-17, Делфтский технологический университет, факультет информационных технологий и систем, факультет технической математики и информатики.

внешние ссылки

• «Темное исчисление», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• q-аналог от MathWorld
• q-скобка от MathWorld
• q-факториал от MathWorld
• q-биномиальный коэффициент от MathWorld