Сверхплотное кодирование - Superdense coding

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья ведущий раздел не адекватно подвести итог ключевые моменты его содержания. Пожалуйста, подумайте о расширении интереса до предоставить доступный обзор обо всех важных аспектах статьи. (август 2013) Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (август 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Сверхплотное кодирование»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (август 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Когда отправитель и получатель совместно используют состояние Bell, два классических бита могут быть упакованы в один кубит. На схеме линии несут кубиты, а сдвоенные линии несут классические биты. Переменные b₁ и б₂ являются классическими логическими значениями, а нули в левой части представляют собой чистые квантовое состояние ${ displaystyle | 0 rangle}$. См. Раздел "Протокол "ниже для получения более подробной информации об этом изображении.

В квантовая теория информации, сверхплотное кодирование (или плотное кодирование) - это квантовая связь протокол для передачи двух классических битов информации (т.е. 00, 01, 10 или 11) от отправителя (часто называемого Алиса ) получателю (часто называемому Бобом), отправив только один кубит от Алисы к Бобу, в предположении, что Алиса и Боб предварительно разделяют запутанное состояние.^[1][2] Этот протокол был впервые предложен Беннетт и Wiesner в 1992 г. и экспериментально осуществлен в 1996 г. Маттлом, Вайнфуртером, Квиатом и Цайлингер с использованием запутанных пар фотонов.^[2] Выполнив одно из четырех квантовые ворота операций с (запутанным) кубитом, которым она владеет, Алиса может заранее организовать измерение, которое делает Боб. После получения кубита Алисы, работы с парой и измерения обоих, Боб получает два классических бита информации. Если Алиса и Боб еще не разделяют запутанность до начала протокола, то невозможно отправить два классических бита, используя 1 кубит, так как это нарушит Теорема Холево.

Сверхплотное кодирование - это основополагающий принцип безопасного квантового секретного кодирования. Необходимость наличия обоих кубитов для декодирования отправляемой информации устраняет риск перехвата сообщений злоумышленниками.^[3]

Это можно рассматривать как противоположность квантовая телепортация, в котором один кубит передается от Алисы к Бобу, передавая два классических бита, при условии, что Алиса и Боб имеют предварительно совместно используемую пару Bell.^[2]

Обзор

Предполагать Алиса хочет отправить Бобу два классических бита информации (00, 01, 10 или 11), используя кубиты (вместо классического биты ). Для этого запутанное состояние (например, состояние Белла) подготавливается с помощью схемы Белла или ворот Чарли, третьего лица. Затем Чарли отправляет один из этих кубитов (в состоянии Белла) Алисе, а другой - Бобу. Как только Алиса получает свой кубит в запутанном состоянии, она применяет определенный квантовый вентиль к своему кубиту в зависимости от того, какое двухбитовое сообщение (00, 01, 10 или 11) она хочет отправить Бобу. Затем ее запутанный кубит отправляется Бобу, который, применив соответствующий квантовый вентиль и выполнив измерение, может получить классическое двухбитовое сообщение. Обратите внимание, что Алисе не нужно сообщать Бобу, какой вентиль применять, чтобы получить правильные классические биты из его проективных измерений.

Протокол

Протокол можно разделить на пять этапов: подготовка, совместное использование, кодирование, отправка и декодирование.

Подготовка

Протокол начинается с подготовки запутанного состояния, которое позже распределяется между Алисой и Бобом. Предположим следующее Состояние колокола

${ displaystyle | Phi ^ {+} rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} (| 0 rangle _ {A} otimes | 0 rangle _ {B} + | 1 rangle _ {A} otimes | 1 rangle _ {B})}$

куда ${ displaystyle otimes}$ обозначает тензорное произведение, приготовлено. Примечание: мы можем опустить символ тензорного произведения ${ displaystyle otimes}$ и запишем состояние Белла как

${ displaystyle | Phi ^ {+} rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} (| 0_ {A} 0_ {B} rangle + | 1_ {A} 1_ {B} rangle)}$.

Обмен

После приготовления состояния Bell ${ displaystyle | Phi ^ {+} rangle}$, кубит обозначается индексом А отправляется Алисе, а кубит обозначается нижним индексом B отправляется Бобу (примечание: по этой причине эти состояния имеют индексы). В этот момент Алиса и Боб могут находиться в совершенно разных местах (которые могут быть очень далеко друг от друга).

Между подготовкой и разделением запутанного состояния может пройти длительный период времени. ${ displaystyle | Phi ^ {+} rangle}$ и остальные шаги процедуры.

Кодирование

Применяя квантовые ворота в свой кубит локально, Алиса может преобразовать запутанное состояние ${ displaystyle | Phi ^ {+} rangle}$ в любой из четырех Белл заявляет (включая, конечно, ${ displaystyle | Phi ^ {+} rangle}$). Обратите внимание, что этот процесс не может «разорвать» связь между двумя кубитами.

Давайте теперь опишем, какие операции Алисе необходимо выполнить над ее запутанным кубитом, в зависимости от того, какое классическое двухбитовое сообщение она хочет отправить Бобу. Позже мы увидим, почему выполняются именно эти операции. Есть четыре случая, которые соответствуют четырем возможным двухбитовым строкам, которые Алиса может захотеть отправить.

1. Если Алиса хочет послать Бобу классическую двухбитовую строку 00, она применяет тождественный квантовый вентиль, ${ Displaystyle mathbb {I} = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}}}$в свой кубит, так что он остается неизменным. Результирующее запутанное состояние тогда

${ displaystyle | Phi ^ {+} rangle: = | B_ {00} rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} (| 0_ {A} 0_ {B} rangle + | 1_ {A} 1_ {B} rangle)}$

Другими словами, запутанное состояние, разделяемое Алисой и Бобом, не изменилось, т.е. ${ displaystyle | Phi ^ {+} rangle}$. Обозначение ${ displaystyle | B_ {00} rangle}$ также используется, чтобы напомнить нам о том, что Алиса хочет отправить двухбитную строку 00.

2. Если Алиса хочет послать Бобу классическую двухбитовую строку 01, она применяет квант НЕТ (или же бит-флип) ворота, ${ displaystyle X = { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}}}$на ее кубит, так что результирующее запутанное квантовое состояние становится

${ displaystyle | Psi ^ {+} rangle: = | B_ {01} rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} (| 0_ {A} 1_ {B} rangle + | 1_ {A} 0_ {B} rangle)}$

3. Если Алиса хочет послать Бобу классическую двухбитовую строку 10, она применяет квант фазовый флип ворота ${ displaystyle Z = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {bmatrix}}}$ к ее кубиту, поэтому результирующее запутанное состояние становится

${ displaystyle | Phi ^ {-} rangle: = | B_ {10} rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} (| 0_ {A} 0_ {B} rangle - | 1_ {A} 1_ {B} rangle)}$

4. Если вместо этого Алиса хочет отправить Бобу классическую двухбитовую строку 11, она применяет квантовый вентиль. ${ Displaystyle Z * X}$ к ее кубиту, так что результирующее запутанное состояние становится

${ displaystyle | Psi ^ {-} rangle: = | B_ {11} rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} (| 0_ {A} 1_ {B} rangle - | 1_ {A} 0_ {B} rangle)}$

Матрицы ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Z}$ два из Матрицы Паули. Квантовые состояния ${ displaystyle | Phi ^ {+} rangle}$, ${ displaystyle | пси ^ {+} rangle}$, ${ displaystyle | Phi ^ {-} rangle}$ и ${ displaystyle | пси ^ {-} rangle}$ (или, соответственно, ${ displaystyle B_ {00}, B_ {01}, B_ {10}}$ и ${ displaystyle B_ {11}}$) являются Белл заявляет.

Отправка

После выполнения одной из операций, описанных выше, Алиса может отправить свой запутанный кубит Бобу, используя квантовая сеть через некую обычную физическую среду.

Расшифровка

Чтобы Боб узнал, какие классические биты послала Алиса, он выполнит CNOT унитарная операция с A в качестве управляющего кубита и B в качестве целевого кубита. Затем он исполнит ${ displaystyle H otimes I}$ унитарная операция над запутанным кубитом A. Другими словами, квантовый вентиль Адамара H применяется только к A (см. рисунок выше).

• Если результирующее запутанное состояние было ${ displaystyle B_ {00}}$ то после применения описанных выше унитарных операций запутанное состояние станет ${ displaystyle | 00 rangle}$
• Если бы результирующее запутанное состояние было ${ displaystyle B_ {01}}$ то после применения описанных выше унитарных операций запутанное состояние станет ${ displaystyle | 01 rangle}$
• Если результирующее запутанное состояние было ${ displaystyle B_ {10}}$ то после применения описанных выше унитарных операций запутанное состояние станет ${ displaystyle | 10 rangle}$
• Если результирующее запутанное состояние было ${ displaystyle B_ {11}}$ то после применения описанных выше унитарных операций запутанное состояние станет ${ displaystyle | 11 rangle}$

Эти операции, выполняемые Бобом, можно рассматривать как измерение, которое проецирует запутанное состояние на один из четырех двухкубитовых базисных векторов. ${ displaystyle | 00 rangle, | 01 rangle, | 10 rangle}$ или же ${ displaystyle | 11 rangle}$ (как вы можете видеть из результатов и примера ниже).

Пример

Например, если результирующее запутанное состояние (после операций, выполненных Алисой) было ${ displaystyle | Psi ^ {+} rangle: = B_ {01} = { frac {1} { sqrt {2}}} (| 0_ {A} 1_ {B} rangle + | 1_ {A } 0_ {B} rangle)}$, то CNOT с A в качестве управляющего бита и B в качестве целевого бита изменится ${ displaystyle B_ {01}}$ стать ${ displaystyle B_ {01} '= { frac {1} { sqrt {2}}} (| 0_ {A} 1_ {B} rangle + | 1_ {A} 1_ {B} rangle)}$. Теперь вентиль Адамара применяется только к A, чтобы получить

${ displaystyle B_ {01} '' = { frac {1} { sqrt {2}}} left ({ left ({ frac {1} { sqrt {2}}} (| 0 rangle + | 1 rangle) right)} _ {A} otimes | 1_ {B} rangle + { left ({ frac {1} { sqrt {2}}} (| 0 rangle - | 1 rangle) right)} _ {A} otimes | 1_ {B} rangle right)}$

Для простоты избавимся от индексов, так что у нас есть

${ displaystyle B_ {01} '' = { frac {1} { sqrt {2}}} left ({ frac {1} { sqrt {2}}} (| 0 rangle + | 1 rangle) otimes | 1 rangle + { frac {1} { sqrt {2}}} (| 0 rangle - | 1 rangle) otimes | 1 rangle right) = { frac {1} { sqrt {2}}} left ({ frac {1} { sqrt {2}}} (| 01 rangle + | 11 rangle) + { frac {1} { sqrt {2}} } (| 01 rangle - | 11 rangle) right) = { frac {1} {2}} | 01 rangle + { frac {1} {2}} | 11 rangle + { frac { 1} {2}} | 01 rangle - { frac {1} {2}} | 11 rangle = | 01 rangle}$

Теперь у Боба есть базовое состояние ${ displaystyle | 01 rangle}$, поэтому он знает, что Алиса хотела отправить двухбитную строку 01.

Безопасность

Сверхплотное кодирование - это форма безопасной квантовой коммуникации.^[3] Если перехватчик, обычно называемый Евой, перехватывает кубит Алисы на пути к Бобу, все, что получает Ева, является частью запутанного состояния. Без доступа к кубиту Боба Ева не может получить какую-либо информацию от кубита Алисы. Третья сторона не может подслушивать информацию, передаваемую с помощью сверхплотного кодирования, и попытка измерить любой из кубитов приведет к коллапсу состояния этого кубита и предупреждению Боба и Алисы.

Общая схема плотного кодирования

Общие схемы плотного кодирования могут быть сформулированы на языке, используемом для описания квантовые каналы. Алиса и Боб находятся в максимально запутанном состоянии ω. Обозначим подсистемы, изначально принадлежащие Алисе и Бобу, 1 и 2 соответственно. Чтобы передать сообщение Икс, Алиса применяет соответствующий канал

${ displaystyle ; Phi _ {x}}$

в подсистеме 1. В комбинированной системе это выполняется

${ Displaystyle omega rightarrow ( Phi _ {x} otimes I) ( omega)}$

куда я обозначает карту идентичности в подсистеме 2. Затем Алиса отправляет свою подсистему Бобу, который выполняет измерение в объединенной системе для восстановления сообщения. Пусть последствия измерения Боба быть F_у. Вероятность того, что измерительный прибор Боба зарегистрирует сообщение у является

${ displaystyle operatorname {Tr} ; ( Phi _ {x} otimes I) ( omega) cdot F_ {y}.}$

Следовательно, для достижения желаемой передачи мы требуем, чтобы

${ Displaystyle OperatorName {Tr} ; ( Phi _ {x} otimes I) ( omega) cdot F_ {y} = delta _ {xy}}$

куда δ_ху это Дельта Кронекера.

Экспериментальный

Протокол сверхплотного кодирования был актуализирован в нескольких экспериментах с использованием различных систем для различных уровней пропускной способности канала и точности. В 2004 году захваченные ионы бериллия 9 использовались в максимально запутанном состоянии для достижения пропускной способности канала 1,16 с точностью 0,85.^[4] В 2017 году пропускная способность канала 1,665 была достигнута с точностью 0,87 для оптических волокон.^[5] Большой размер Ququarts (состояния, сформированные в фотонных парах путем невырожденного спонтанного параметрического преобразования с понижением частоты), использовались для достижения пропускной способности канала 2,09 (с пределом 2,32) с точностью 0,98.^[6] Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) также использовался для разделения между тремя сторонами.^[7]

Рекомендации

• Уайльд, Марк М., 2017, Квантовая теория информации, Cambridge University Press, Также доступно на eprint arXiv: 1106.1145

внешняя ссылка

• Кубиты, квантовая механика и компьютеры: заметки по курсу
• Сверхплотное кодирование: как отправить два бита с помощью одного кубита на YouTube к Майкл Нильсен