Частица в коробке - Particle in a box

Некоторые траектории частицы в ящике согласно Законы Ньютона из классическая механика (A), и согласно Уравнение Шредингера из квантовая механика (B – F). В (B – F) горизонтальная ось - положение, а вертикальная ось - действительная часть (синяя) и мнимая (красная) части волновая функция. Состояния (B, C, D) являются собственные состояния энергии, но (E, F) нет.

В квантовая механика, то частица в коробке модель (также известная как бесконечная потенциальная яма или бесконечный квадратный колодец) описывает частицу, которая может свободно перемещаться в небольшом пространстве, окруженном непроницаемыми преградами. Модель в основном используется в качестве гипотетического примера, чтобы проиллюстрировать различия между классический и квантовые системы. В классических системах, например, частица, захваченная внутри большого ящика, может двигаться с любой скоростью внутри ящика, и вероятность того, что она будет обнаружена в одном месте, не выше, чем в другом. Однако, когда яма становится очень узкой (в масштабе нескольких нанометров), квантовые эффекты становятся важными. Частица может занимать только определенные положительные уровни энергии. Точно так же у нее никогда не может быть нулевой энергии, а это означает, что частица никогда не может «сидеть на месте». Кроме того, в зависимости от уровня энергии он с большей вероятностью будет обнаружен в определенных положениях, чем в других. Частица никогда не может быть обнаружена в определенных положениях, известных как пространственные узлы.

Модель частицы в ящике - одна из очень немногих задач квантовой механики, которую можно решить аналитически, без приближений. Благодаря своей простоте модель позволяет понять квантовые эффекты, не прибегая к сложной математике. Он служит простой иллюстрацией того, как энергия квантования (уровни энергии), которые встречаются в более сложных квантовых системах, таких как атомы и молекулы. Это одна из первых проблем квантовой механики, изучаемых на курсах физики бакалавриата, и она обычно используется в качестве приближения для более сложных квантовых систем.

Одномерное решение

Барьеры вне одномерного ящика имеют бесконечно большой потенциал, а внутренняя часть ящика имеет постоянный нулевой потенциал.

Самая простая форма частицы в модели ящика рассматривает одномерную систему. Здесь частица может двигаться только вперед и назад по прямой линии с непроницаемыми препятствиями на обоих концах.^[1]Стены одномерного ящика можно представить как области пространства с бесконечно большой потенциальная энергия. И наоборот, внутренняя часть коробки имеет постоянную нулевую потенциальную энергию.^[2] Это означает, что на частицу внутри ящика не действуют никакие силы, и она может свободно перемещаться в этой области. Однако бесконечно большой силы отталкивать частицу, если она касается стенок ящика, не давая ей вылететь. Потенциальная энергия в этой модели задается как

${displaystyle V (x) = {egin {case} 0, & x_ {c} - {frac {L} {2}}$

куда L длина коробки, Икс_c это расположение центра коробки и Икс - положение частицы внутри рамки. Простые случаи включают центрированный прямоугольник (Икс_c = 0 ) и сдвинутый прямоугольник (Икс_c = L / 2 ).

Позиционная волновая функция

В квантовой механике волновая функция дает наиболее фундаментальное описание поведения частицы; измеряемые свойства частицы (такие как ее положение, импульс и энергия) могут быть получены из волновой функции.^[3]Волновая функция ${displaystyle psi (x, t)}$ можно найти, решив Уравнение Шредингера для системы

${displaystyle ihbar {frac {partial} {partial t}} psi (x, t) = - {frac {hbar ^ {2}} {2m}} {frac {partial ^ {2}} {partial x ^ {2} }} psi (x, t) + V (x) psi (x, t),}$

куда ${displaystyle hbar}$ это приведенная постоянная Планка, ${displaystyle m}$ это масса частицы, ${displaystyle i}$ это мнимая единица и ${displaystyle t}$ время.

Внутри ящика на частицу не действуют никакие силы, а это означает, что часть волновой функции внутри ящика колеблется в пространстве и времени с той же формой, что и свободная частица:^[1][4]

${displaystyle psi (x, t) = [Asin (kx) + Bcos (kx)] mathrm {e} ^ {- iomega t},}$

(1)

куда ${displaystyle A}$ и ${displaystyle B}$ произвольны сложные числа. Частота колебаний в пространстве и времени задается волновое число ${displaystyle k}$ и угловая частота ${displaystyle omega}$ соответственно. Оба они связаны с полной энергией частицы выражением

${displaystyle E = hbar omega = {frac {hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}},}$

который известен как соотношение дисперсии для свободной частицы.^[1] Здесь нужно заметить, что теперь, поскольку частица не совсем свободна, а находится под влиянием потенциала (потенциал V описанный выше), энергия частицы, указанная выше, не то же самое, что ${displaystyle {frac {p ^ {2}} {2m}}}$ куда п - импульс частицы, следовательно, волновое число k выше фактически описывает энергетические состояния частицы, а не состояния импульса (т.е. оказывается, что импульс частицы не задается ${displaystyle p = hbar k}$). В этом смысле звонить по номеру довольно опасно. k волновое число, поскольку оно не связано с импульсом, как обычно "волновое число". Обоснование звонка k волновое число состоит в том, что оно перечисляет количество гребней, которые волновая функция имеет внутри коробки, и в этом смысле это волновое число. Это несоответствие можно увидеть более четко ниже, когда мы узнаем, что энергетический спектр частицы дискретен (разрешены только дискретные значения энергии), но импульсный спектр непрерывен (импульс может изменяться непрерывно) и, в частности, соотношение ${displaystyle E = {frac {p ^ {2}} {2m}}}$ для энергии и импульса частицы не выполняется. Как было сказано выше, причина, по которой это соотношение между энергией и импульсом не выполняется, заключается в том, что частица не свободна, но существует потенциал V в системе, а энергия частицы равна ${displaystyle E = T + V}$, куда Т кинетический и V потенциальная энергия.

Начальные волновые функции для первых четырех состояний в одномерной частице в ящике

Размер (или амплитуда ) волновой функции в данной позиции связана с вероятностью нахождения там частицы соотношением ${displaystyle P (x, t) = | psi (x, t) | ^ {2}}$. Следовательно, волновая функция должна исчезать повсюду за краями ящика.^[1][4] Кроме того, амплитуда волновой функции не может резко "прыгать" от одной точки к другой.^[1] Этим двум условиям удовлетворяют только волновые функции вида

${displaystyle psi _ {n} (x, t) = {egin {case} Asin left (k_ {n} left (x-x_ {c} + {frac {L} {2}} ight) ight) mathrm {e } ^ {- iomega _ {n} t} quad & x_ {c} - {frac {L} {2}}$

куда ^[5]

${displaystyle k_ {n} = {frac {npi} {L}}}$,

и

${displaystyle E_ {n} = hbar omega _ {n} = {frac {n ^ {2} pi ^ {2} hbar ^ {2}} {2mL ^ {2}}}}$,

куда п является натуральным числом (1,2,3,4 ...). Для сдвинутой коробки (Икс_c = L / 2), решение особенно простое. Самые простые решения, ${displaystyle k_ {n} = 0}$ или же ${displaystyle A = 0}$ оба дают тривиальную волновую функцию ${displaystyle psi (x) = 0}$, который описывает частицу, которой нет нигде в системе.^[6] Отрицательные значения ${displaystyle n}$ пренебрегают, поскольку они дают волновые функции, идентичные положительным ${displaystyle n}$ решения, за исключением физически несущественной смены знака.^[6] Здесь видно, что только дискретный набор значений энергии и волновых чисел k разрешены для частицы. Обычно в квантовой механике также требуется, чтобы производная волновой функции в дополнение к самой волновой функции была непрерывной; здесь это требование привело бы к единственному решению, являющемуся постоянной нулевой функцией, чего мы не желаем, поэтому мы отказываемся от этого требования (поскольку эту систему с бесконечным потенциалом можно рассматривать как нефизический абстрактный предельный случай, мы можем рассматривать ее как такие и "нарушайте правила"). Обратите внимание, что отказ от этого требования означает, что волновая функция не является дифференцируемой функцией на границе ящика, и, таким образом, можно сказать, что волновая функция не решает уравнение Шредингера в граничных точках ${displaystyle x = 0}$ и ${displaystyle x = L}$ (но решает везде).

Наконец, неизвестная постоянная ${displaystyle A}$ может быть найден нормализация волновой функции так что полная плотность вероятности нахождения частицы в системе равна 1. Отсюда следует, что

${displaystyle left | Aight | = {sqrt {frac {2} {L}}}.}$

Таким образом, А может быть любым комплексным числом с абсолютная величина √2/L; эти разные значения А дают такое же физическое состояние, поэтому А = √2/L можно выбрать для упрощения.

Ожидается, что собственные значения, т.е. энергия ${displaystyle E_ {n}}$ коробки должны быть одинаковыми вне зависимости от положения в пространстве, но ${displaystyle psi _ {n} (x, t)}$ изменения. Заметь ${displaystyle x_ {c} - {гидроразрыв {L} {2}}}$ представляет собой фазовый сдвиг в волновой функции. Этот фазовый сдвиг не влияет на решение уравнения Шредингера и, следовательно, не влияет на собственное значение.

Если мы установим начало координат на левый край рамки, мы можем кратко переписать пространственную часть волновой функции как:

${displaystyle psi _ {n} (x) = {egin {case} {sqrt {frac {2} {L}}} sin (k_ {n} x) quad {} {ext {for}} n {ext {even }} {sqrt {frac {2} {L}}} cos (k_ {n} x) quad {} {ext {for}} n {ext {odd}} end {case}}}$.

Импульсная волновая функция

Волновая функция импульса пропорциональна преобразование Фурье волновой функции положения. С ${displaystyle k = p / hbar}$ (обратите внимание, что параметр k описание волновой функции импульса ниже не совсем k_п выше, связанная с собственными значениями энергии), волновая функция импульса определяется выражением

${displaystyle phi _ {n} (p, t) = {frac {1} {sqrt {2pi hbar}}}} int _ {- infty} ^ {infty} psi _ {n} (x, t) e ^ {- ikx}, dx = {sqrt {frac {L} {pi hbar}}} влево ({frac {npi} {npi + kL}} ight), {extrm {sinc}} влево ({frac {1} {2} } (npi -kL) ight) e ^ {- ikx_ {c}} e ^ {i (n-1) {frac {pi} {2}}} e ^ {- iomega _ {n} t},}$

где sinc - кардинальный синус функция sinc, sinc (Икс) = грех(х) / х. Для центрированного поля (Икс_c= 0) решение является реальным и особенно простым, так как фазовый множитель справа уменьшается до единицы. (Осторожно, это можно записать как четную функцию от п.)

Видно, что импульсный спектр в этом волновом пакете непрерывен, и можно сделать вывод, что для энергетического состояния, описываемого волновым числом k_п, при измерении импульс может также достигать другие значения вне ${displaystyle p = pm hbar k_ {n}}$.

Отсюда также получается, что, поскольку энергия равна ${displaystyle E_ {n} = {frac {hbar ^ {2} k_ {n} ^ {2}} {2m}}}$ для пто собственное состояние, отношение ${displaystyle E = {frac {p ^ {2}} {2m}}}$ не строго соблюдается для измеренного импульса п; собственное состояние энергии ${displaystyle psi _ {n}}$ не является собственным состоянием импульса и, по сути, даже не суперпозицией двух собственных состояний импульса, как можно было бы попытаться представить из уравнения (1) выше: что особенно важно, он не имеет четко определенного импульса до измерения!

Распределения вероятностей положения и импульса

В классической физике частицу с равной вероятностью можно обнаружить в любом месте коробки. Однако в квантовой механике плотность вероятности нахождения частицы в заданном положении выводится из волновой функции как ${displaystyle P (x) = | psi (x) | ^ {2}.}$ Для частицы в ящике плотность вероятности нахождения частицы в данном положении зависит от ее состояния и определяется выражением

${displaystyle P_ {n} (x, t) = {egin {case} {frac {2} {L}} sin ^ {2} (k_ {n} (x-x_ {c} + {frac {L} { 2}})), & x_ {c} -L / 2$

Таким образом, для любого значения п больше единицы, в рамке есть регионы, для которых ${displaystyle P (x) = 0}$, указывая, что пространственные узлы существуют, в которых частица не может быть найдена.

В квантовой механике среднее или ожидаемое значение положения частицы определяется выражением

${displaystyle langle xangle = int _ {- infty} ^ {infty} xP_ {n} (x), mathrm {d} x.}$

Для стационарной частицы в ящике можно показать, что среднее положение всегда ${displaystyle langle xangle = x_ {c}}$, независимо от состояния частицы. Для суперпозиции состояний математическое ожидание позиции будет изменяться в зависимости от перекрестного члена, который пропорционален ${displaystyle cos (omega t)}$.

Разница в положении является мерой неопределенности положения частицы:

${displaystyle mathrm {Var} (x) = int _ {- infty} ^ {infty} (x-langle xangle) ^ {2} P_ {n} (x), dx = {frac {L ^ {2}} { 12}} left (1- {frac {6} {n ^ {2} pi ^ {2}}} ight)}$

Плотность вероятности нахождения частицы с заданным импульсом выводится из волновой функции как ${displaystyle P (x) = | phi (x) | ^ {2}}$. Как и в случае с положением, плотность вероятности нахождения частицы при заданном импульсе зависит от ее состояния и определяется выражением

${displaystyle P_ {n} (p) = {frac {L} {pi hbar}} left ({frac {npi} {npi + kL}} ight) ^ {2}, {extrm {sinc}} ^ {2} влево ({гидроразрыв {1} {2}} (npi -kL) ight)}$

где опять же ${displaystyle k = p / hbar}$. Затем рассчитывается, что математическое ожидание импульса равно нулю, а дисперсия импульса рассчитывается следующим образом:

${displaystyle mathrm {Var} (p) = left ({frac {hbar npi} {L}} ight) ^ {2}}$

Неопределенности в позиции и импульсе (${displaystyle Delta x}$ и ${displaystyle Delta p}$) определяются как равные квадратному корню из их соответствующих дисперсий, так что:

${displaystyle Delta xDelta p = {frac {hbar} {2}} {sqrt {{frac {n ^ {2} pi ^ {2}} {3}} - 2}}}$

Этот продукт увеличивается с увеличением п, имеющий минимальное значение для п = 1. Ценность этого продукта для п = 1 примерно равно 0,568 ${displaystyle hbar}$ который подчиняется Принцип неопределенности Гейзенберга, в котором указано, что произведение будет больше или равно ${displaystyle hbar / 2}$

Еще одна мера неопределенности положения - это информационная энтропия распределения вероятностей ЧАС_Икс:^[7]

${displaystyle H_ {x} = int _ {- infty} ^ {infty} P_ {n} (x) log (P_ {n} (x) x_ {0}), dx = log left ({frac {2L} { e, x_ {0}}} ight)}$

куда Икс₀ - произвольная ссылочная длина.

Еще одна мера неопределенности импульса - это информационная энтропия распределения вероятностей ЧАС_п:

${displaystyle H_ {p} (n) = int _ {- infty} ^ {infty} P_ {n} (p) log (P_ {n} (p) p_ {0}), dp}$

${displaystyle lim _ {n o infty} H_ {p} (n) = log left ({frac {4pi hbar, e ^ {2 (1-gamma)}} {L, p_ {0}}} ight)}$

где γ - Постоянная Эйлера. Квантовая механика принцип энтропийной неопределенности заявляет, что для ${displaystyle x_ {0}, p_ {0} = hbar}$

${displaystyle H_ {x} + H_ {p} (n) geq log (e, pi) приблизительно 2,14473 ...}$ (нац )

За ${displaystyle x_ {0}, p_ {0} = hbar}$, сумма энтропий позиции и импульса дает:

${displaystyle H_ {x} + H_ {p} (infty) = log (8pi, e ^ {1-2gamma}) приблизительно 3,06974 ...}$ (нац )

которое удовлетворяет квантовому принципу энтропийной неопределенности.

Уровни энергии

Энергия частицы в ящике (черные кружки) и свободной частицы (серая линия) одинаково зависят от волнового числа. Однако частица в ящике может иметь только определенные дискретные уровни энергии.

Энергии, которые соответствуют каждому из разрешенных волновых чисел, могут быть записаны как^[5]

${displaystyle E_ {n} = {frac {n ^ {2} hbar ^ {2} pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} = {frac {n ^ {2} h ^ {2}} { 8 мл ^ {2}}}}$.

Уровни энергии увеличиваются с ${displaystyle n ^ {2}}$, что означает, что высокие уровни энергии отделены друг от друга на большее расстояние, чем уровни низкой энергии. Наименьшая возможная энергия для частицы (ее энергия нулевой точки ) находится в состоянии 1, которое задается формулой^[8]

${displaystyle E_ {1} = {frac {hbar ^ {2} pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}}.}$

Следовательно, частица всегда имеет положительную энергию. Это контрастирует с классическими системами, в которых частица может иметь нулевую энергию, неподвижно покоя. Это можно объяснить с точки зрения принцип неопределенности, в котором говорится, что произведение неопределенностей в положении и импульсе частицы ограничено

${displaystyle Delta xDelta pgeq {frac {hbar} {2}}}$

Можно показать, что неопределенность положения частицы пропорциональна ширине ящика.^[9] Таким образом, неопределенность количества движения примерно обратно пропорциональна ширине ящика.^[8] Кинетическая энергия частицы определяется выражением ${displaystyle E = p ^ {2} / (2m)}$, и, следовательно, минимальная кинетическая энергия частицы в ящике обратно пропорциональна массе и квадрату ширины ямы, что качественно согласуется с приведенным выше расчетом.^[8]

Коробки больших размеров

(Гипер) прямоугольные стены

Волновая функция 2D скважины с n_Икс= 4 и n_у=4

Если частица попала в двумерный ящик, она может свободно перемещаться в нем. ${displaystyle x}$ и ${displaystyle y}$-направления, между перегородками, разделенными длинами ${displaystyle L_ {x}}$ и ${displaystyle L_ {y}}$ соответственно. Для центрированного блока волновая функция положения может быть записана, включая длину блока, как ${displaystyle psi _ {n} (x, t, L)}$. Используя подход, аналогичный подходу для одномерного бокса, можно показать, что волновые функции и энергии для центрированного бокса соответственно задаются выражением

${displaystyle psi _ {n_ {x}, n_ {y}} = psi _ {n_ {x}} (x, t, L_ {x}) psi _ {n_ {y}} (y, t, L_ {y })}$,

${displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}} = {frac {hbar ^ {2} k_ {n_ {x}, n_ {y}} ^ {2}} {2m}}}$,

где двумерный волновой вектор дан кем-то

${displaystyle mathbf {k_ {n_ {x}, n_ {y}}} = k_ {n_ {x}} mathbf {hat {x}} + k_ {n_ {y}} mathbf {hat {y}} = {frac {n_ {x} pi} {L_ {x}}} mathbf {hat {x}} + {frac {n_ {y} pi} {L_ {y}}} mathbf {hat {y}}}$.

Для трехмерной коробки решениями являются

${displaystyle psi _ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} = psi _ {n_ {x}} (x, t, L_ {x}) psi _ {n_ {y}} (y, t, L_ {y}) psi _ {n_ {z}} (z, t, L_ {z})}$,

${displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} = {frac {hbar ^ {2} k_ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} ^ {2}} {2м}}}$,

где трехмерный волновой вектор определяется выражением:

${Displaystyle mathbf {k_ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}}} = k_ {n_ {x}} mathbf {hat {x}} + k_ {n_ {y}} mathbf {hat {y }} + k_ {n_ {z}} mathbf {hat {z}} = {frac {n_ {x} pi} {L_ {x}}} mathbf {hat {x}} + {frac {n_ {y} pi } {L_ {y}}} mathbf {hat {y}} + {frac {n_ {z} pi} {L_ {z}}} mathbf {hat {z}}}$.

В общем случае для n-мерного ящика решения следующие:

${displaystyle psi = prod _ {i} psi _ {n_ {i}} (x_ {i}, t, L_ {i})}$

Волновые функции n-мерного импульса можно также представить в виде ${displaystyle phi _ {n} (x, t, L_ {x})}$ а волновая функция импульса для n-мерного центрированного ящика тогда равна:

${displaystyle phi = prod _ {i} phi _ {n_ {i}} (k_ {i}, t, L_ {i})}$

Интересной особенностью приведенных выше решений является то, что когда две или более длины одинаковы (например, ${displaystyle L_ {x} = L_ {y}}$), существует несколько волновых функций, соответствующих одной и той же полной энергии. Например, волновая функция с ${displaystyle n_ {x} = 2, n_ {y} = 1}$ имеет ту же энергию, что и волновая функция с ${displaystyle n_ {x} = 1, n_ {y} = 2}$. Эта ситуация называется вырождение и для случая, когда ровно две вырожденные волновые функции имеют одинаковую энергию, этот уровень энергии называется вдвойне вырожденный. Вырождение происходит из-за симметрии системы. В приведенном выше случае две длины равны, поэтому система симметрична относительно поворота на 90 °.

Более сложные формы стен

Волновая функция для квантово-механической частицы в ящике, стенки которого имеют произвольную форму, задается формулой Уравнение Гельмгольца с граничным условием, что волновая функция обращается в нуль на стенках. Эти системы изучаются в области квантовый хаос для стен, соответствующие динамические бильярдные столы неинтегрируемы.

Приложения

Из-за своей математической простоты частица в модели ящика используется для поиска приближенных решений для более сложных физических систем, в которых частица находится в узкой области низкого давления. электрический потенциал между двумя высокими потенциальными барьерами. Эти квантовая яма системы особенно важны в оптоэлектроника, и используются в таких устройствах, как лазер с квантовой ямой, то инфракрасный фотоприемник с квантовой ямой и квантово-ограниченный эффект Штарка модулятор. Он также используется для моделирования решетки в Модель Кронига-Пенни и для конечного металла с приближением свободных электронов.

Конъюгированные полиены

β-каротин представляет собой сопряженный полиен

Системы сопряженных полиенов можно смоделировать, используя частицы в коробке.^{[нужна цитата ]} Сопряженная система электронов может быть смоделирована как одномерный ящик с длиной, равной полному расстоянию связи от одного конца полиена до другого. В этом случае каждая пара электронов в каждой π-связи соответствует одному энергетическому уровню. Разность энергий между двумя уровнями энергии, n_ж и н_я является:

${displaystyle Delta E = {frac {(n_ {f} ^ {2} -n_ {i} ^ {2}) h ^ {2}} {8mL ^ {2}}}}$

Разница между энергией основного состояния n и первым возбужденным состоянием n + 1 соответствует энергии, необходимой для возбуждения системы. Эта энергия имеет определенную длину волны и, следовательно, цвет света, связанный с:

${displaystyle lambda = {frac {hc} {Delta E}}}$

Типичный пример этого явления - в β-каротин.^{[нужна цитата ]} β-каротин (C₄₀ЧАС₅₆)^[10] представляет собой сопряженный полиен оранжевого цвета с длиной молекулы примерно 3,8 нм (хотя длина его цепи составляет всего примерно 2,4 нм).^[11] Из-за высокого уровня β-каротина спряжение, электроны рассредоточены по всей длине молекулы, что позволяет моделировать ее как одномерную частицу в ящике. β-каротин имеет 11 углерод -углерод двойные связи в спряжении;^[10] каждая из этих двойных связей содержит два π-электрона, поэтому у β-каротина 22 π-электрона. С двумя электронами на один энергетический уровень β-каротин можно рассматривать как частицу в ящике на уровне энергии. п=11.^[11] Следовательно, минимальная энергия, необходимая для возбуждения электрон на следующий уровень энергии можно рассчитать, п= 12, как следует^[11] (вспоминая, что масса электрона 9,109 × 10⁻³¹ кг^[12]):

${displaystyle Delta E = {frac {(n_ {f} ^ {2} -n_ {i} ^ {2}) h ^ {2}} {8mL ^ {2}}}}$

${displaystyle = {frac {(12 ^ {2} -11 ^ {2}) h ^ {2}} {8mL ^ {2}}}}$

${displaystyle = 2.3658 imes 10 ^ {- 19} {ext {J}}}$

Используя предыдущее отношение длины волны к энергии, вспоминая как Постоянная Планка час и скорость света c:

${displaystyle lambda = {frac {hc} {Delta E}}}$

${displaystyle = 0,00000084 {ext {m}} = 840 {ext {nm}}}$

Это указывает на то, что β-каротин в основном поглощает свет в инфракрасном спектре, поэтому человеческому глазу он будет казаться белым. Однако наблюдаемая длина волны составляет 450 нм,^[13] что указывает на то, что частица в ящике не является идеальной моделью для этой системы.

Лазер на квантовой яме

Частицу в модели ящика можно применить к лазеры с квантовыми ямами, которые представляют собой лазерные диоды, состоящие из одного полупроводникового материала «колодца», зажатого между двумя другими полупроводниковыми слоями из другого материала. Поскольку слои этого сэндвича очень тонкие (средний слой обычно составляет около 100 Å), квантовое ограничение эффекты могут наблюдаться.^[14] Идея о том, что квантовые эффекты могут быть использованы для создания лучших лазерных диодов, возникла в 1970-х годах. Лазер на квантовой яме был запатентован в 1976 году Р. Динглом и К. Х. Генри.^[15]

В частности, поведение квантовой ямы может быть представлено частицей в модели с конечной ямой. Необходимо выбрать два граничных условия. Во-первых, волновая функция должна быть непрерывной. Часто второе граничное условие выбирается так, чтобы производная волновой функции была непрерывной через границу, но в случае квантовой ямы массы разные по обе стороны от границы. Вместо этого выбрано второе граничное условие, чтобы сохранить поток частиц как${displaystyle (1 / m) dphi / dz}$, что согласуется с экспериментом. Решение для частицы с конечной ямой в ящике должно быть решено численно, что приведет к получению волновых функций, которые являются синусоидальными функциями внутри квантовой ямы и экспоненциально затухающими функциями в барьерах.^[16] Такое квантование уровней энергии электронов позволяет лазеру с квантовыми ямами излучать свет более эффективно, чем обычные полупроводниковые лазеры.

Из-за своего небольшого размера квантовые точки не демонстрируют объемные свойства указанного полупроводника, а скорее демонстрируют квантованные энергетические состояния.^[17] Этот эффект известен как квантовое ограничение и привел к многочисленным применениям квантовых точек, таких как лазер с квантовыми ямами.^[17]

Исследователи из Принстонского университета недавно построили лазер с квантовой ямой размером не больше рисового зерна.^[18] Лазер питается от одного электрона, который проходит через две квантовые точки; двойная квантовая точка. Электрон переходит из состояния с более высокой энергией в состояние с более низкой энергией, излучая фотоны в микроволновом диапазоне. Эти фотоны отражаются от зеркал, образуя луч света; лазер.^[18]

Лазер на квантовой яме в значительной степени основан на взаимодействии света и электронов. Это соотношение является ключевым компонентом квантово-механических теорий, которые включают длину волны Де Бройля и частицы в коробке. Двойная квантовая точка позволяет ученым получить полный контроль над движением электрона, что в результате приводит к образованию лазерного луча.^[18]

Квантовые точки

Квантовые точки чрезвычайно малы полупроводники (в масштабе нанометров).^[19] Они отображают квантовое ограничение в том, что электроны не могут покинуть «точку», что позволяет применять приближения «частица в коробке».^[20] Их поведение можно описать трехмерными уравнениями квантования энергии типа "частица в коробке".^[20]

В энергетический разрыв квантовой точки - это энергетический зазор между ее валентные зоны и зоны проводимости. Этот энергетический разрыв ${displaystyle Delta E (r)}$ равна ширине запрещенной зоны объемного материала ${displaystyle E_ {ext {gap}}}$ плюс уравнение энергии, полученное из "частицы в коробке", которое дает энергию для электронов и дыры.^[20] Это можно увидеть в следующем уравнении, где ${displaystyle m_ {e} ^ {*}}$ и ${displaystyle m_ {h} ^ {*}}$ - эффективные массы электрона и дырки, ${displaystyle r}$ - радиус точки, а ${displaystyle h}$ постоянная Планка:^[20]

${displaystyle Delta E (r) = E_ {ext {gap}} + left ({frac {h ^ {2}} {8r ^ {2}}} ight) left ({frac {1} {m_ {e} ^) {*}}} + {frac {1} {m_ {h} ^ {*}}} ight)}$

Следовательно, запрещенная зона квантовой точки обратно пропорциональна квадрату «длины ящика», то есть радиусу квантовой точки.^[20]

Манипулирование шириной запрещенной зоны позволяет поглощать и излучать свет с определенными длинами волн, поскольку энергия обратно пропорциональна длине волны.^[19] Чем меньше квантовая точка, тем больше ширина запрещенной зоны и, следовательно, короче длина поглощаемой волны.^[19][21]

Различные полупроводниковые материалы используются для синтеза квантовых точек разного размера и, следовательно, излучают свет с разной длиной волны.^[21] Часто используются материалы, которые обычно излучают свет в видимой области, и их размеры настраиваются таким образом, чтобы излучались определенные цвета.^[19] Типичные вещества, используемые для синтеза квантовых точек, - это кадмий (Cd) и селен (Se).^[19][21] Например, когда электроны двух нанометровых квантовых точек CdSe расслабиться после возбуждения, излучается синий свет. Точно так же красный свет излучается квантовыми точками CdSe размером четыре нанометра.^[22][19]

Квантовые точки имеют множество функций, включая, помимо прочего, флуоресцентные красители, транзисторы, Светодиоды, солнечные батареи и получение медицинских изображений с помощью оптических датчиков.^[19][20]

Одной из функций квантовых точек является их использование для картирования лимфатических узлов, что возможно благодаря их уникальной способности излучать свет в ближней инфракрасной (NIR) области. Картирование лимфатических узлов позволяет хирургам отслеживать наличие раковых клеток и их местонахождение.^[23]

Квантовые точки полезны для этих функций из-за их излучения более яркого света, возбуждения широким спектром длин волн и большей устойчивости к свету, чем у других веществ.^[23][19]

Релятивистские эффекты

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (август 2013)

Плотность вероятности не стремится к нулю в узлах, если релятивистские эффекты учитываются с помощью уравнения Дирака.^[24]

Смотрите также

• История квантовой механики
• Конечная потенциальная яма
• Дельта-функция потенциала
• Газ в коробке
• Частица в кольце
• Частица в сферически-симметричном потенциале
• Квантовый гармонический осциллятор
• Полукруглая потенциальная яма
• Интеграл конфигурации (статистическая механика)
• Интеграл конфигурации (статистическая механика), 2008. этот вики-сайт не работает; видеть эта статья в веб-архиве от 28 апреля 2012 г..

Рекомендации

Библиография

• Bransden, B.H .; Иоахайн, К. Дж. (2000). Квантовая механика (2-е изд.). Эссекс: образование Пирсона. ISBN  978-0-582-35691-7.
• Дэвис, Джон Х. (2006). Физика низкоразмерных полупроводников: введение (6-е переиздание). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-48491-6.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN  978-0-13-111892-8.

внешняя ссылка