Функция Sinc - Sinc function

В математика, физика и инженерное дело, то функция sinc, обозначаемый $sinc (Икс)$ , имеет два немного разных определения.^[1]

Нормализованная функция sinc (синий) и ненормализованная функция sinc (красный) показаны на одной шкале

Синхронизация работает как аудио с частотой 2000 Гц (± 1,5 секунды около нуля).

В математике исторический ненормализованная функция sinc определяется для $Икс \neq 0$ к

{ displaystyle operatorname {sinc} x = { frac { sin x} {x}}.}

В качестве альтернативы ненормализованная функция sinc часто называется функция выборки, обозначенный как Sa (x).^[2]

В цифровая обработка сигналов и теория информации, то нормализованная функция sinc обычно определяется для $Икс \neq 0$ к

{ displaystyle operatorname {sinc} x = { frac { sin ( pi x)} { pi x}}.}

В любом случае значение при $Икс = 0$ определяется как предельное значение

{ displaystyle operatorname {sinc} 0: = lim _ {x to 0} { frac { sin (ax)} {ax}} = 1}

для всех реальных

а \neq 0

.

В нормализация вызывает определенный интеграл функции над действительными числами равными 1 (тогда как тот же самый интеграл ненормализованной функции sinc имеет значение $π$ ). В качестве еще одного полезного свойства нули нормализованной функции sinc являются ненулевыми целыми значениями $Икс$ .

Нормализованная функция sinc - это преобразование Фурье из прямоугольная функция без масштабирования. Он используется в концепции реконструкция непрерывный сигнал с ограниченной полосой пропускания из равномерно разнесенных образцы этого сигнала.

Единственное различие между этими двумя определениями заключается в масштабировании независимая переменная (в $Икс$ ось ) в раз $π$ . В обоих случаях значение функции на устранимая особенность при нуле считается предельным значением 1. Тогда функция sinc аналитический везде и, следовательно, вся функция.

Период, термин грех /ˈsɪŋk/ был представлен Филип М. Вудворд в своей статье 1952 года «Теория информации и обратная вероятность в электросвязи», в которой он сказал, что функция «так часто встречается в анализе Фурье и его приложениях, что, похоже, заслуживает некоторых отдельных обозначений»,^[3] и его книга 1953 года Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам.^[4]^[5] Сама функция была впервые математически выведена в этой форме Лорд Рэйли в его выражении (Формула Рэлея ) для сферической Функция Бесселя первого вида.

Характеристики

Локальные максимумы и минимумы (маленькие белые точки) ненормализованной красной функции sinc соответствуют ее пересечениям с синей функция косинуса.

Реальная часть сложного sinc

Re (sinc z) = Re (грех z / z)

Мнимая часть сложного sinc

Im (sinc z) = Im (грех z / z)

Абсолютное значение

| грех z | = | грех z / z |

В нулевые переходы ненормализованного sinc имеют ненулевое целое число, кратное $π$ , а нулевые пересечения нормализованного sinc происходят при ненулевых целых числах.

Локальные максимумы и минимумы ненормированного sinc соответствуют его пересечениям с косинус функция. То есть, $грех (ξ) / ξ = cos (ξ)$ по всем пунктам $ξ$ где производная от $грех (Икс) / Икс$ равен нулю, а значит, достигается локальный экстремум. Это следует из производной функции sinc:

{ displaystyle { frac {d} {dx}} operatorname {sinc} (x) = { frac { cos (x) - operatorname {sinc} (x)} {x}}.}

Первые несколько членов бесконечного ряда для $Икс$ координата $п$ -й экстремум с положительным $Икс$ координаты

{ displaystyle x_ {n} = qq ^ {- 1} - { frac {2} {3}} q ^ {- 3} - { frac {13} {15}} q ^ {- 5} - { frac {146} {105}} q ^ {- 7} - cdots,}

куда

{ Displaystyle д = влево (п + { гидроразрыва {1} {2}} вправо) пи,}

и где странно $п$ приводят к локальному минимуму и даже $п$ до локального максимума. Из-за симметрии вокруг $у$ оси существуют экстремумы с $Икс$ координаты $- Икс п$ . К тому же есть абсолютный максимум на $ξ 0 = (0, 1)$ .

Нормализованная функция sinc имеет простое представление как бесконечный продукт:

{ displaystyle { frac { sin ( pi x)} { pi x}} = prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 - { frac {x ^ {2}} {п ^ {2}}} right)}

и связан с гамма-функция $Γ (Икс)$ через Формула отражения Эйлера:

{ displaystyle { frac { sin ( pi x)} { pi x}} = { frac {1} { Gamma (1 + x) Gamma (1-x)}}.}

Эйлер обнаруженный^[6] который

{ displaystyle { frac { sin (x)} {x}} = prod _ {n = 1} ^ { infty} cos left ({ frac {x} {2 ^ {n}}} верно),}

и из-за идентичности продукта к сумме^[7]

{ displaystyle prod _ {n = 1} ^ {k} cos left ({ frac {x} {2 ^ {n}}} right) = { frac {1} {2 ^ {k- 1}}} sum _ {n = 1} ^ {2 ^ {k-1}} cos left ({ frac {n-1/2} {2 ^ {k-1}}} x right ), quad forall k geq 1,}

произведение Эйлера можно преобразовать в сумму

{ displaystyle { frac { sin (x)} {x}} = lim _ {N to infty} { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} cos left ({ frac {n-1/2} {N}} x right).}

В непрерывное преобразование Фурье нормализованного sinc (к обычной частоте) равна $прямоугольник (ж)$ :

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} operatorname {sinc} (t) , e ^ {- i2 pi ft} , dt = operatorname {rect} (f),}

где прямоугольная функция равно 1 для аргумента между -1/2 и 1/2, и ноль в противном случае. Это соответствует тому, что sinc фильтр это идеал (кирпичная стена, что означает прямоугольную частотную характеристику) фильтр нижних частот.

Этот интеграл Фурье, включая частный случай

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac { sin ( pi x)} { pi x}} , dx = operatorname {rect} (0) = 1}

является несобственный интеграл (видеть Интеграл Дирихле ), а не сходящийся Интеграл Лебега, так как

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} left | { frac { sin ( pi x)} { pi x}} right | , dx = + infty.}

Нормализованная функция sinc имеет свойства, которые делают ее идеальной по отношению к интерполяция из отобранный ограниченный диапазон функции:

Это интерполирующая функция, т.е. $sinc (0) = 1$ , и $sinc (k) = 0$ для ненулевого целое число $k$ .
Функции $Икс k (т) = sinc (т - k)$ ( $k$ целое число) образуют ортонормированный базис за ограниченный диапазон функции в функциональное пространство $L 2 (р)$ , с наибольшей угловой частотой $ω ЧАС = π$ (то есть наибольшая частота цикла $ж ЧАС = 1 / 2$ ).

Другие свойства двух функций sinc включают:

Ненормализованный sinc - это сферический элемент нулевого порядка. Функция Бесселя первого рода, $j 0 (Икс)$ . Нормализованный sinc равен $j 0 (π Икс)$ .
${ displaystyle int _ {0} ^ {x} { frac { sin ( theta)} { theta}} , d theta = operatorname {Si} (x),}$

куда

Si (Икс)

это интеграл синуса.

$λ sinc (λx)$ (ненормированный) - одно из двух линейно независимых решений линейной обыкновенное дифференциальное уравнение

{ displaystyle x { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + 2 { frac {dy} {dx}} + lambda ^ {2} xy = 0.}

Другой

cos (λx) / Икс

, которая не ограничена на

Икс = 0

, в отличие от своего аналога с функцией sinc.

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac { sin ^ {2} ( theta)} { theta ^ {2}}} , d theta = pi quad Rightarrow quad int _ {- infty} ^ { infty} operatorname {sinc} ^ {2} (x) , dx = 1,}$

где имеется в виду нормализованный sinc.

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac { sin ( theta)} { theta}} , d theta = int _ {- infty} ^ { infty } left ({ frac { sin ( theta)} { theta}} right) ^ {2} , d theta = pi.}$
${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac { sin ^ {3} ( theta)} { theta ^ {3}}} , d theta = { frac { 3 pi} {4}}.}$
${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac { sin ^ {4} ( theta)} { theta ^ {4}}} , d theta = { frac { 2 pi} {3}}.}$
Следующий несобственный интеграл включает (ненормированную) функцию sinc:
${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {x ^ {n} +1}} = 1 + 2 sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k + 1}} {(kn) ^ {2} -1}} = { frac {1} { operatorname {sinc} ({ frac { pi} {n}}) }}.}$

Связь с распределением дельты Дирака

Нормализованная функция sinc может использоваться как зарождающаяся дельта-функция, что означает, что следующие слабый предел держит:

{ displaystyle lim _ {a to 0} { frac { sin left ({ frac { pi x} {a}} right)} { pi x}} = lim _ {a на 0} { frac {1} {a}} operatorname {sinc} left ({ frac {x} {a}} right) = delta (x).}

Это не обычный предел, так как левая часть не сходится. Скорее это означает, что

{ displaystyle lim _ {a to 0} int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} {a}} operatorname {sinc} left ({ frac {x} { a}} right) varphi (x) , dx = varphi (0)}

для каждого Функция Шварца, как видно из Теорема обращения Фурье.В приведенном выше выражении как $а \to 0$ число колебаний на единицу длины функции sinc стремится к бесконечности. Тем не менее выражение всегда колеблется внутри огибающей $\pm 1 / π Икс$ , независимо от стоимости $а$ .

Это усложняет неформальную картину $δ (Икс)$ как ноль для всех $Икс$ кроме того момента $Икс = 0$ , и иллюстрирует проблему мышления дельта-функции как функции, а не как распределения. Похожая ситуация наблюдается в Феномен Гиббса.

Суммирование

Все суммы в этом разделе относятся к ненормализованной функции sinc.

Сумма $sinc (п)$ над целым числом $п$ от 1 до $\infty$ равно $π - 1 / 2$ :

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} operatorname {sinc} (n) = operatorname {sinc} (1) + operatorname {sinc} (2) + operatorname {sinc} (3 ) + operatorname {sinc} (4) + cdots = { frac { pi -1} {2}}.}

Сумма квадратов также равна $π - 1 / 2$ :^[8]

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} operatorname {sinc} ^ {2} (n) = operatorname {sinc} ^ {2} (1) + operatorname {sinc} ^ {2 } (2) + operatorname {sinc} ^ {2} (3) + operatorname {sinc} ^ {2} (4) + cdots = { frac { pi -1} {2}}.}

Когда признаки добавляет чередовать и начинать с +, сумма равна 1/2:

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} , operatorname {sinc} (n) = operatorname {sinc} (1) - operatorname {sinc } (2) + operatorname {sinc} (3) - operatorname {sinc} (4) + cdots = { frac {1} {2}}.}

Чередующиеся суммы квадратов и кубиков также равны 1/2:^[9]

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} , operatorname {sinc} ^ {2} (n) = operatorname {sinc} ^ {2} (1) - operatorname {sinc} ^ {2} (2) + operatorname {sinc} ^ {2} (3) - operatorname {sinc} ^ {2} (4) + cdots = { frac { 1} {2}},}

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} , operatorname {sinc} ^ {3} (n) = operatorname {sinc} ^ {3} (1) - operatorname {sinc} ^ {3} (2) + operatorname {sinc} ^ {3} (3) - operatorname {sinc} ^ {3} (4) + cdots = { frac { 1} {2}}.}

Расширение серии

В Серия Тейлор из (ненормализованных) $грех$ функция может быть получена непосредственно из синуса:

{ displaystyle operatorname {sinc} x = { frac { sin x} {x}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n}} {(2n + 1)!}},}

который сходится для всех $Икс$ .

Высшие измерения

Произведение одномерных функций sinc легко обеспечивает многомерный функция sinc для квадратной декартовой сетки (решетка ): $грех C (Икс, у) = sinc (Икс) sinc (у)$ , чей преобразование Фурье это индикаторная функция квадрата в частотном пространстве (то есть кирпичной стены, определенной в двухмерном пространстве). Функция sinc для не декартова решетка (например., шестиугольная решетка ) - функция, преобразование Фурье это индикаторная функция из Зона Бриллюэна этой решетки. Например, функция sinc для гексагональной решетки - это функция, преобразование Фурье это индикаторная функция единичного шестиугольника в частотном пространстве. Для не декартовой решетки эта функция не может быть получена простым тензорным произведением. Однако явная формула для функции sinc для шестиугольник, объемно-центрированный кубический, гранецентрированная кубическая и другие многомерные решетки могут быть явно получены^[10] используя геометрические свойства зон Бриллюэна и их связь с зонотопы.

Например, шестиугольная решетка может быть сгенерировано (целым) линейный пролет векторов

{ displaystyle mathbf {u} _ {1} = { begin {bmatrix} { frac {1} {2}} { frac { sqrt {3}} {2}} end {bmatrix} } quad { text {and}} quad mathbf {u} _ {2} = { begin {bmatrix} { frac {1} {2}} - { frac { sqrt {3} } {2}} end {bmatrix}}.}

Обозначение

{ displaystyle { boldsymbol { xi}} _ {1} = { tfrac {2} {3}} mathbf {u} _ {1}, quad { boldsymbol { xi}} _ {2} = { tfrac {2} {3}} mathbf {u} _ {2}, quad { boldsymbol { xi}} _ {3} = - { tfrac {2} {3}} ( mathbf {u} _ {1} + mathbf {u} _ {2}), quad mathbf {x} = { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}},}

можно вывести^[10] функция sinc для этой гексагональной решетки как

{ displaystyle { begin {align} operatorname {sinc} _ { text {H}} ( mathbf {x}) = { tfrac {1} {3}} { big (} & cos left ( pi { boldsymbol { xi}} _ {1} cdot mathbf {x} right) operatorname {sinc} left ({ boldsymbol { xi}} _ {2} cdot mathbf { x} right) operatorname {sinc} left ({ boldsymbol { xi}} _ {3} cdot mathbf {x} right) & {} + cos left ( pi { boldsymbol { xi}} _ {2} cdot mathbf {x} right) operatorname {sinc} left ({ boldsymbol { xi}} _ {3} cdot mathbf {x} right) operatorname {sinc} left ({ boldsymbol { xi}} _ {1} cdot mathbf {x} right) & {} + cos left ( pi { boldsymbol { xi} } _ {3} cdot mathbf {x} right) operatorname {sinc} left ({ boldsymbol { xi}} _ {1} cdot mathbf {x} right) operatorname {sinc} left ({ boldsymbol { xi}} _ {2} cdot mathbf {x} right) { big)}. end {align}}}

Эту конструкцию можно использовать для оформления Окно Ланцоша для общих многомерных решеток.^[10]

Смотрите также

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Функция Sinc». MathWorld.

[dlmf-1] Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В., ред. (2010), «Численные методы», Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МИСТЕР 2723248.

[2] Singh, R.P .; Сапре, С. Д. (2008). Системы связи, 2E (иллюстрированный ред.). Тата Макгроу-Хилл Образование. п. 15. ISBN 978-0-07-063454-1. Отрывок страницы 15

[3] Woodward, P.M .; Дэвис, И. Л. (март 1952 г.). «Теория информации и обратная вероятность в телекоммуникациях» (PDF). Труды IEE - Часть III: Радио и коммуникационная техника. 99 (58): 37–44. Дои:10.1049 / пи-3.1952.0011.

[Poynton-4] Пойнтон, Чарльз А. (2003). Цифровое видео и HDTV. Издательство Морган Кауфманн. п.147. ISBN 978-1-55860-792-7.

[5] Вудворд, Филип М. (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам. Лондон: Pergamon Press. п.29. ISBN 978-0-89006-103-9. OCLC 488749777.

[6] Эйлер, Леонард (1735). «По суммам серий взаимных выплат». arXiv:математика / 0506415.

[7] Луис Ортис-Грасиа; Корнелис В. Остерли (2016). «Высокоэффективный вейвлет-метод Шеннона с обратным Фурье для оценки европейских опционов». SIAM J. Sci. Вычислить. 38 (1): B118 – B143. Дои:10.1137 / 15M1014164.

[BBB-8] Роберт Бэйли; Дэвид Борвейн; Джонатан М. Борвейн (Декабрь 2008 г.). «Удивительные синусоидальные суммы и интегралы». Американский математический ежемесячный журнал. 115 (10): 888–901. Дои:10.1080/00029890.2008.11920606. JSTOR 27642636.

[FWFS-9] Бэйли, Роберт (2008). «Развлечение с рядами Фурье». arXiv:0806.0150v2 [math.CA ].

[multiD-10] а ^б ^c Ye, W .; Энтезари, А. (июнь 2012 г.). "Геометрическая конструкция многомерных Sinc-функций". IEEE Transactions по обработке изображений. 21 (6): 2969–2979. Bibcode:2012ITIP ... 21.2969Y. Дои:10.1109 / TIP.2011.2162421. PMID 21775264.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]