Теорема обращения Фурье - Википедия - Fourier inversion theorem

В математика, то Теорема обращения Фурье говорит, что для многих типов функций можно восстановить функцию из ее преобразование Фурье. Интуитивно это можно рассматривать как утверждение, что если мы знаем все частота и фаза информации о волне, тогда мы можем точно восстановить исходную волну.

Теорема гласит, что если у нас есть функция ${ displaystyle f: mathbb {R} rightarrow mathbb {C}}$ удовлетворяющие определенным условиям, и мы используем соглашение о преобразовании Фурье который

${ Displaystyle ({ mathcal {F}} f) ( xi): = int _ { mathbb {R}} e ^ {- 2 pi iy cdot xi} , f (y) , dy,}$

тогда

${ Displaystyle е (х) = int _ { mathbb {R}} e ^ {2 pi ix cdot xi} , ({ mathcal {F}} f) ( xi) , d xi.}$

Другими словами, теорема говорит, что

${ Displaystyle е (х) = int int _ { mathbb {R} ^ {2}} e ^ {2 pi i (xy) cdot xi} , f (y) , dy , d xi.}$

Это последнее уравнение называется Интегральная теорема Фурье.

Другой способ сформулировать теорему: если ${ displaystyle R}$ это оператор переворота, т.е. ${ Displaystyle (Rf) (х): = f (-x)}$, тогда

${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1} = { mathcal {F}} R = R { mathcal {F}}.}$

Теорема верна, если оба ${ displaystyle f}$ и его преобразование Фурье равны абсолютно интегрируемый (в Чувство Лебега ) и ${ displaystyle f}$ непрерывна в точке ${ displaystyle x}$. Однако даже при более общих условиях верны версии теоремы обращения Фурье. В этих случаях указанные выше интегралы могут не сходиться в обычном смысле.

Заявление

В этом разделе мы предполагаем, что ${ displaystyle f}$ - интегрируемая непрерывная функция. Использовать соглашение о преобразовании Фурье который

${ displaystyle ({ mathcal {F}} f) ( xi): = int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- 2 pi iy cdot xi} , f ( y) , dy.}$

Кроме того, мы предполагаем, что преобразование Фурье также интегрируемо.

Обратное преобразование Фурье как интеграл

Наиболее распространенное утверждение теоремы об обращении Фурье состоит в том, чтобы представить обратное преобразование как интеграл. Для любой интегрируемой функции ${ displaystyle g}$ и все ${ Displaystyle х в mathbb {R} ^ {п}}$ набор

${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1} g (x): = int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 pi ix cdot xi} , g ( xi) , d xi.}$

Тогда для всех ${ Displaystyle х в mathbb {R} ^ {п}}$ у нас есть

${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1} ({ mathcal {F}} f) (x) = f (x).}$

Интегральная теорема Фурье

Теорема может быть переформулирована как

${ Displaystyle е (х) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 pi i (xy) cdot xi } , f (y) , dy , d xi.}$

Если ж является действительным значением, то, взяв действительную часть каждой стороны указанного выше, мы получаем

${ Displaystyle е (х) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} cos (2 pi (xy) cdot xi) , f (y) , dy , d xi.}$

Обратное преобразование в терминах оператора переворота

Для любой функции ${ displaystyle g}$ определить оператор переворота^{[примечание 1]} ${ displaystyle R}$ к

${ Displaystyle Rg (x): = g (-x).}$

Тогда мы можем вместо этого определить

${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1} f: = R { mathcal {F}} f = { mathcal {F}} Rf.}$

Непосредственно из определения преобразования Фурье и оператора переворота следует, что оба ${ displaystyle R { mathcal {F}} f}$ и ${ displaystyle { mathcal {F}} Rf}$ соответствовать интегральному определению ${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1} f}$, и, в частности, равны друг другу и удовлетворяют ${ Displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1} ({ mathcal {F}} f) (x) = f (x)}$.

С ${ Displaystyle Rf = R { mathcal {F}} ^ {- 1} { mathcal {F}} f = RR { mathcal {FF}} f}$ у нас есть ${ Displaystyle R = { mathcal {F}} ^ {2}}$ и

${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1} = { mathcal {F}} ^ {3}.}$

Двусторонний инверсный

Форма сформулированной выше теоремы об обращении Фурье, как правило, такова:

${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1} ({ mathcal {F}} f) (x) = f (x).}$

Другими словами, ${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1}}$ является левым обратным преобразованию Фурье. Однако это также право обратное преобразованию Фурье, т.е.

${ displaystyle { mathcal {F}} ({ mathcal {F}} ^ {- 1} f) ( xi) = f ( xi).}$

С ${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1}}$ так похоже на ${ displaystyle { mathcal {F}}}$, это очень легко следует из теоремы обращения Фурье (замена переменных ${ displaystyle zeta: = - zeta}$):

${ displaystyle { begin {align} f & = { mathcal {F}} ^ {- 1} ({ mathcal {F}} f) (x) [6pt] & = int _ { mathbb { R} ^ {n}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 pi ix cdot xi} , e ^ {- 2 pi iy cdot xi} , f (y) , dy , d xi [6pt] & = int _ { mathbb {R} ^ {n}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ { -2 pi ix cdot zeta} , e ^ {2 pi iy cdot zeta} , f (y) , dy , d zeta [6pt] & = { mathcal {F }} ({ mathcal {F}} ^ {- 1} f) (x). end {align}}}$

Как вариант, это можно увидеть из соотношения между ${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1} f}$ и оператор переворота и ассоциативность из функциональная композиция, поскольку

${ displaystyle f = { mathcal {F}} ^ {- 1} ({ mathcal {F}} f) = { mathcal {F}} R { mathcal {F}} f = { mathcal {F }} ({ mathcal {F}} ^ {- 1} f).}$

Условия на функцию

При использовании в физике и технике теорема обращения Фурье часто используется в предположении, что все «ведет себя хорошо». В математике такие эвристические аргументы недопустимы, и теорема обращения Фурье включает явное указание того, какой класс функций разрешен. Однако не существует «лучшего» класса функций для рассмотрения, поэтому существует несколько вариантов теоремы обращения Фурье, хотя и с совместимыми выводами.

Функции Шварца

Теорема обращения Фурье верна для всех Функции Шварца (грубо говоря, гладкие функции, которые быстро убывают и все производные которых быстро убывают). Это условие имеет то преимущество, что оно представляет собой элементарное прямое утверждение о функции (в отличие от наложения условия на ее преобразование Фурье), а интеграл, определяющий преобразование Фурье, и его обратное преобразование являются абсолютно интегрируемыми. Эта версия теоремы используется при доказательстве теоремы обращения Фурье для умеренных распределений (см. Ниже).

Интегрируемые функции с интегрируемым преобразованием Фурье

Теорема обращения Фурье верна для всех непрерывных функций, которые абсолютно интегрируемы (т. Е. ${ Displaystyle L ^ {1} ( mathbb {R} ^ {n})}$) с абсолютно интегрируемым преобразованием Фурье. Сюда входят все функции Шварца, так что это строго более сильная форма теоремы, чем предыдущая. Это условие используется выше в раздел выписки.

Небольшой вариант - отказаться от условия, что функция ${ displaystyle f}$ быть непрерывным, но при этом требовать, чтобы он и его преобразование Фурье были абсолютно интегрируемыми. потом ${ displaystyle f = g}$ почти всюду куда грамм - непрерывная функция, а ${ Displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1} ({ mathcal {F}} f) (x) = g (x)}$ для каждого ${ Displaystyle х в mathbb {R} ^ {п}}$.

Интегрируемые функции в одном измерении

Кусочно-гладкая; одно измерение

Если функция абсолютно интегрируема в одном измерении (т. Е. ${ Displaystyle е в L ^ {1} ( mathbb {R})}$) и является кусочно гладким, то справедлива версия теоремы обращения Фурье. В этом случае мы определяем

${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1} g (x): = lim _ {R to infty} int _ {- R} ^ {R} e ^ {2 pi ix xi} , g ( xi) , d xi.}$

Тогда для всех ${ Displaystyle х in mathbb {R}}$

${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1} ({ mathcal {F}} f) (x) = { frac {1} {2}} (f (x _ {-}) + f ( х _ {+})),}$

т.е. ${ Displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1} ({ mathcal {F}} f) (x)}$ равно среднему значению левого и правого пределов ${ displaystyle f}$ в ${ displaystyle x}$. В точках, где ${ displaystyle f}$ непрерывно это просто равно ${ displaystyle f (x)}$.

Имеет место и многомерный аналог этой формы теоремы, но, согласно Folland (1992), он «довольно тонкий и не очень полезный».

Кусочно-непрерывный; одно измерение

Если функция абсолютно интегрируема в одном измерении (т. Е. ${ Displaystyle е в L ^ {1} ( mathbb {R})}$), но просто кусочно-непрерывный, то версия теоремы об обращении Фурье все еще верна. В этом случае интеграл в обратном преобразовании Фурье определяется с помощью гладкой, а не точной отсекающей функции; конкретно мы определяем

${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1} g (x): = lim _ {R to infty} int _ { mathbb {R}} varphi ( xi / R) , e ^ {2 pi ix xi} , g ( xi) , d xi, qquad varphi ( xi): = e ^ {- xi ^ {2}}.}.$

Заключение теоремы тогда такое же, как и для рассмотренного выше кусочно-гладкого случая.

Непрерывный; любое количество измерений

Если ${ displaystyle f}$ непрерывна и абсолютно интегрируема на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ то теорема об обращении Фурье все еще остается в силе, пока мы снова определяем обратное преобразование с гладкой функцией отсечения, т.е.

${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1} g (x): = lim _ {R to infty} int _ { mathbb {R} ^ {n}} varphi ( xi / R) , e ^ {2 pi ix cdot xi} , g ( xi) , d xi, qquad varphi ( xi): = e ^ {- vert xi vert ^ {2}}.}$

Вывод просто таков, что для всех ${ Displaystyle х в mathbb {R} ^ {п}}$

${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1} ({ mathcal {F}} f) (x) = f (x).}$

Нет условия регулярности; любое количество измерений

Если отбросить все предположения о (кусочной) непрерывности ${ displaystyle f}$ и предположим просто, что она абсолютно интегрируема, тогда версия теоремы все еще верна. Обратное преобразование снова определяется с помощью гладкого обрезания, но с заключением, что

${ Displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1} ({ mathcal {F}} f) (x) = f (x)}$

за почти каждый ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {n}.}$ ^[1]

Квадратные интегрируемые функции

В этом случае преобразование Фурье не может быть определено напрямую как интеграл, поскольку оно может не быть абсолютно сходящимся, поэтому вместо этого оно определяется аргументом плотности (см. Статья о преобразовании Фурье ). Например, положив

${ displaystyle g_ {k} ( xi): = int _ { {y in mathbb {R} ^ {n}: left vert y right vert leq k }} e ^ { -2 pi iy cdot xi} , f (y) , dy, qquad k in mathbb {N},}$

мы можем установить ${ displaystyle textstyle { mathcal {F}} f: = lim _ {k to infty} g_ {k}}$ где предел взят в ${ displaystyle L ^ {2}}$-норма. Обратное преобразование может быть определено посредством плотности таким же образом или путем определения его в терминах преобразования Фурье и оператора переворота. Тогда у нас есть

${ displaystyle f (x) = { mathcal {F}} ({ mathcal {F}} ^ {- 1} f) (x) = { mathcal {F}} ^ {- 1} ({ mathcal {F}} f) (x)}$

в среднеквадратичная норма. В одном измерении (и только в одном измерении) можно также показать, что оно сходится для почти каждый Икс∈ℝ- это Теорема Карлесона, но доказать гораздо труднее, чем сходимость в среднеквадратичной норме.

Закаленные дистрибутивы

Преобразование Фурье может быть определено в пространстве умеренных распределений ${ Displaystyle { mathcal {S}} '( mathbb {R} ^ {n})}$ двойственностью преобразования Фурье на пространстве функций Шварца. Специально для ${ displaystyle f in { mathcal {S}} '( mathbb {R} ^ {n})}$ и для всех тестовых функций ${ displaystyle varphi in { mathcal {S}} ( mathbb {R} ^ {n})}$ мы установили

${ displaystyle langle { mathcal {F}} f, varphi rangle: = langle f, { mathcal {F}} varphi rangle,}$

куда ${ Displaystyle { mathcal {F}} varphi}$ определяется с помощью интегральной формулы. Если ${ displaystyle f in L ^ {1} ( mathbb {R} ^ {n}) cap L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {n})}$ тогда это согласуется с обычным определением. Мы можем определить обратное преобразование ${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {- 1} двоеточие { mathcal {S}} '( mathbb {R} ^ {n}) to { mathcal {S}}' ( mathbb { R} ^ {n})}$либо путем двойственности из обратного преобразования функций Шварца таким же образом, либо путем определения его в терминах оператора переворота (где оператор переворота определяется двойственностью). Тогда у нас есть

${ displaystyle { mathcal {F}} { mathcal {F}} ^ {- 1} = { mathcal {F}} ^ {- 1} { mathcal {F}} = operatorname {Id} _ { { mathcal {S}} '( mathbb {R} ^ {n})}.}.$

Связь с рядами Фурье

При рассмотрении ряда Фурье функции принято масштабировать ее так, чтобы она действовала на ${ displaystyle [0,2 pi]}$ (или есть ${ displaystyle 2 pi}$-периодический). В этом разделе мы вместо этого используем несколько необычное соглашение: ${ displaystyle f}$ действовать на ${ displaystyle [0,1]}$, поскольку это соответствует соглашению о преобразовании Фурье, используемом здесь.

Теорема обращения Фурье аналогична теореме сходимость ряда Фурье. В случае преобразования Фурье имеем

${ displaystyle f двоеточие mathbb {R} ^ {n} to mathbb {C}, quad { hat {f}} двоеточие mathbb {R} ^ {n} to mathbb {C} ,}$

${ displaystyle { hat {f}} ( xi): = int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- 2 pi iy cdot xi} , f (y) , dy,}$

${ Displaystyle е (х) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} е ^ {2 pi ix cdot xi} , { hat {f}} ( xi) , d xi.}$

Вместо этого в случае рядов Фурье имеем

${ displaystyle f двоеточие [0,1] ^ {n} to mathbb {C}, quad { hat {f}} двоеточие mathbb {Z} ^ {n} to mathbb {C} ,}$

${ displaystyle { hat {f}} (k): = int _ {[0,1] ^ {n}} e ^ {- 2 pi iy cdot k} , f (y) , dy ,}$

${ displaystyle f (x) = sum _ {k in mathbb {Z} ^ {n}} e ^ {2 pi ix cdot k} , { hat {f}} (k).}$

В частности, в одном измерении ${ Displaystyle к в mathbb {Z}}$ и сумма исчисляется от ${ displaystyle - infty}$ к ${ displaystyle infty}$.

Приложения

Некоторые проблемы, такие как определенные дифференциальные уравнения, становится легче решать, когда применяется преобразование Фурье. В этом случае решение исходной задачи восстанавливается с помощью обратного преобразования Фурье.

В применения преобразования Фурье теорема обращения Фурье часто играет решающую роль. Во многих ситуациях основная стратегия заключается в применении преобразования Фурье, выполнении некоторых операций или упрощений, а затем применении обратного преобразования Фурье.

Говоря более абстрактно, теорема обращения Фурье - это утверждение о преобразовании Фурье как о оператор (видеть Преобразование Фурье на функциональных пространствах ). Например, теорема обращения Фурье о ${ Displaystyle е в L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {n})}$ показывает, что преобразование Фурье является унитарным оператором на ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {n})}$.

Свойства обратного преобразования

Обратное преобразование Фурье очень похоже на исходное преобразование Фурье: как обсуждалось выше, оно отличается только применением оператора переворота. По этой причине свойства преобразования Фурье справедливы для обратного преобразования Фурье, такого как Теорема свертки и Лемма Римана – Лебега..

Таблицы преобразований Фурье можно легко использовать для обратного преобразования Фурье, составив функцию поиска с помощью оператора переворота. Например, просматривая преобразование Фурье функции rect, мы видим, что

${ displaystyle f (x) = operatorname {rect} (ax) quad Rightarrow quad ({ mathcal {F}} f) ( xi) = { frac {1} {| a |}} имя оператора {sinc} left ({ frac { xi} {a}} right) !,}$

поэтому соответствующий факт для обратного преобразования равен

${ displaystyle g ( xi) = operatorname {rect} (a xi) quad Rightarrow quad ({ mathcal {F}} ^ {- 1} g) (x) = { frac {1} {| a |}} operatorname {sinc} left (- { frac {x} {a}} right) !.}$

Доказательство

Доказательство использует несколько фактов, учитывая ${ displaystyle f (y)}$ и ${ Displaystyle { mathcal {F}} е ( xi) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- 2 pi iy cdot xi} f (y) , dy }$.

1. Если ${ Displaystyle х в mathbb {R} ^ {п}}$ и ${ Displaystyle г ( xi) = e ^ {2 pi mathrm {i} x cdot xi} psi ( xi)}$, тогда ${ displaystyle ({ mathcal {F}} g) (y) = ({ mathcal {F}} psi) (y-x)}$.
2. Если ${ Displaystyle varepsilon in mathbb {R}}$ и ${ Displaystyle psi ( xi) = varphi ( varepsilon xi)}$, тогда ${ displaystyle ({ mathcal {F}} psi) (y) = ({ mathcal {F}} varphi) (y / varepsilon) / | varepsilon |}$.
3. За ${ displaystyle f, g in L ^ {1} ( mathbb {R} ^ {n})}$, Теорема Фубини подразумевает, что ${ Displaystyle textstyle int g ( xi) cdot ({ mathcal {F}} f) ( xi) , d xi = int ({ mathcal {F}} g) (y) cdot f (y) , dy}$.
4. Определять ${ Displaystyle varphi ( xi) = e ^ {- pi vert xi vert ^ {2}}}$; тогда ${ Displaystyle ({ mathcal {F}} varphi) (y) = varphi (y)}$.
5. Определять ${ Displaystyle varphi _ { varepsilon} (y) = varphi (y / varepsilon) / varepsilon ^ {n}}$. Затем с ${ displaystyle ast}$ обозначающий свертка, ${ displaystyle varphi _ { varepsilon}}$ является приближение к тождеству: для любого непрерывного ${ Displaystyle е в L ^ {1} ( mathbb {R} ^ {n})}$ и указать ${ Displaystyle х в mathbb {R} ^ {п}}$, ${ displaystyle lim _ { varepsilon to 0} ( varphi _ { varepsilon} ast f) (x) = f (x)}$ (где сходимость поточечная).

Поскольку по предположению ${ Displaystyle { mathcal {F}} е в L ^ {1} ( mathbb {R} ^ {n})}$, то следует теорема о доминируемой сходимости который

${ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 pi ix cdot xi} ({ mathcal {F}} f) ( xi) , d xi = lim _ { varepsilon to 0} int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- pi varepsilon ^ {2} | xi | ^ {2} +2 pi ix cdot xi} ({ mathcal {F}} f) ( xi) , d xi.}$

Определять ${ displaystyle g_ {x} ( xi) = e ^ {- pi varepsilon ^ {2} vert xi vert ^ {2} +2 pi mathrm {i} x cdot xi}}$. Применяя факты 1, 2 и 4, если необходимо, многократно для кратных интегралов, получаем

${ displaystyle ({ mathcal {F}} g_ {x}) (y) = { frac {1} { varepsilon ^ {n}}} e ^ {- { frac { pi} { varepsilon ^ {2}}} | xy | ^ {2}} = varphi _ { varepsilon} (xy).}$

Используя факт 3 о ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g_ {x}}$, для каждого ${ Displaystyle х в mathbb {R} ^ {п}}$, у нас есть

${ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- pi varepsilon ^ {2} | xi | ^ {2} +2 pi ix cdot xi} ({ mathcal {F}} f) ( xi) , d xi = int _ { mathbb {R} ^ {n}} { frac {1} { varepsilon ^ {n}}} e ^ {- { frac { pi} { varepsilon ^ {2}}} | xy | ^ {2}} f (y) , dy = ( varphi _ { varepsilon} * f) (x),}$

свертка ${ displaystyle f}$ с примерной тож. Но с тех пор ${ Displaystyle е в L ^ {1} ( mathbb {R} ^ {n})}$, факт 5 говорит, что

${ displaystyle lim _ { varepsilon to 0} ( varphi _ { varepsilon} * f) (x) = f (x).}$

Объединив все вышесказанное, мы показали, что

${ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 pi ix cdot xi} ({ mathcal {F}} f) ( xi) , d xi = f (х). qquad square}$

Примечания

Рекомендации

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Январь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

• Фолланд, Г.Б. (1992). Фурье-анализ и его приложения. Белмонт, Калифорния, США: Уодсворт. ISBN  0-534-17094-3.
• Фолланд, Г.Б. (1995). Введение в уравнения с частными производными (2-е изд.). Принстон, США: Princeton Univ. Нажмите. ISBN  978-0-691-04361-6.