Теорема Карлесона - Википедия - Carlesons theorem

Теорема Карлесона фундаментальный результат в математический анализ создание точечно (Лебег ) почти везде конвергенция из Ряд Фурье из L² функции, доказано Леннарт Карлесон (1966 ). Имя также часто используется для обозначения расширения результата с помощью Ричард Хант (1968 ) к L^п функции для п ∈ (1, ∞] (также известный как Теорема Карлесона – Ханта) и аналогичные результаты для поточечной сходимости почти всюду Интегралы Фурье, эквивалентность которой можно показать с помощью методов переноса.

Формулировка теоремы

Результат в форме его расширения Хантом можно формально сформулировать следующим образом:

Позволять ƒ быть L^п периодическая функция для некоторых п ∈ (1, ∞], причем Коэффициенты Фурье

{ displaystyle { hat {f}} (п)}

. потом

{ displaystyle lim _ {N rightarrow infty} sum _ {| n | leq N} { hat {f}} (n) e ^ {inx} = f (x)}

почти для каждогоИкс.

Аналогичный результат для интегралов Фурье формально можно сформулировать следующим образом:

Позволять ƒ ∈ L^п(р) для некоторых п ∈ (1, 2] имеют преобразование Фурье

{ Displaystyle { шляпа {f}} ( xi)}

. потом

{ displaystyle lim _ {R rightarrow infty} int _ {| xi | leq R} { hat {f}} ( xi) e ^ {2 pi ix xi} , d xi = f (x)}

за почти каждый Икс ∈ р.

История

Фундаментальный вопрос о рядах Фурье, заданный самим Фурье в начале XIX века, заключается в том, сходится ли ряд Фурье непрерывной функции точечно к функции.

Слегка усилив предположение непрерывности, легко показать, что ряд Фурье всюду сходится. Например, если функция имеет ограниченная вариация то его ряд Фурье всюду сходится к локальному среднему функции. В частности, если функция непрерывно дифференцируема, то ее ряд Фурье сходится к ней всюду. Это было доказано Дирихле, который выразил уверенность в том, что вскоре он сможет распространить свой результат на все непрерывные функции. Другой способ добиться сходимости везде - это изменить метод суммирования. Например, Теорема Фейера показывает, что если заменить обычное суммирование на Чезаро суммирование то ряд Фурье любой непрерывной функции равномерно сходится к функции. Далее, легко показать, что ряд Фурье любого L² функция сходится к нему в L² норма.

После результата Дирихле несколько экспертов, включая Дирихле, Римана, Вейерштрасса и Дедекинда, заявили о своей уверенности в том, что ряд Фурье любой непрерывной функции будет везде сходиться. Это было опровергнуто Поль дю Буа-Реймон, который показал в 1876 г., что существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится в одной точке.

Сходимость почти всюду рядов Фурье при L² функции были постулированы Н. Н. Лузин (1915 ), и проблема была известна как Гипотеза Лузина (до его доказательства Карлесон (1966) ). Колмогорова (1923) показал, что аналог результата Карлесона для L¹ неверно, если найти такую функцию, ряд Фурье которой расходится почти всюду (в 1926 г. был немного улучшен до расходящегося повсюду). До результата Карлесона наиболее известная оценка частичных сумм s_п ряда Фурье функции из L^п был

{ displaystyle s_ {n} (x) = o ( log (n) ^ {1 / p}) { text {почти везде}}, ,}

доказано Колмогоровым – Селиверстовым – Плесснером для п = 2, по Г. Х. Харди за п = 1 и Литтлвуда – Пэли для п > 1 (Зигмунд 2002 ). Этот результат не улучшался в течение нескольких десятилетий, что заставило некоторых экспертов подозревать, что он был наилучшим из возможных и что гипотеза Лузина была ложной. Контрпример Колмогорова в L¹ был неограничен в любом интервале, но считалось, что обнаружение непрерывного контрпримера - лишь вопрос времени. Карлесон сказал в интервью Рауссен и Скау (2007) что он начал с попытки найти непрерывный контрпример и в какой-то момент подумал, что у него есть метод, который его построит, но в конце концов понял, что его подход не может работать. Затем он попытался вместо этого доказать гипотезу Лузина, поскольку неудача его контрпримера убедила его, что, вероятно, это правда.

Первоначальное доказательство Карлесона исключительно трудно читать, и, хотя некоторые авторы упростили рассуждение, до сих пор нет простых доказательств его теоремы. Карлесон (1966) включают Кахане (1995), Моззочи (1971), Jørsboe и Mejlbro (1982), и Ариас де Рейна (2002).Чарльз Фефферман (1973 ) опубликовал новое доказательство расширения Ханта, которое продолжалось путем ограничения максимальный оператор. Это, в свою очередь, привело к значительно упрощенному доказательству L² результат Майкл Лэйси и Кристоф Тиле (2000 ), более подробно объясненное в Лэйси (2004). Книги Фремлин (2003) и Графакос (2009) также приведем доказательства теоремы Карлесона.

Кацнельсон (1966) показал, что для любого множества меры 0 существует непрерывная периодическая функция, ряд Фурье которой расходится во всех точках множества (и, возможно, в других местах). В сочетании с теоремой Карлесона это показывает, что существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится во всех точках данного набора действительных чисел тогда и только тогда, когда это множество имеет меру 0.

Распространение теоремы Карлесона на L^п за п > 1 было заявлено как "довольно очевидное" продолжение дела п = 2 в работе Карлесона и было доказано Охота (1968). Результат Карлесона был улучшен еще наШёлин (1971) в космос Lбревно₊(L)бревно₊бревно₊(L) и Антонов (1996) в космос Lбревно₊(L)бревно₊бревно₊бревно₊(L). (Здесь журнал₊(L) - это журнал (L) если L> 1 и 0 в противном случае, и если φ - функция, то φ (L) обозначает пространство функций ж такое, что φ (|ж(Икс) |) интегрируемо.)

Конягин (2000) улучшил контрпример Колмогорова, найдя функции со всюду расходящимися рядами Фурье в пространстве, немного превышающем Lбревно₊(L)^1/2Можно спросить, существует ли в каком-то смысле наибольшее естественное пространство функций, ряды Фурье которых сходятся почти всюду. Самый простой кандидат на такое пространство, который согласуется с результатами Антонова и Конягина, - это Lбревно₊(L).

Распространение теоремы Карлесона на ряды Фурье и интегралы от нескольких переменных усложняется, поскольку существует множество различных способов суммирования коэффициентов; например, можно суммировать увеличивающиеся шары или увеличивающиеся прямоугольники. Сходимость прямоугольных частичных сумм (и действительно общих многоугольных частичных сумм) следует из одномерного случая, но проблема сферического суммирования остается открытой для L².

Оператор Карлесона

Оператор Карлесона C - нелинейный оператор, определяемый формулой

{ Displaystyle Cf (x) = sup _ {N} left | int _ {- N} ^ {N} { hat {f}} (y) e ^ {2 pi ixy} , dy право |}

Относительно легко показать, что теорема Карлесона – Ханта следует из ограниченность оператора Карлесона из L^п(р) себе при 1 <п <∞, однако доказать его ограниченность сложно, и Карлесон именно это и доказал.

Смотрите также

Сходимость рядов Фурье.

Теорема Карлесона - Википедия - Carlesons theorem

Содержание

Формулировка теоремы

История

Оператор Карлесона

Смотрите также

Рекомендации