Тригонометрический ряд - Википедия - Trigonometric series

В математике тригонометрический ряд это серии формы:

${ displaystyle { frac {A_ {0}} {2}} + displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} (A_ {n} cos {nx} + B_ {n} sin { nx}).}$

Это называется Ряд Фурье если условия ${ displaystyle A_ {n}}$ и ${ displaystyle B_ {n}}$ имеют вид:

${ displaystyle A_ {n} = { frac {1} { pi}} displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} ! f (x) cos {nx} , dx qquad ( п = 0,1,2,3 точки)}$

${ displaystyle B_ {n} = { frac {1} { pi}} displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} ! f (x) sin {nx} , dx qquad ( п = 1,2,3, точки)}$

куда ${ displaystyle f}$ является интегрируемая функция.

Нули тригонометрического ряда

Уникальность и нули тригонометрических рядов были активной областью исследований в Европе 19 века. Первый, Георг Кантор доказал, что если тригонометрический ряд сходится к функции ${ displaystyle f (x)}$ на интервале ${ displaystyle [0,2 pi]}$, который тождественно равен нулю или, в более общем смысле, отличен от нуля не более чем в конечном числе точек, то все коэффициенты ряда равны нулю.^[1]

Позднее Кантор доказал, что даже если множество S на котором ${ displaystyle f}$ отлично от нуля бесконечно, но производный набор S ' из S конечно, то все коэффициенты равны нулю. Фактически, он доказал более общий результат. Позволять S₀ = S и разреши S_{к + 1} быть производный набор из S_k. Если есть конечное число п для которого S_п конечно, то все коэффициенты равны нулю. Позже Лебег доказал, что если существует счетно бесконечное порядковый α такой, что S_α конечна, то все коэффициенты ряда равны нулю. Известно, что работа Кантора над проблемой уникальности привела его к изобретению трансфинитный порядковые номера, которые появились как индексы α в S_α .^[2]

Рекомендации