Производное множество (математика) - Derived set (mathematics)

В математике, а точнее в точечная топология, то производный набор подмножества $S$ из топологическое пространство это набор всех предельные точки из $S$ . Обычно обозначается как $S'$ .

Концепция была впервые представлена Георг Кантор в 1872 г. и разработал теория множеств в значительной степени для изучения производных множеств на реальная линия.

Примеры

Учитывать ℝ с обычная топология. Если $А$ полуоткрытый интервал [0,1), то производное множество $А '$ - отрезок [0,1].
Учитывать ℝ с топология (открытые множества), состоящие из пустой набор и любое подмножество ℝ который содержит 1. Если $А$ = {1}, тогда $А '$ = ℝ - {1}.^[1]

Характеристики

Если $А$ и $B$ являются подмножествами топологического пространства ${ displaystyle (X, { mathcal {F}})}$ , то производный набор имеет следующие свойства:^[2]

${ Displaystyle emptyset '= emptyset}$
${ displaystyle a in A ' подразумевает a in (A setminus {a })'}$
${ Displaystyle (A чашка B) '= A' чашка B '}$
${ displaystyle A substeq B подразумевает A ' substeq B'}$

Подмножество $S$ топологического пространства закрыто именно когда $S' \subseteq S$ ,^[1] то есть когда $S$ содержит все его предельные точки. Для любого подмножества $S$ , набор $S \cup S '$ закрыто и является закрытие из $S$ (= $S$ ).^[3]

Производный набор подмножества пространства $Икс$ не нужно закрывать вообще. Например, если ${ Displaystyle Х = {а, Ь }}$ с тривиальная топология, набор ${ Displaystyle S = {а }}$ получил набор ${ Displaystyle S '= {Ь }}$ , которая не закрывается в $Икс$ . Но производное множество замкнутого множества всегда закрыто. (Доказательство: Предполагая $S$ является замкнутым подмножеством $Икс$ , т.е. ${ Displaystyle S ' substeq S}$ , возьмите производное множество с обеих сторон, чтобы получить ${ Displaystyle S '' substeq S '}$ , т.е. ${ displaystyle S '}$ закрыт в $Икс$ .) Кроме того, если $Икс$ это Т₁ Космос, производное множество каждого подмножества $Икс$ закрыт в $Икс$ .^[4]^[5]

Два подмножества $S$ и $Т$ находятся отделенный именно тогда, когда они непересекающийся и каждый из них не пересекается с производным набором другого (хотя производные множества не обязательно должны быть отделены друг от друга). Это условие часто с использованием замыканий записывается как

{ displaystyle left (S cap { bar {T}} right) cup left ({ bar {S}} cap T right) = emptyset,}

и известен как Условие разделения Хаусдорфа-Леннеса.^[6]

А биекция между двумя топологическими пространствами есть гомеоморфизм тогда и только тогда, когда производный набор изображения (во втором пространстве) любого подмножества первого пространства является изображением производного набора этого подмножества.^[7]

Пространство - это Т₁ Космос если каждое подмножество, состоящее из одной точки, замкнуто.^[8] В Т₁ пространство, производное множество набора, состоящего из одного элемента, пусто (пример 2 выше не является T₁ Космос). Отсюда следует, что в T₁ пространств, производное множество любого конечного множества пусто и, более того,

{ Displaystyle (S - {p }) '= S' = (S чашка {p }) ',}

для любого подмножества $S$ и любой момент $п$ пространства. Другими словами, производное множество не изменяется при добавлении или удалении из данного набора конечного числа точек.^[9] Также можно показать, что в T₁ Космос, $(S')' \subseteq S '$ для любого подмножества $S$ .^[10]

Множество $S$ с $S \subseteq S'$ называется плотный в себе и не может содержать изолированные точки. Множество $S$ с $S = S '$ называется идеально.^[11] Эквивалентно совершенное множество - это замкнутое плотное в себе множество или, другими словами, замкнутое множество без изолированных точек. Совершенные наборы особенно важны в приложениях Теорема Бэра о категории.

В Теорема Кантора – Бендиксона заявляет, что любой Польское пространство можно записать как объединение счетного множества и совершенного множества. Потому что любой грамм_δ подмножество польского пространства снова польское пространство, теорема также показывает, что любое G_δ подмножество польского пространства - это объединение счетного множества и множества, совершенного относительно индуцированная топология.

Топология в терминах производных множеств

Поскольку гомеоморфизмы могут быть описаны полностью в терминах производных множеств, производные множества использовались как примитивное понятие в топология. Набор точек Икс может быть укомплектован оператором S ↦ S^* отображение подмножеств Икс к подмножествам Икс, такое, что для любого набора S и любой момент а:

${ Displaystyle emptyset ^ {*} = emptyset}$
${ Displaystyle S ^ {**} substeq S ^ {*} чашка S}$
${ displaystyle a in S ^ {*} подразумевает a in (S setminus {a }) ^ {*}}$
${ Displaystyle (S чашка T) ^ {*} substeq S ^ {*} чашка T ^ {*}}$
${ displaystyle S substeq T подразумевает S ^ {*} substeq T ^ {*}}$

Вызов набора $S$ закрыто если $S * \subseteq S$ определит топологию на пространстве, в котором $S \mapsto S *$ является оператором производного множества, то есть $S * = S '$ .

Ранг Кантора – Бендиксона

За порядковые номера α, то α-го Производная Кантора – Бендиксона топологического пространства определяется повторным применением операции производного множества с использованием трансфинитная индукция следующее:

${ displaystyle displaystyle X ^ {0} = X}$
${ Displaystyle Displaystyle X ^ { альфа +1} = (X ^ { альфа}) '}$
${ displaystyle displaystyle X ^ { lambda} = bigcap _ { alpha < lambda} X ^ { alpha}}$ за предельные порядковые номера λ.

Трансфинитная последовательность производных Кантора – Бендиксона от Икс в конечном итоге должно быть постоянным. Самый маленький порядковый номер α такой, что Икс^α+1 = Икс^α называется Ранг Кантора – Бендиксона из Икс.

Смотрите также

Точка прикрепления - Точка, которая принадлежит замыканию некоторого заданного подмножества топологического пространства.
Точка конденсации
Изолированная точка
Предельная точка - Точка Икс в топологическом пространстве, все окрестности которого содержат точку в данном подмножестве, отличную от Икс.

Примечания

^ ^а ^б Бейкер 1991, п. 41 год
^ Первин 1964, стр.38
^ Бейкер 1991, п. 42
^ Engelking 1989, п. 47
^ https://math.stackexchange.com/a/940849/52912
^ Первин 1964, п. 51
^ Хокинг, Джон Дж .; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология, Дувр, стр.4, ISBN 0-486-65676-4
^ Первин 1964, п. 70
^ Куратовский 1966, стр.77
^ Куратовский 1966, стр.76
^ Первин 1964, п. 62

дальнейшее чтение

Кечрис, Александр С. (1995). Классическая описательная теория множеств (Тексты для выпускников по математике 156-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-94374-9.
Серпинский, Вацлав Ф.; переведено Кригер, К. Сесилия (1952). Общая топология. Университет Торонто Нажмите.

внешняя ссылка

Статья PlanetMath о производной Кантора – Бендиксона

[Baker41-1] а ^б Бейкер 1991, п. 41 год

[2] Первин 1964, стр.38

[3] Бейкер 1991, п. 42

[4] Engelking 1989, п. 47

[5] ttps://math.stackexchange.com/a/940849/52912

[6] Первин 1964, п. 51

[7] Хокинг, Джон Дж .; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология, Дувр, стр.4, ISBN 0-486-65676-4

[8] Первин 1964, п. 70

[9] Куратовский 1966, стр.77

[10] Куратовский 1966, стр.76

[11] Первин 1964, п. 62

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]