Плотность в себе - Википедия - Dense-in-itself

В общая топология, подмножество ${ displaystyle A}$ из топологическое пространство как говорят плотный в себе^[1]^[2] или переполненный^[3]^[4]если ${ displaystyle A}$ не имеет изолированная точка.Эквивалентно ${ displaystyle A}$ плотно в себе, если каждая точка ${ displaystyle A}$ это предельная точка из ${ displaystyle A}$ .Таким образом ${ displaystyle A}$ плотно в себе тогда и только тогда, когда ${ displaystyle A substeq A '}$ , куда ${ displaystyle A '}$ это производный набор из ${ displaystyle A}$ .

Плотный в себе закрытый набор называется идеальный набор. (Другими словами, совершенное множество - это замкнутое множество без изолированной точки.)

Понятие плотный набор не имеет отношения к плотный в себе. Иногда это может сбивать с толку, поскольку «X плотно в X» (всегда верно) не то же самое, что «X плотно в себе» (нет изолированной точки).

Примеры

Простым примером множества, которое плотно в себе, но не замкнуто (и, следовательно, не является совершенным множеством), является подмножество иррациональные числа (рассматривается как подмножество действительные числа ). Этот набор плотен сам по себе, потому что каждый район иррационального числа ${ displaystyle x}$ содержит хотя бы одно иррациональное число ${ displaystyle y neq x}$ . С другой стороны, набор иррациональных чисел не замкнут, потому что каждый Рациональное число лежит в его закрытие. По аналогичным причинам набор рациональных чисел (также рассматриваемый как подмножество действительные числа ) также плотно в себе, но не замкнуто.

Приведенные выше примеры, иррациональные и рациональные формулы также являются плотные множества в их топологическом пространстве, а именно ${ Displaystyle mathbb {R}}$ . В качестве примера, плотного в себе, но не плотного в своем топологическом пространстве, рассмотрим ${ Displaystyle mathbb {Q} cap [0,1]}$ . Это множество не плотно в ${ Displaystyle mathbb {R}}$ но плотно в себе.

Свойства

Объединение любого семейства плотных в себе подмножеств пространства $Икс$ плотно в себе.^[5]
В топологическом пространстве пересечение открытого множества и множества плотных в себе плотно в себе.
В топологическом пространстве замыкание самого плотного множества является совершенным множеством.^[6]

Смотрите также

Примечания

^ Steen & Seebach, стр. 6
^ Engelking, p. 25
^ http://www.topo.auburn.edu/tp/reprints/v21/tp21008.pdf
^ https://www.researchgate.net/publication/228597275_a-Scattered_spaces_II
^ Энгелькинг, 1.7.10, с. 59
^ Куратовский, с. 77

Плотность в себе - Википедия - Dense-in-itself

Содержание

Примеры

Свойства

Смотрите также

Примечания

Рекомендации