Общая топология - General topology

В Синусоидальная кривая тополога, полезный пример в точечной топологии. Он подключен, но не подключен по пути.

В математика, общая топология это филиал топология это касается основных теоретико-множественный определения и конструкции, используемые в топологии. Это основа большинства других ветвей топологии, включая дифференциальная топология, геометрическая топология, и алгебраическая топология. Другое название общей топологии - точечная топология.

Основные понятия точечной топологии: непрерывность, компактность, и связность:

• Непрерывные функции интуитивно переходите от ближайших точек к ближайшим точкам.
• Компактные наборы те, которые могут быть покрыты конечным числом множеств сколь угодно малого размера.
• Связанные наборы - это наборы, которые нельзя разделить на две части, находящиеся далеко друг от друга.

Слова «рядом», «сколь угодно малый» и «далеко друг от друга» можно уточнить с помощью концепции открытые наборы. Если мы изменим определение «открытого множества», мы изменим, что такое непрерывные функции, компактные множества и связные множества. Каждый выбор определения «открытого множества» называется топология. Набор с топологией называется топологическое пространство.

Метрические пространства являются важным классом топологических пространств, где существует реальное неотрицательное расстояние, также называемое метрика, можно определить на парах точек в множестве. Наличие метрики упрощает многие доказательства, и многие из наиболее распространенных топологических пространств являются метрическими пространствами.

История

Общая топология выросла из нескольких областей, в первую очередь из следующих:

• детальное изучение подмножеств реальная линия (когда-то известный как топология точечных множеств; это использование теперь устарело)
• введение многообразие концепция
• изучение метрические пространства, особенно нормированные линейные пространства, в первые дни функциональный анализ.

Общая топология приняла свой нынешний вид примерно в 1940 году. Она улавливает, можно сказать, почти все, что есть в интуиции. непрерывность в технически адекватной форме, которая может быть применена в любой области математики.

Топология на множестве

Позволять Икс быть набором и пусть τ быть семья из подмножества из Икс. потом τ называется топология на X если:^[1][2]

1. Оба пустой набор и Икс являются элементами τ
2. Любые союз элементов τ является элементом τ
3. Любые пересечение конечного числа элементов τ является элементом τ

Если τ топология на Икс, то пара (Икс, τ) называется топологическое пространство. Обозначение Икс_τ может использоваться для обозначения набора Икс наделенный определенной топологией τ.

Члены τ называются открытые наборы в Икс. Подмножество Икс как говорят закрыто если это дополнять в τ (т.е. его дополнение открыто). Подмножество Икс могут быть открытые, закрытые, оба (Clopen набор ) или ни то, ни другое. Пустой набор и Икс сами всегда закрыты и открыты.

Основа для топологии

А основание (или же основа) B для топологическое пространство Икс с топология Т это собрание открытые наборы в Т так что каждый открытый набор в Т можно записать как объединение элементов B.^[3][4] Мы говорим, что база генерирует топология Т. Базы полезны, потому что многие свойства топологий могут быть сведены к утверждениям о базе, которая генерирует эту топологию, и потому что многие топологии проще всего определить в терминах базы, которая их генерирует.

Подпространство и фактор

Каждому подмножеству топологического пространства можно дать топология подпространства в котором открытые множества являются пересечениями открытых множеств большего пространства с подмножеством. Для любого индексированная семья топологических пространств, произведению можно дать топология продукта, который порождается прообразами открытых множеств множителей при проекция сопоставления. Например, в конечных продуктах основу топологии продукта составляют все продукты открытых множеств. Для бесконечных произведений существует дополнительное требование, чтобы в базовом открытом множестве все его проекции, кроме конечного числа, составляли все пространство.

А факторное пространство определяется следующим образом: если Икс является топологическим пространством и Y это множество, а если ж : Икс→ Y это сюръективный функция, то фактор-топология на Y это набор подмножеств Y которые открыты обратные изображения под ж. Другими словами, фактор-топология - это лучшая топология на Y для которого ж непрерывно. Типичный пример факторной топологии - когда отношение эквивалентности определено на топологическом пространстве Икс. Карта ж тогда естественная проекция на множество классы эквивалентности.

Примеры топологических пространств

У данного набора может быть много разных топологий. Если набору задается другая топология, он рассматривается как другое топологическое пространство.

Дискретные и тривиальные топологии

Любому набору можно придать дискретная топология, в котором открыто каждое подмножество. Единственными сходящимися последовательностями или цепями в этой топологии являются те, которые в конечном итоге являются постоянными. Также любому набору можно придать тривиальная топология (также называемая недискретной топологией), в которой открыты только пустое множество и все пространство. Каждая последовательность и сеть в этой топологии сходится к каждой точке пространства. Этот пример показывает, что в общих топологических пространствах пределы последовательностей не обязательно должны быть уникальными. Однако часто топологические пространства необходимо Хаусдорфовы пространства где предельные точки единственны.

Конфинитные и сокосчетные топологии

Любому набору можно придать конфинитная топология в котором открытые множества - это пустое множество и множества, дополнение которых конечно. Это самый маленький Т₁ топология на любом бесконечном множестве.

Любому набору можно придать составная топология, в котором набор определяется как открытый, если он либо пуст, либо его дополнение счетно. Когда набор неисчислим, эта топология служит контрпримером во многих ситуациях.

Топологии на действительные и комплексные числа

Есть много способов определить топологию на р, набор действительные числа. Стандартная топология на р генерируется открытые интервалы. Множество всех открытых интервалов образует основание или основа для топологии, означающая, что каждое открытое множество является объединением некоторого набора множеств из базы. В частности, это означает, что набор является открытым, если существует открытый интервал ненулевого радиуса вокруг каждой точки набора. В более общем плане Евклидовы пространства р^п можно задать топологию. В обычной топологии на р^п основные открытые наборы - открытые мячи. Так же, C, набор сложные числа, и C^п имеют стандартную топологию, в которой основные открытые множества являются открытыми шарами.

Реальной линии также можно присвоить топология нижнего предела. Здесь основные открытые множества - это полуоткрытые интервалы [а, б). Эта топология на р строго более тонкая, чем определенная выше евклидова топология; последовательность сходится к точке в этой топологии тогда и только тогда, когда она сходится сверху в евклидовой топологии. Этот пример показывает, что в наборе может быть определено множество различных топологий.

Метрическая топология

Каждые метрическое пространство может быть дана метрическая топология, в которой основные открытые множества являются открытыми шарами, определяемыми метрикой. Это стандартная топология на любом нормированное векторное пространство. О конечномерном векторное пространство эта топология одинакова для всех норм.

Дальнейшие примеры

• Существует множество топологий на любой заданной конечный набор. Такие пространства называются конечные топологические пространства. Конечные пространства иногда используются в качестве примеров или контрпримеров для гипотез о топологических пространствах в целом.
• Каждые многообразие имеет естественная топология, поскольку он локально евклидов. Точно так же каждый симплекс и каждый симплициальный комплекс наследует естественную топологию от р^п.
• В Топология Зарисского определен алгебраически на спектр кольца или алгебраическое многообразие. На р^п или C^п, замкнутые множества топологии Зарисского являются наборы решений систем многочлен уравнения.
• А линейный график имеет естественную топологию, которая обобщает многие геометрические аспекты графики с вершины и края.
• Многие наборы линейные операторы в функциональный анализ наделены топологиями, которые определяются путем определения момента, когда конкретная последовательность функций сходится к нулевой функции.
• Любые местное поле имеет собственную топологию, и ее можно распространить на векторные пространства над этим полем.
• В Пространство Серпинского - простейшее недискретное топологическое пространство. Он имеет важное отношение к теория вычислений и семантика.
• Если Γ - порядковый номер, то множество Γ = [0, Γ) можно снабдить топология заказа порожденные интервалами (а, б), [0, б) и (а, Γ) где а и б являются элементами Γ.

Непрерывные функции

Непрерывность выражается в окрестности: ж непрерывно в какой-то момент Икс ∈ Икс тогда и только тогда, когда для любого района V из ж(Икс), есть район U из Икс такой, что ж(U) ⊆ V. Интуитивно непрерывность означает, насколько «малым» V становится, всегда есть U содержащий Икс что отображается внутри V и чей образ под ж содержит ж(Икс). Это эквивалентно тому, что прообразы открытых (закрытых) множеств в Y открыты (закрыты) в Икс. В метрических пространствах это определение эквивалентно ε – δ-определение что часто используется в анализе.

Крайний пример: если набор Икс дается дискретная топология, все функции

${ displaystyle f двоеточие X rightarrow T}$

в любое топологическое пространство Т непрерывны. С другой стороны, если Икс оснащен недискретная топология и пространство Т набор не менее Т₀, то единственными непрерывными функциями являются постоянные функции. И наоборот, любая функция, диапазон значений которой не дискретен, непрерывна.

Альтернативные определения

Несколько эквивалентные определения топологической структуры существуют и, следовательно, есть несколько эквивалентных способов определения непрерывной функции.

Определение района

Определения, основанные на прообразах, часто трудно использовать напрямую. Следующий критерий выражает непрерывность с точки зрения окрестности: ж непрерывно в какой-то момент Икс ∈ Икс тогда и только тогда, когда для любого района V из ж(Икс), есть окрестность U из Икс такой, что ж(U) ⊆ V. Интуитивно непрерывность означает, насколько «малым» V становится, всегда есть U содержащий Икс что отображается внутри V.

Если Икс и Y метрические пространства, это равносильно рассмотрению система соседства из открытые шары сосредоточен на Икс и ж(Икс) вместо всех окрестностей. Это возвращает приведенное выше определение непрерывности δ-ε в контексте метрических пространств. Однако в общих топологических пространствах нет понятия близости или расстояния.

Обратите внимание, однако, что если целевое пространство Хаусдорф, все еще верно, что ж непрерывно на а тогда и только тогда, когда предел ж так как Икс подходы а является ж(а). В изолированной точке каждая функция непрерывна.

Последовательности и сети

В некоторых случаях топологию пространства удобно задавать в терминах предельные точки. Во многих случаях это достигается путем указания, когда точка является предел последовательности, но для некоторых пространств, которые в некотором смысле слишком велики, можно также указать, когда точка является пределом более общих наборов точек, индексированных направленный набор, известный как сети.^[5] Функция является непрерывной, только если она принимает пределы последовательностей до пределов последовательностей. В первом случае также достаточно сохранения лимитов; в последнем случае функция может сохранять все пределы последовательностей, но все же не быть непрерывной, и сохранение сетей является необходимым и достаточным условием.

Подробно функция ж: Икс → Y является последовательно непрерывный если всякий раз, когда последовательность (Икс_п) в Икс сходится к пределу Икс, последовательность (ж(Икс_п)) сходится к ж(Икс).^[6] Таким образом, последовательно непрерывные функции «сохраняют последовательные пределы». Каждая непрерывная функция последовательно непрерывна. Если Икс это место с первым счетом и счетный выбор то верно и обратное: любая функция, сохраняющая последовательные пределы, непрерывна. В частности, если Икс является метрическим пространством, последовательная непрерывность и непрерывность эквивалентны. Для пространств, не считающихся первым, последовательная непрерывность может быть строго слабее, чем непрерывность. (Пространства, для которых два свойства эквивалентны, называются последовательные пробелы.) Это мотивирует рассмотрение сетей вместо последовательностей в общих топологических пространствах. Непрерывные функции сохраняют пределы сетей, и фактически это свойство характеризует непрерывные функции.

Определение оператора закрытия

Вместо указания открытых подмножеств топологического пространства топология также может быть определена оператор закрытия (обозначается cl), который присваивается любому подмножеству А ⊆ Икс его закрытие, или оператор интерьера (обозначается int), который присваивается любому подмножеству А из Икс его интерьер. В этих терминах функция

${ Displaystyle е двоеточие (X, mathrm {cl}) to (X ', mathrm {cl}') ,}$

между топологическими пространствами непрерывна в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда для всех подмножеств А из Икс

${ displaystyle f ( mathrm {cl} (A)) substeq mathrm {cl} '(f (A)).}$

То есть с учетом любого элемента Икс из Икс то есть в замыкании любого подмножества А, ж(Икс) принадлежит закрытию ж(А). Это эквивалентно требованию, чтобы для всех подмножеств А'из Икс'

${ displaystyle f ^ {- 1} ( mathrm {cl} '(A')) supseteq mathrm {cl} (f ^ {- 1} (A ')).}$

Более того,

${ Displaystyle е двоеточие (X, mathrm {int}) to (X ', mathrm {int}') ,}$

непрерывно тогда и только тогда, когда

${ Displaystyle е ^ {- 1} ( mathrm {int} '(A)) substeq mathrm {int} (f ^ {- 1} (A))}$

для любого подмножества А из Икс.

Характеристики

Если ж: Икс → Y и грамм: Y → Z непрерывны, то и композиция грамм ∘ ж: Икс → Z. Если ж: Икс → Y непрерывно и

• Икс является компактный, тогда ж(Икс) компактно.
• Икс является связаны, тогда ж(Икс) подключен.
• Икс является соединенный путём, тогда ж(Икс) линейно связно.
• Икс является Линделёф, тогда ж(Икс) является Линделёфом.
• Икс является отделяемый, тогда ж(Икс) отделимо.

Возможные топологии на фиксированном множестве Икс находятся частично заказанный: топология τ₁ как говорят грубее чем другая топология τ₂ (обозначение: τ₁ ⊆ τ₂), если каждое открытое по отношению к τ подмножество₁ также открыта относительно τ₂. Затем карта идентичности

я бы_Икс: (Икс, τ₂) → (Икс, τ₁)

непрерывна тогда и только тогда, когда τ₁ ⊆ τ₂ (смотрите также сравнение топологий ). В более общем смысле, непрерывная функция

${ Displaystyle (X, тау _ {X}) rightarrow (Y, тау _ {Y})}$

остается непрерывной, если топология τ_Y заменяется на более грубая топология и / или τ_Икс заменяется на более тонкая топология.

Гомеоморфизмы

Симметричным понятию непрерывного отображения является открытая карта, для которого картинки открытых наборов открыты. Фактически, если открытая карта ж имеет обратная функция, это обратное непрерывно, и если непрерывное отображение грамм имеет инверсию, эта инверсия открыта. Учитывая биективный функция ж между двумя топологическими пространствами обратная функция ж⁻¹ не обязательно быть непрерывным. Биективная непрерывная функция с непрерывной обратной функцией называется гомеоморфизм.

Если непрерывная биекция домен а компактное пространство и это codomain является Хаусдорф, то это гомеоморфизм.

Определение топологий с помощью непрерывных функций

Учитывая функцию

${ Displaystyle е двоеточие X rightarrow S, ,}$

где Икс является топологическим пространством и S набор (без указанной топологии), окончательная топология на S определяется разрешением открытых множеств S быть этими подмножествами А из S для которого ж⁻¹(А) открыт в Икс. Если S имеет существующую топологию, ж непрерывна по отношению к этой топологии тогда и только тогда, когда существующая топология грубее чем окончательная топология на S. Таким образом, окончательную топологию можно охарактеризовать как лучшую топологию на S что делает ж непрерывный. Если ж является сюръективный, эта топология канонически отождествляется с факторная топология под отношение эквивалентности определяется ж.

Соответственно, для функции ж из набора S в топологическое пространство начальная топология на S имеет открытые подмножества А из S те подмножества, для которых ж(А) открыт в Икс. Если S имеет существующую топологию, ж непрерывна по отношению к этой топологии тогда и только тогда, когда существующая топология более тонкая, чем исходная топология на S. Таким образом, исходную топологию можно охарактеризовать как самую грубую топологию на S что делает ж непрерывный. Если ж инъективна, эта топология канонически отождествляется с топология подпространства из S, рассматривается как подмножество Икс.

Топология на множестве S однозначно определяется классом всех непрерывных функций ${ Displaystyle S rightarrow X}$ во все топологические пространства Икс. Вдвойне, аналогичная идея может быть применена к картам ${ displaystyle X rightarrow S.}$

Компактные наборы

Формально топологическое пространство Икс называется компактный если каждый из его открытые крышки имеет конечный прикрытие. В противном случае это называется некомпактный. Явно это означает, что для каждой произвольной коллекции

${ displaystyle {U _ { alpha} } _ { alpha in A}}$

открытых подмножеств Икс такой, что

${ displaystyle X = bigcup _ { alpha in A} U _ { alpha},}$

есть конечное подмножество J из А такой, что

${ displaystyle X = bigcup _ {i in J} U_ {i}.}$

Некоторые разделы математики, такие как алгебраическая геометрия, как правило, под влиянием французской школы Бурбаки, используйте термин квазикомпактный для общего понятия и зарезервировать срок компактный для топологических пространств, которые являются Хаусдорф и квазикомпактный. Компактный набор иногда называют компактный, множественное число компакта.

Каждый закрытый интервал в р конечной длины компактный. Верно больше: в р^п, множество компактно если и только если это закрыто и ограничен. (Видеть Теорема Гейне – Бореля ).

Всякий непрерывный образ компактного пространства компактен.

Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.

Каждый непрерывный биекция из компакта в хаусдорфово пространство обязательно гомеоморфизм.

Каждые последовательность точек в компактном метрическом пространстве имеет сходящуюся подпоследовательность.

Каждый компактный конечномерный многообразие может быть вложено в некоторое евклидово пространство р^п.

Связанные наборы

А топологическое пространство Икс как говорят отключен если это союз из двух непересекающийся непустой открытые наборы. Иначе, Икс как говорят связаны. А подмножество топологического пространства называется связным, если оно связно топология подпространства. Некоторые авторы исключают пустой набор (с его уникальной топологией) как связное пространство, но в этой статье не следует этой практике.

Для топологического пространства Икс следующие условия эквивалентны:

1. Икс подключен.
2. Икс нельзя разделить на два непересекающихся непустых закрытые наборы.
3. Единственные подмножества Икс которые одновременно открыты и закрыты (Clopen наборы ) находятся Икс и пустой набор.
4. Единственные подмножества Икс с пустым граница находятся Икс и пустой набор.
5. Икс нельзя записать как объединение двух непустых отдельные наборы.
6. Единственные непрерывные функции из Икс до {0,1}, двухточечного пространства с дискретной топологией, являются постоянными.

Каждый интервал в р является связаны.

Непрерывный образ связаны пространство связано.

Подключенные компоненты

В максимальный связанные подмножества (упорядоченные по включение ) непустого топологического пространства называются связанные компоненты пространства. Компоненты любого топологического пространства Икс сформировать раздел изИкс: они есть непересекающийся, непустые, и их объединение составляет все пространство. закрытое подмножество оригинального пространства. Отсюда следует, что в случае, когда их количество конечно, каждый компонент также является открытым подмножеством. Однако, если их число бесконечно, это может быть не так; например, компоненты связности множества рациональное число - одноточечные множества, которые не являются открытыми.

Позволять ${ displaystyle Gamma _ {x}}$ быть связной компонентой Икс в топологическом пространстве Икс, и ${ displaystyle Gamma _ {x} '}$ - пересечение всех открыто-замкнутых множеств, содержащих Икс (называется квазикомпонентный из Икс.) Потом ${ displaystyle Gamma _ {x} subset Gamma '_ {x}}$ где равенство выполняется, если Икс компактно хаусдорфово или локально связно.

Не связанные пространства

Пространство, в котором все компоненты являются одноточечными множествами, называется полностью отключен. В связи с этим имуществом есть пространство Икс называется полностью отделен если для любых двух различных элементов Икс и у из Икссуществуют непересекающиеся открытые кварталы U из Икс и V из у такой, что Икс это союз U и V. Ясно, что любое полностью разделенное пространство полностью отключено, но обратное неверно. Например, возьмем две копии рациональных чисел Q, и идентифицировать их в каждой точке, кроме нуля. Результирующее пространство с фактор-топологией полностью отключено. Однако, рассматривая две копии нуля, можно увидеть, что пространство не разделено полностью. На самом деле это даже не Хаусдорф, и условие быть полностью отделенным строго сильнее, чем условие быть Хаусдорфом.

Связанные по путям наборы

Это подпространство р² связан с путями, потому что путь может быть проведен между любыми двумя точками в пространстве.

А дорожка с точки Икс в точку у в топологическое пространство Икс это непрерывная функция ж от единичный интервал [0,1] до Икс с ж(0) = Икс и ж(1) = у. А компонент пути из Икс является класс эквивалентности из Икс под отношение эквивалентности, что делает Икс эквивалентно у если есть путь из Икс к у. Космос Икс как говорят соединенный путём (или же путевое соединение или 0-связанный), если существует не более одного компонента пути, т.е. если существует путь, соединяющий любые две точки в Икс. Опять же, многие авторы исключают пустое пространство.

Каждое линейно связное пространство связано. Обратное не всегда верно: примеры связанных пространств, которые не связаны между собой, включают расширенные длинная линия L* и синусоида тополога.

Однако подмножества реальная линия р подключены если и только если они связаны путями; эти подмножества являются интервалы из р.Также, открытые подмножества из р^п или C^п связаны тогда и только тогда, когда они линейно связаны. Кроме того, связность и линейная связность одинаковы для конечные топологические пространства.

Продукция пространств

Данный Икс такой, что

${ Displaystyle X: = prod _ {я in I} X_ {я},}$

- декартово произведение топологических пространств Икс_я, индексированный к ${ displaystyle i in I}$, а канонические проекции п_я : Икс → Икс_я, то топология продукта на Икс определяется как грубейшая топология (т.е. топология с наименьшим количеством открытых множеств), для которой все проекции п_я находятся непрерывный. Топологию продукта иногда называют Тихоновская топология.

Открытые множества в топологии продукта являются объединениями (конечными или бесконечными) множеств вида ${ Displaystyle prod _ {я в I} U_ {я}}$, где каждый U_я открыт в Икс_я и U_я ≠ Икс_я только конечное число раз. В частности, для конечного произведения (в частности, для произведения двух топологических пространств) произведения базовых элементов Икс_я дает основу для продукта ${ Displaystyle prod _ {я в I} X_ {я}}$.

Топология продукта на Икс - топология, порожденная множествами вида п_я⁻¹(U), где я в я и U открытое подмножество Икс_я. Другими словами, множества {п_я⁻¹(U)} образуют подоснование для топологии на Икс. А подмножество из Икс открыто тогда и только тогда, когда это (возможно, бесконечное) союз из перекрестки конечного числа множеств вида п_я⁻¹(U). В п_я⁻¹(U) иногда называют открытые цилиндры, а их пересечения комплекты цилиндров.

В общем, произведение топологий каждого Икс_я формирует основу того, что называется коробчатая топология на Икс. В целом, коробчатая топология тоньше чем топология продукта, но для конечных продуктов они совпадают.

С компактностью связана Теорема Тихонова: (произвольный) товар компактных пространств компактна.

Аксиомы разделения

Многие из этих имен имеют альтернативные значения в математической литературе, как объясняется на История аксиом разделения; например, значения «нормальный» и «Т»₄"иногда меняются местами, аналогично" обычный "и" Т "₃"и т. д. Многие концепции также имеют несколько названий, однако первое, что указано первым, всегда наименее вероятно будет двусмысленным.

У большинства этих аксиом есть альтернативные определения с тем же значением; приведенные здесь определения образуют единый образец, который связывает различные понятия разделения, определенные в предыдущем разделе. Другие возможные определения можно найти в отдельных статьях.

Во всех следующих определениях Икс снова топологическое пространство.

• Икс является Т₀, или же Колмогоров, если любые две различные точки в Икс находятся топологически различимый. (Среди аксиом разделения является общей темой иметь одну версию аксиомы, которая требует T₀ и одна версия, которой нет.)
• Икс является Т₁, или же доступный или Фреше, если любые две различные точки в Икс разделены. Таким образом, Икс это T₁ тогда и только тогда, когда это одновременно T₀ и R₀. (Хотя вы можете говорить такие вещи, как Т₁ Космос, Топология Фреше, и Предположим, что топологическое пространство Икс Фреше, не говори Fréchet space в этом контексте, поскольку существует совершенно иное понятие Fréchet space в функциональный анализ.)
• Икс является Хаусдорф, или же Т₂ или отделенный, если любые две различные точки в Икс разделены микрорайонами. Таким образом, Икс хаусдорфово тогда и только тогда, когда оно одновременно является T₀ и R₁. Хаусдорфово пространство также должно быть T₁.
• Икс является Т_2½, или же Урысон, если любые две различные точки в Икс разделены закрытыми кварталами. В_2½ пространство также должно быть хаусдорфовым.
• Икс является обычный, или же Т₃, если это T₀ и если дан любой балл Икс и закрытый набор F в Икс такой, что Икс не принадлежит F, они разделены кварталами. (Фактически, в обычном пространстве любой такой Икс и F также разделены замкнутыми окрестностями.)
• Икс является Тихонов, или же Т_3½, полностью T₃, или же полностью обычный, если это T₀ и если f, для любой точки Икс и закрытый набор F в Икс такой, что Икс не принадлежит F, они разделены непрерывной функцией.
• Икс является нормальный, или же Т₄, если оно хаусдорфово и если любые два непересекающихся замкнутых подмножества Икс разделены микрорайонами. (Фактически, пространство является нормальным, если и только если любые два непересекающихся замкнутых множества могут быть разделены непрерывной функцией; это Лемма Урысона.)
• Икс является совершенно нормально, или же Т₅ или полностью T₄, если это T₁ и если любые два разделенных набора разделены окрестностями. Совершенно нормальное пространство тоже должно быть нормальным.
• Икс является совершенно нормально, или же Т₆ или отлично Т₄, если это T₁ и если любые два непересекающихся замкнутых множества точно разделены непрерывной функцией. Совершенно нормальное хаусдорфово пространство также должно быть полностью нормальным хаусдорфовым.

В Теорема Титце о продолжении: В нормальном пространстве любую непрерывную действительную функцию, определенную на замкнутом подпространстве, можно продолжить до непрерывного отображения, определенного на всем пространстве.

Аксиомы счетности

An аксиома счетности это свойство определенных математические объекты (обычно в категория ), что требует наличия счетный набор с определенными свойствами, а без него таких наборов не могло бы быть.

Важные аксиомы счетности для топологические пространства:

• последовательное пространство: набор открыт, если каждый последовательность сходящийся к точка в наборе есть в конечном итоге в наборе
• место с первым счетом: каждая точка имеет счетное основа соседства (местная база)
• секундомер: топология имеет счетное основание
• отделяемое пространство: существует счетное плотное подпространство
• Пространство Линделёфа: каждый открытая крышка имеет счетное прикрытие
• σ-компактное пространство: существует счетное покрытие компактными пространствами

Связи:

• Каждое первое счетное пространство является последовательным.
• Каждое второсчетное пространство является первым счетным, сепарабельным и линделёфским.
• Всякое σ-компактное пространство линделёфское.
• А метрическое пространство исчисляется первым.
• Для метрических пространств вторая счетность, отделимость и свойство Линделёфа эквивалентны.

Метрические пространства

А метрическое пространство^[7] является упорядоченная пара ${ displaystyle (M, d)}$ где ${ displaystyle M}$ это набор и ${ displaystyle d}$ это метрика на ${ displaystyle M}$, т.е. функция

${ displaystyle d двоеточие M times M rightarrow mathbb {R}}$

такой, что для любого ${ displaystyle x, y, z in M}$, имеет место следующее:

1. ${ Displaystyle д (х, у) geq 0}$     (неотрицательный),
2. ${ Displaystyle д (х, у) = 0 ,}$ если только ${ Displaystyle х = у ,}$     (идентичность неразличимых ),
3. ${ Displaystyle д (х, у) = д (у, х) ,}$     (симметрия) и
4. ${ displaystyle d (x, z) leq d (x, y) + d (y, z)}$     (неравенство треугольника ) .

Функция ${ displaystyle d}$ также называется функция расстояния или просто расстояние. Часто, ${ displaystyle d}$ опускается, и один просто пишет ${ displaystyle M}$ для метрического пространства, если из контекста ясно, какая метрика используется.

Каждые метрическое пространство является паракомпакт и Хаусдорф, и поэтому нормальный.

В теоремы метризации обеспечивают необходимые и достаточные условия для того, чтобы топология возникла из метрики.

Теорема Бэра о категории

В Теорема Бэра о категории говорит: если Икс это полный метрическое пространство или локально компактный Хаусдорфово пространство, тогда внутренность каждого объединения счетно много нигде не плотный наборы пусто.^[8]

Любое открытое подпространство Пространство Бэра сам по себе является пространством Бэра.

Основные направления исследований

Три итерации построения кривой Пеано, пределом которой является кривая, заполняющая пространство. Кривая Пеано изучается в теория континуума, филиал общая топология.

Теория континуума

А континуум (пл континуум) непусто компактный связаны метрическое пространство, или реже компактный связаны Пространство Хаусдорфа. Теория континуума раздел топологии, посвященный изучению континуумов. Эти объекты часто возникают практически во всех областях топологии и анализ, и их свойства достаточно сильны, чтобы дать много «геометрических» особенностей.

Динамические системы

Топологическая динамика касается поведения пространства и его подпространств во времени, когда оно подвергается непрерывному изменению. Многие примеры приложений к физике и другим областям математики включают: динамика жидкостей, бильярд и потоки на коллекторах. Топологические характеристики фракталы во фрактальной геометрии Юля наборы и Набор Мандельброта возникающий в сложная динамика, и из аттракторы в дифференциальных уравнениях часто имеют решающее значение для понимания этих систем.^{[нужна цитата ]}

Бессмысленная топология

Бессмысленная топология (также называемый без точек или бесточечная топология) - подход к топология это позволяет избежать упоминания точек. Название «бессмысленная топология» связано с Джон фон Нейман.^[9] Идеи бессмысленной топологии тесно связаны с мереотопологии, в котором области (наборы) рассматриваются как базовые без явной ссылки на базовые наборы точек.

Теория размерностей

Теория размерностей это раздел общей топологии, имеющий дело с размерные инварианты из топологические пространства.

Топологические алгебры

А топологическая алгебра А через топологическое поле K это топологическое векторное пространство вместе с непрерывным умножением

${ displaystyle cdot: A times A longrightarrow A}$

${ displaystyle (a, b) longmapsto a cdot b}$

что делает его алгебра над K. Единый ассоциативный топологическая алгебра - это топологическое кольцо.

Термин был придуман Дэвид ван Данциг; это фигурирует в названии его докторская диссертация (1931).

Теория метризуемости

В топология и смежные области математика, а метризуемое пространство это топологическое пространство это гомеоморфный к метрическое пространство. То есть топологическое пространство ${ Displaystyle (Х, тау)}$ называется метризуемым, если существует метрика

${ displaystyle d двоеточие X times X to [0, infty)}$

такая, что топология, индуцированная d является ${ Displaystyle тау}$. Теоремы метризации находятся теоремы что дает достаточные условия для метризуемости топологического пространства.

Теоретико-множественная топология

Теоретико-множественная топология - это предмет, сочетающий теорию множеств и общую топологию. Он фокусируется на топологических вопросах, которые не зависят от Теория множеств Цермело – Френкеля (ZFC). Известная проблема нормальный вопрос о пространстве Мура, вопрос общей топологии, который был предметом интенсивных исследований. В конечном итоге было доказано, что ответ на обычный вопрос о пространстве Мура не зависит от ZFC.

Смотрите также

• Список примеров в общей топологии
• Глоссарий общей топологии для подробных определений
• Список общих тем топологии для связанных статей
• Категория топологических пространств

Рекомендации

дальнейшее чтение

Некоторые стандартные книги по общей топологии включают:

• Бурбаки, Topologie Générale (Общая топология), ISBN  0-387-19374-X.
• Джон Л. Келли (1955) Общая топология, ссылка из Интернет-архив, первоначально опубликовано Дэвид Ван Ностранд Компания.
• Стивен Уиллард, Общая топология, ISBN  0-486-43479-6.
• Джеймс Мункрес, Топология, ISBN  0-13-181629-2.
• Джордж Ф. Симмонс, Введение в топологию и современный анализ, ISBN  1-575-24238-9.
• Пол Л. Шик, Топология: точечная и геометрическая, ISBN  0-470-09605-5.
• Рышард Энгелькинг, Общая топология, ISBN  3-88538-006-4.
• Стин, Линн Артур; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии (Дувр переиздание изд. 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-486-68735-3, Г-Н  0507446
• О.Я. Виро, О.А. Иванов, В. Харламов, Н.Ю. Нецветаев, Элементарная топология: Учебник по проблемам, ISBN  978-0-8218-4506-6.
• Топологические формы и их значение К. А. Русан arvXiv id - 1905.13481

В arXiv код темы math.GN.

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Общая топология в Wikimedia Commons