Σ-компактное пространство - Википедия - σ-compact space

В математика, а топологическое пространство как говорят σ-компактный если это союз счетно много компактный подпространства.[1]

Говорят, что пространство σ-локально компактный если он одновременно σ-компактен и локально компактный.[2]

Свойства и примеры

  • Каждый компактное пространство σ-компактно, и любое σ-компактное пространство является Линделёф (т.е. каждый открытая крышка имеет счетный прикрытие ).[3] Обратные последствия не верны, например, стандартное Евклидово пространство (рп) σ-компактно, но не компактно,[4] и топология нижнего предела на вещественной прямой является линделёфским, но не σ-компактным.[5] Фактически, топология счетного дополнения на любом несчетном множестве линделёфово, но не σ-компактно и не локально компактно.[6] Однако верно, что любое локально компактное пространство Линделёфа σ-компактно.
  • А Хаусдорф, Пространство Бэра который также является σ-компактным, должен быть локально компактный хотя бы один балл.
  • Если грамм это топологическая группа и грамм локально компактно в одной точке, то грамм локально компактно всюду. Следовательно, предыдущее свойство говорит нам, что если грамм является σ-компактной хаусдорфовой топологической группой, которая также является бэровским пространством, то грамм локально компактно. Это показывает, что для хаусдорфовых топологических групп, которые также являются пространствами Бэра, σ-компактность влечет локальную компактность.
  • Предыдущее свойство подразумевает, например, что рω не является σ-компактным: если бы он был σ-компактным, он обязательно был бы локально компактным, поскольку рω - топологическая группа, которая также является пространством Бэра.
  • Каждый гемикомпактное пространство σ-компактно.[7] Обратное, однако, неверно;[8] например, пространство рациональные, с обычной топологией, является σ-компактным, но не полукомпактным.
  • В товар конечного числа σ-компактов является σ-компактным. Однако произведение бесконечного числа σ-компактных пространств может не быть σ-компактным.[9]
  • Σ-компактное пространство Икс является второй категорией (соответственно Бэра) тогда и только тогда, когда множество точек, в которых находится Икс локально компактно непусто (соответственно плотно) в Икс.[10]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Steen, p.19; Уиллард, стр. 126.
  2. ^ Стин, стр. 21.
  3. ^ Стин, стр. 19.
  4. ^ Стин, стр. 56.
  5. ^ Стин, стр. 75–76.
  6. ^ Стин, стр. 50.
  7. ^ Уиллард, стр. 126.
  8. ^ Уиллард, стр. 126.
  9. ^ Уиллард, стр. 126.
  10. ^ Уиллард, стр. 188.

Рекомендации

  • Стин, Линн А. и Seebach, J. Arthur Jr.; Контрпримеры в топологии, Холт, Райнхарт и Уинстон (1970). ISBN  0-03-079485-4.
  • Уиллард, Стивен (2004). Общая топология. Dover Publications. ISBN  0-486-43479-6.