Геометрический поток - Geometric flow

В математика, конкретно дифференциальная геометрия, а геометрический поток это градиентный поток связанный с функционалом на многообразие имеющий геометрическую интерпретацию, обычно связанную с некоторыми внешняя или внутренняя кривизна. Их можно интерпретировать как потоки на пространство модулей (для собственных потоков) или пространство параметров (для сторонних потоков).

Они представляют фундаментальный интерес для вариационное исчисление, и включают в себя несколько известных задач и теорий. критические точки.

Геометрический поток также называют уравнение геометрической эволюции.

Примеры

Внешний

Внешние геометрические потоки - это потоки на вложенные подмногообразия, или в более общем смыслепогруженные подмногообразия. Обычно они меняют и риманову метрику, и погружение.

• Средняя кривизна потока, как в мыльные фильмы; критические точки минимальные поверхности
• Кривая-укорачивание потока, одномерный случай течения средней кривизны
• Уиллмор Флоу, как в минимаксный выворот сфер
• Обратный поток средней кривизны

Внутренний

Собственные геометрические потоки - это потоки на Риманова метрика, независимо от встраивания или погружения.

• Риччи поток, как в решение гипотезы Пуанкаре, и Ричард С. Гамильтон доказательство теорема униформизации
• Калаби-Флоу, поток для Кэлеровские метрики
• Поток Ямабе

Классы потоков

Важные классы потоков: кривизна потоков, вариационные потоки (которые экстремизируют некоторый функционал), и потоки, возникающие как решения параболические уравнения в частных производных. Данный поток часто допускает все эти интерпретации следующим образом.

Учитывая эллиптический оператор L, параболический PDE ${ displaystyle u_ {t} = Lu}$ дает поток, а стационарные состояния потока являются решениями эллиптическое уравнение в частных производных ${ displaystyle Lu = 0}$.

Если уравнение ${ displaystyle Lu = 0}$ это Уравнение Эйлера – Лагранжа. для некоторых функциональных F, то поток имеет вариационную интерпретацию как градиентный поток F, а стационарные состояния потока соответствуют критическим точкам функционала.

В контексте геометрических потоков функционал часто является L² норма некоторой кривизны.

Таким образом, учитывая кривизну K, можно определить функционал ${ Displaystyle F (K) = | K | _ {2}: = left ( int _ {M} K ^ {2} right) ^ {1/2}}$, имеющую уравнение Эйлера – Лагранжа ${ displaystyle Lu = 0}$ для некоторого эллиптического оператора L, и связанный параболический PDE ${ displaystyle u_ {t} = Lu}$.

В Риччи поток, Калаби-Флоу, и Поток Ямабе возникают таким образом (в некоторых случаях с нормализацией).

Кривизные потоки могут или не могут сохранить объем (поток Калаби делает это, а поток Риччи - нет), и если нет, поток может просто сжимать или увеличивать многообразие, вместо того, чтобы регулировать метрику. Таким образом, поток часто нормализуется, например, путем фиксации объема.

Рекомендации

• Бакас, Иоаннис (14 октября 2005 г.) [28 июля 2005 г. (v1)]. «Алгебраическая структура геометрических потоков в двух измерениях». Журнал физики высоких энергий. 2005 (10): 038. arXiv:hep-th / 0507284. Bibcode:2005JHEP ... 10..038B. Дои:10.1088/1126-6708/2005/10/038.

• Бакас, Иоаннис (5 февраля 2007 г.). «Уравнения ренормгруппы и геометрические потоки». arXiv:hep-th / 0702034. Bibcode:2007hep.th .... 2034B. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)