Средняя кривизна потока - Mean curvature flow

В области дифференциальная геометрия в математика, средняя кривизна потока является примером геометрический поток из гиперповерхности в Риманово многообразие (например, гладкие поверхности в трехмерном Евклидово пространство ). Интуитивно, семейство поверхностей развивается в потоке средней кривизны, если нормальная составляющая скорости, по которой движется точка на поверхности, задается выражением средняя кривизна поверхности. Например, раунд сфера эволюционирует в потоке средней кривизны, равномерно сжимаясь внутрь (поскольку вектор средней кривизны сферы направлен внутрь). За исключением особых случаев, течение средней кривизны развивается особенности.

При ограничении, заключающемся в постоянном объеме, это называется поверхностное натяжение течь.

Это параболическое уравнение в частных производных, и может интерпретироваться как «сглаживание».

Существование и уникальность

Следующее было показано Майкл Гейдж и Ричард С. Гамильтон как приложение общей теоремы существования Гамильтона для параболических геометрических потоков.^[1]^[2]

Позволять ${displaystyle M}$ - компактное гладкое многообразие, пусть ${displaystyle (M ', g)}$ - полное гладкое риманово многообразие, и пусть ${displaystyle f: M o M '}$ быть плавным погружением. Тогда есть положительное число ${displaystyle T}$ , который может быть бесконечным, а карта ${displaystyle F: [0, T) imes M o M '}$ со следующими свойствами:

${displaystyle F (0, cdot) = f}$
${displaystyle F (t, cdot): M o M '}$ это плавное погружение для любого ${displaystyle tin [0, T)}$
так как ${displaystyle tsearrow 0,}$ надо ${displaystyle F (t, cdot) o f}$ в ${displaystyle C ^ {infty}}$
для любого ${displaystyle (t_ {0}, p) in (0, T) imes M}$ , производная кривой ${displaystyle tmapsto F (t, p)}$ в ${displaystyle t_ {0}}$ равна вектору средней кривизны ${displaystyle F (t_ {0}, cdot)}$ в ${displaystyle p}$ .
если ${displaystyle {widetilde {F}}: [0, {widetilde {T}}) imes M o M '}$ любая другая карта с четырьмя свойствами выше, тогда ${displaystyle Tleq {widetilde {T}}}$ и ${displaystyle {widetilde {F}} (t, p) = F (t, p)}$ для любого ${displaystyle (t, p) in [0, {widetilde {T}}) imes M.}$

Обязательно ограничение ${displaystyle F}$ к ${displaystyle (0, T) imes M}$ является ${displaystyle C ^ {infty}}$ .

Один относится к ${displaystyle F}$ как (максимально протяженный) поток средней кривизны с начальными данными ${displaystyle f}$ .

Теоремы сходимости

После эпохальной работы Гамильтона 1982 г. Риччи поток, в 1984 г. Герхард Хёйскен использовали те же методы для потока средней кривизны, чтобы получить следующий аналогичный результат:^[3]

Если ${displaystyle (M ', g)}$ евклидово пространство ${displaystyle mathbb {R} ^ {n + 1}}$ , где ${displaystyle ngeq 2}$ обозначает размер ${displaystyle M}$ , тогда ${displaystyle T}$ обязательно конечно. Если вторая фундаментальная форма «начального погружения» ${displaystyle f}$ строго положительно, то вторая фундаментальная форма погружения ${displaystyle F (t, cdot)}$ также строго положительно для каждого ${displaystyle tin (0, T)}$ , и, кроме того, если выбрать функцию ${displaystyle c: (0, T) o (0, infty)}$ такой, что объем риманова многообразия ${displaystyle (M, (c (t) F (t, cdot)) ^ {ast} g_ {ext {Euc}})}$ не зависит от ${displaystyle t}$ , тогда как ${displaystyle tearrow T}$ погружения ${displaystyle c (t) F (t, cdot): M o mathbb {R} ^ {n + 1}}$ плавно сходятся к погружению, образ которого в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n + 1}}$ это круглая сфера.

Обратите внимание, что если ${displaystyle ngeq 2}$ и ${displaystyle f: M o mathbb {R} ^ {n + 1}}$ является гладким погружением гиперповерхности, вторая фундаментальная форма которого положительна, то Карта Гаусса ${displaystyle u: M o S ^ {n}}$ является диффеоморфизмом, поэтому с самого начала известно, что ${displaystyle M}$ диффеоморфен ${displaystyle S ^ {n}}$ и, исходя из элементарной дифференциальной топологии, все рассмотренные выше погружения являются вложениями.

Гейдж и Гамильтон распространили результат Хьюскена на случай ${displaystyle n = 1}$ . Мэтью Грейсон (1987) показал, что если ${displaystyle f: S ^ {1} o mathbb {R} ^ {2}}$ - любое гладкое вложение, то поток средней кривизны с начальными данными ${displaystyle f}$ в конечном итоге состоит исключительно из вложений со строго положительной кривизной, и в этом случае применяется результат Гейджа и Гамильтона.^[4] В итоге:

Если ${displaystyle f: S ^ {1} o mathbb {R} ^ {2}}$ является гладким вложением, то рассмотрим поток средней кривизны ${displaystyle F: [0, T) imes S ^ {1} или mathbb {R} ^ {2}}$ с исходными данными ${displaystyle f}$ . потом ${displaystyle F (t, cdot): S ^ {1} или mathbb {R} ^ {2}}$ является гладким вложением для любого ${displaystyle tin (0, T)}$ и существует ${displaystyle t_ {0} in (0, T)}$ такой, что ${displaystyle F (t, cdot): S ^ {1} или mathbb {R} ^ {2}}$ имеет положительную (внешнюю) кривизну для каждого ${displaystyle tin (t_ {0}, T)}$ . Если выбрать функцию ${displaystyle c}$ как в результате Хьюскена, тогда как ${displaystyle tearrow T}$ вложения ${displaystyle c (t) F (t, cdot): S ^ {1} o mathbb {R} ^ {2}}$ плавно сходятся к вложению, образ которого представляет собой круглый круг.

Физические примеры

Самый известный пример потока средней кривизны - это эволюция мыльные фильмы. Похожее двумерное явление - капли масла на поверхности воды, которые превращаются в диски (круговая граница).

Течение средней кривизны первоначально было предложено в качестве модели образования границ зерен при отжиге чистого металла.

Характеристики

Течение средней кривизны экстремализирует площадь поверхности и минимальные поверхности - критические точки для потока средней кривизны; минимумы решить изопериметрический проблема.

Для многообразий, вложенных в Многообразие Кэлера – Эйнштейна, если поверхность Лагранжево подмногообразие, поток средней кривизны относится к лагранжевому типу, поэтому поверхность эволюционирует в рамках класса лагранжевых подмногообразий.

Формула монотонности Хьюскена дает свойство монотонности свертка обращенного времени тепловое ядро с поверхностью, испытывающей течение средней кривизны.

Связанные потоки:

Кривая сокращения потока, одномерный случай течения средней кривизны
поток поверхностного натяжения
лагранжев поток средней кривизны
то обратная средняя кривизна потока

Течение средней кривизны трехмерной поверхности

Дифференциальное уравнение для обтекания поверхности средней кривизной, заданное как ${displaystyle z = S (x, y)}$ дан кем-то

{displaystyle {frac {partial S} {partial t}} = 2D H (x, y) {sqrt {1 + left ({frac {partial S} {partial x}} ight) ^ {2} + left ({frac {частичное S} {частичное y}} право) ^ {2}}}}

с участием ${displaystyle D}$ постоянная, связывающая кривизну и скорость нормали к поверхности, а средняя кривизна

{displaystyle {egin {выровнено} H (x, y) & = {frac {1} {2}} {frac {left (1 + left ({frac {partial S} {partial x}} ight) ^ {2}) ight) {frac {partial ^ {2} S} {partial y ^ {2}}} - 2 {frac {partial S} {partial x}} {frac {partial S} {partial y}} {frac {partial ^ {2} S} {частичный xpartial y}} + left (1 + left ({frac {partial S} {partial y}} ight) ^ {2} ight) {frac {partial ^ {2} S} {partial x ^ {2}}}} {left (1 + left ({frac {partial S} {partial x}} ight) ^ {2} + left ({frac {partial S} {partial y}} ight) ^ {2 } ight) ^ {3/2}}}. конец {выровнено}}}

В пределах ${displaystyle | {frac {partial S} {partial x}} | ll 1}$ и ${displaystyle | {frac {partial S} {partial y}} | ll 1}$ , так что поверхность почти плоская, а ее нормаль почти параллельна оси z, это сводится к уравнение диффузии

{displaystyle {frac {partial S} {partial t}} = D abla ^ {2} S}

В то время как обычное уравнение диффузии представляет собой линейное параболическое уравнение в частных производных и не проявляет особенностей (при движении вперед во времени), поток средней кривизны может образовывать сингулярности, поскольку это нелинейное параболическое уравнение. Как правило, на поверхность необходимо накладывать дополнительные ограничения для предотвращения сингулярностей при потоках средней кривизны.

Каждая гладкая выпуклая поверхность схлопывается в точку под потоком средней кривизны без других особенностей и при этом сходится к форме сферы. Для поверхностей размерности два или более это теорема Герхард Хёйскен;^[5] для одномерного поток, сокращающий кривую это теорема Гейджа – Гамильтона – Грейсона. Однако существуют вложенные поверхности двух или более измерений, отличных от сферы, которые остаются самоподобными, поскольку они сжимаются в точку под потоком средней кривизны, включая Ангельский тор.^[6]

Пример: средняя кривизна потока ${displaystyle m}$ -мерные сферы

Простой пример потока средней кривизны дает семейство концентрических круглых гиперсферы в ${displaystyle mathbb {R} ^ {m + 1}}$ . Средняя кривизна ${displaystyle m}$ -мерная сфера радиуса ${displaystyle R}$ является ${displaystyle H = m / R}$ .

Из-за вращательной симметрии сферы (или, в общем, из-за неизменности средней кривизны относительно изометрии ) уравнение потока средней кривизны ${displaystyle partial _ {t} F = -Hu}$ сводится к обыкновенное дифференциальное уравнение, для начальной сферы радиуса ${displaystyle R_ {0}}$ ,

{displaystyle {egin {align} {frac {ext {d}} {{ext {d}} t}} R (t) & = - {frac {m} {R (t)}}, R (0) & = R_ {0} .end {выровнено}}}

Решение этого ОДУ (полученное, например, разделение переменных ) является

{displaystyle R (t) = {sqrt {R_ {0} ^ {2} -2mt}}}

,

который существует для ${displaystyle tin (-infty, R_ {0} ^ {2} / 2m)}$ .^[7]

использованная литература

^ Gage, M .; Гамильтон, Р. (1986). «Уравнение теплопроводности, сокращающее выпуклые плоские кривые». J. Дифференциальная геометрия. 23 (1): 69–96.
^ Гамильтон, Ричард С. (1982). «Трехмерные многообразия с положительной кривизной Риччи». J. Дифференциальная геометрия. 17 (2): 255–306.
^ Хьюскен, Герхард (1984). «Обтекание средней кривизной выпуклых поверхностей на сферы». J. Дифференциальная геометрия. 20 (1): 237–266.
^ Грейсон, Мэтью А. (1987). «Уравнение теплопроводности сжимает вложенные плоские кривые до округлых точек». J. Дифференциальная геометрия. 26 (2): 285–314.
^ Хёйскен, Герхард (1990), «Асимптотика особенностей течения средней кривизны», Журнал дифференциальной геометрии, 31 (1): 285–299, Г-Н 1030675.
^ Ангенент, Сигурд Б. (1992), «Пончики с усадкой» (PDF), Уравнения нелинейной диффузии и их состояния равновесия, 3 (Gregynog, 1989), Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях, 7, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, стр. 21–38, Г-Н 1167827.
^ Эккер, Клаус (2004), Теория регулярности течения со средней кривизной, Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях, 57, Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, Дои:10.1007/978-0-8176-8210-1, ISBN 0-8176-3243-3, Г-Н 2024995.

Эккер, Клаус (2004), Теория регулярности течения со средней кривизной, Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях, 57, Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, Дои:10.1007/978-0-8176-8210-1, ISBN 0-8176-3243-3, Г-Н 2024995.
Мантегацца, Карло (2011), Конспект лекций по потоку со средней кривизной, Успехи в математике, 290, Базель: Birkhäuser / Springer, Дои:10.1007/978-3-0348-0145-4, ISBN 978-3-0348-0144-7, Г-Н 2815949.
Лу, Конглин; Цао, Ян; Мамфорд, Дэвид (2002), "Эволюция поверхности при кривизне течений", Журнал визуальной коммуникации и изображения, 13 (1–2): 65–81, Дои:10.1006 / jvci.2001.0476. См., В частности, уравнения 3a и 3b.

[1] Gage, M .; Гамильтон, Р. (1986). «Уравнение теплопроводности, сокращающее выпуклые плоские кривые». J. Дифференциальная геометрия. 23 (1): 69–96.

[2] Гамильтон, Ричард С. (1982). «Трехмерные многообразия с положительной кривизной Риччи». J. Дифференциальная геометрия. 17 (2): 255–306.

[3] Хьюскен, Герхард (1984). «Обтекание средней кривизной выпуклых поверхностей на сферы». J. Дифференциальная геометрия. 20 (1): 237–266.

[4] Грейсон, Мэтью А. (1987). «Уравнение теплопроводности сжимает вложенные плоские кривые до округлых точек». J. Дифференциальная геометрия. 26 (2): 285–314.

[5] Хёйскен, Герхард (1990), «Асимптотика особенностей течения средней кривизны», Журнал дифференциальной геометрии, 31 (1): 285–299, Г-Н 1030675.

[6] Ангенент, Сигурд Б. (1992), «Пончики с усадкой» (PDF), Уравнения нелинейной диффузии и их состояния равновесия, 3 (Gregynog, 1989), Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях, 7, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, стр. 21–38, Г-Н 1167827.

[7] Эккер, Клаус (2004), Теория регулярности течения со средней кривизной, Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях, 57, Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, Дои:10.1007/978-0-8176-8210-1, ISBN 0-8176-3243-3, Г-Н 2024995.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]