Формула монотонности Хьюискенса - Википедия - Huiskens monotonicity formula

В дифференциальная геометрия, Формула монотонности Хюискена заявляет, что если п-мерная поверхность в (п + 1)-размерный Евклидово пространство подвергается средняя кривизна потока, то его свертка с соответствующим масштабом и обратным временем тепловое ядро не увеличивается.^[1][2] Результат назван в честь Герхард Хёйскен, опубликовавший его в 1990 году.^[3]

В частности, (п + 1)-мерное обращенное во времени тепловое ядро, сходящееся к точке Икс₀ вовремя т₀ может быть задано формулой^[1]

${ displaystyle u (x, t) = { frac {1} {(4 pi (t_ {0} -t)) ^ {n / 2}}} exp left (- { frac {| x -x_ {0} | ^ {2}} {4 (t_ {0} -t)}} right).}$

Тогда формула монотонности Хюискена дает явное выражение для производная из

${ Displaystyle int и (х, т) д му,}$

куда μ элемент площади развивающейся поверхности во времени т. Выражение включает отрицание другого интеграла, подынтегральная функция которого неотрицательна, поэтому производная неположительна.

Обычно Икс₀ и т₀ выбраны в качестве времени и положения особенности развивающейся поверхности, и формула монотонности может использоваться для анализа поведения поверхности по мере того, как она эволюционирует к этой особенности. В частности, единственные поверхности, для которых свертка с тепловым ядром остается постоянной, а не уменьшается, - это те, которые остаются самоподобными по мере развития, и формула монотонности может использоваться для классификации этих поверхностей.

Григорий Перельман выведены аналогичные формулы для Риччи поток.^[4][5]

Рекомендации