Коробчатая топология - Википедия - Box topology

В топология, то декартово произведение из топологические пространства можно задать несколько различных топологий. Один из наиболее очевидных вариантов - коробчатая топология, где основание задается декартовыми произведениями открытых множеств в компонентных пространствах.^[1] Другая возможность - это топология продукта, где база задается декартовыми произведениями открытых множеств в компонентных пространствах, только конечное число которых может не равняться всему компонентному пространству.

Хотя блочная топология имеет несколько более интуитивное определение, чем топология продукта, она удовлетворяет меньшему количеству желаемых свойств. В частности, если все компоненты пространства компактный, блочная топология в их декартовом произведении не обязательно будет компактной, хотя топология произведения в их декартовом произведении всегда будет компактной. В целом, коробчатая топология тоньше чем топология продукта, хотя они согласны в случае конечный прямые продукты (или когда все факторы, кроме конечного, банальный ).

Определение

Данный ${ displaystyle X}$ такой, что

{ Displaystyle X: = prod _ {я in I} X_ {я},}

или (возможно, бесконечное) декартово произведение топологических пространств ${ displaystyle X_ {i}}$ , индексированный к ${ displaystyle i in I}$ , то коробчатая топология на ${ displaystyle X}$ генерируется основание

{ displaystyle B = left { prod _ {i in I} U_ {i} mid U_ {i} { text {open in}} X_ {i} right }.}

Название коробка происходит из случая р^п, в которых базисные наборы выглядят как коробки.

Характеристики

Коробчатая топология на р^ω:^[2]

Коробчатая топология полностью обычный
Коробчатая топология не соответствует компактный ни связаны
Коробчатая топология не первый счетный (следовательно, не метризуемый )
Коробчатая топология не отделяемый
Коробчатая топология паракомпакт (а значит, нормальный и вполне регулярный), если гипотеза континуума правда

Пример - нарушение непрерывности

Следующий пример основан на Куб Гильберта. Позволять р^ω обозначим счетное декартово произведение р с самим собой, т.е. совокупность всех последовательности в р. Оборудовать р с стандартная топология и р^ω с коробчатой топологией. Определять:

{ displaystyle { begin {cases} f: mathbf {R} to mathbf {R} ^ { omega} x mapsto (x, x, x, ldots) end {cases}}}

Таким образом, все функции компонентов идентичны и, следовательно, непрерывны, однако мы покажем ж не является непрерывным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим открытый набор

{ displaystyle U = prod _ {n = 1} ^ { infty} left (- { tfrac {1} {n}}, { tfrac {1} {n}} right).}

Предполагать ж были непрерывными. Тогда, поскольку:

{ Displaystyle е (0) = (0,0,0, ldots) в U,}

должно существовать ${ displaystyle varepsilon> 0}$ такой, что ${ displaystyle (- varepsilon, varepsilon) subset f ^ {- 1} (U).}$ Но это означало бы, что

{ displaystyle f left ({ tfrac { varepsilon} {2}} right) = left ({ tfrac { varepsilon} {2}}, { tfrac { varepsilon} {2}}, { tfrac { varepsilon} {2}}, ldots right) in U,}

что неверно, так как ${ displaystyle { tfrac { varepsilon} {2}}> { tfrac {1} {n}}}$ за ${ displaystyle n> { tfrac {2} { varepsilon}}.}$ Таким образом ж не является непрерывным, хотя все его составляющие функции являются непрерывными.

Пример - нарушение компактности

Рассмотрим счетное произведение ${ Displaystyle X = prod X_ {i}}$ где для каждого я, ${ Displaystyle X_ {я} = {0,1 }}$ с дискретной топологией. Коробчатая топология на ${ displaystyle X}$ также будет дискретная топология. Поскольку дискретные пространства компактны тогда и только тогда, когда они конечны, мы сразу видим, что ${ displaystyle X}$ не является компактным, хотя его компоненты пространства.

${ displaystyle X}$ также не является секвенциально компактным: рассмотрим последовательность ${ displaystyle {x_ {n} } _ {n = 1} ^ { infty}}$ данный

{ displaystyle (x_ {n}) _ {m} = { begin {cases} 0 & m

Поскольку в последовательности нет двух одинаковых точек, последовательность не имеет предельной точки и, следовательно, ${ displaystyle X}$ не является последовательно компактным.

Сходимость в топологии коробки

Топологии часто лучше всего понять, описывая, как сходятся последовательности. В общем, декартово произведение пространства ${ displaystyle X}$ с собой над набор для индексации ${ displaystyle S}$ в точности пространство функций из ${ displaystyle S}$ к ${ displaystyle X}$ , обозначенный ${ textstyle prod _ {s in S} X = X ^ {S}}$ . Топология продукта дает топологию поточечная сходимость; последовательности функций сходятся тогда и только тогда, когда они сходятся в каждой точке ${ displaystyle S}$ .

Поскольку блочная топология более тонкая, чем топология продукта, сходимость последовательности в блочной топологии является более строгим условием. Предполагая ${ displaystyle X}$ хаусдорфова, последовательность ${ Displaystyle (е_ {п}) _ {п}}$ функций в ${ Displaystyle X ^ {S}}$ сходится в блочной топологии к функции ${ displaystyle f in X ^ {S}}$ тогда и только тогда, когда он поточечно сходится к ${ displaystyle f}$ и существует конечное подмножество ${ displaystyle S_ {0} subset S}$ и есть ${ displaystyle N}$ такой, что для всех ${ displaystyle n> N}$ последовательность ${ Displaystyle (е_ {п} (s)) _ {п}}$ в ${ displaystyle X}$ постоянно для всех ${ displaystyle s in S setminus S_ {0}}$ . Другими словами, последовательность ${ Displaystyle (е_ {п} (s)) _ {п}}$ в конечном итоге постоянна почти для всех ${ displaystyle s}$ и единообразно.^[3]

Сравнение с топологией продукта

Базисные наборы в топологии продукта имеют почти то же определение, что и выше, Кроме с квалификацией, что все, кроме конечного множества U_я равны компонентному пространству Икс_я. Топология продукта удовлетворяет очень желаемому свойству для карт. ж_я : Y → Икс_я в пространства компонентов: карта продукта ж: Y → Икс определяется функциями компонентов ж_я является непрерывный если и только если все ж_я непрерывны. Как показано выше, это не всегда выполняется в блочной топологии. Это фактически делает блочную топологию очень полезной для предоставления контрпримеры - многие качества, такие как компактность, связность, метризуемость и т. д., если им обладают фактор-пространства, в общем случае не сохраняются в произведении с этой топологией.

Смотрите также

Примечания

^ Уиллард, 8.2, с. 52–53,
^ Steen, Seebach, 109. pp. 128–129.
^ Скотт, Брайан М. «Разница между поведением последовательности и функции в топологии продукта и коробки в одном и том же наборе». math.stackexchange.com.

внешняя ссылка

«Коробчатая топология». PlanetMath.

[1] Уиллард, 8.2, с. 52–53,

[2] Steen, Seebach, 109. pp. 128–129.

[3] Скотт, Брайан М. «Разница между поведением последовательности и функции в топологии продукта и коробки в одном и том же наборе». math.stackexchange.com.

[1]

[2]

[3]