Сравнение топологий - Википедия - Comparison of topologies

В топология и смежные области математика, множество всех возможных топологий на данном множестве образует частично заказанный набор. Этот отношение порядка может использоваться для сравнение топологий.

Определение

Топологию на множестве можно определить как совокупность подмножества которые считаются «открытыми». Альтернативное определение - это набор подмножеств, которые считаются «закрытыми». Эти два способа определения топологии по сути эквивалентны, поскольку дополнять открытого набора закрывается и наоборот. В дальнейшем не имеет значения, какое определение используется.

Пусть τ₁ и τ₂ быть двумя топологиями на множестве Икс такое, что τ₁ является содержалась в τ₂:

{ Displaystyle тау _ {1} substeq тау _ {2}}

.

То есть каждый элемент τ₁ также является элементом τ₂. Тогда топология τ₁ считается грубее (слабее или же меньше) топология чем τ₂, а τ₂ считается тоньше (сильнее или же больше) топология чем τ₁.^{[nb 1]}

Если дополнительно

{ Displaystyle тау _ {1} neq тау _ {2}}

мы говорим τ₁ является строго грубее чем τ₂ и τ₂ является строго лучше чем τ₁.^[1]

В бинарное отношение ⊆ определяет отношение частичного порядка на множестве всех возможных топологий на Икс.

Примеры

Лучшая топология на Икс это дискретная топология; эта топология делает все подмножества открытыми. Самая грубая топология на Икс это тривиальная топология; эта топология допускает только пустое множество и все пространство как открытые множества.

В функциональные пространства и пространства меры часто существует несколько возможных топологий. Видеть топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве для каких-то запутанных отношений.

Все возможно полярные топологии на двойная пара лучше, чем слабая топология и грубее, чем сильная топология.

Характеристики

Пусть τ₁ и τ₂ быть двумя топологиями на множестве Икс. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

τ₁ ⊆ τ₂
то карта идентичности я бы_Икс : (Икс, τ₂) → (Икс, τ₁) это непрерывная карта.
идентификатор карты идентификации_Икс : (Икс, τ₁) → (Икс, τ₂) является открытая карта

Два непосредственных следствия этого утверждения:

Непрерывная карта ж : Икс → Y остается непрерывной, если топология на Y становится грубее или топология на Икс тоньше.
Открытая (соответственно закрытая) карта ж : Икс → Y остается открытой (соответственно закрытой), если топология на Y становится тоньше или топология на Икс грубее.

Также можно сравнить топологии, используя базы соседства. Пусть τ₁ и τ₂ быть двумя топологиями на множестве Икс и разреши B_я(Икс) - локальная база топологии τ_я в Икс ∈ Икс за я = 1,2. Тогда τ₁ ⊆ τ₂ если и только если для всех Икс ∈ Икс, каждый открытый набор U₁ в B₁(Икс) содержит некоторое открытое множество U₂ в B₂(Икс). Интуитивно это имеет смысл: более тонкая топология должна иметь меньшие окрестности.

Решетка топологий

Множество всех топологий на множестве Икс вместе с отношением частичного порядка ⊆ образует полная решетка который также замкнут относительно произвольных пересечений. То есть любой набор топологий на Икс есть встретить (или же инфимум ) и присоединиться (или же супремум ). Встреча набора топологий - это пересечение этих топологий. Однако соединение, как правило, не является союз этих топологий (объединение двух топологий не обязательно должно быть топологией), а скорее топология создано Союз.

Всякая полная решетка также является ограниченная решетка, что означает, что он имеет величайший и наименьший элемент. В случае топологий наибольшим элементом является дискретная топология а наименьший элемент - это тривиальная топология.

Примечания

^ Есть некоторые авторы, особенно аналитики, кто использует термины слабый и сильный с противоположным значением (Мункрес, стр. 78).

Смотрите также

Начальная топология, самая грубая топология на множестве, чтобы сделать семейство отображений из этого множества непрерывным
Окончательная топология, лучшая топология на множестве, чтобы сделать семейство отображений в этом множестве непрерывным