Место с подсчетом секунд - Second-countable space

В топология, а секундомер, также называемый полностью отделимое пространство, это топологическое пространство чья топология имеет счетный основание. Более точно, топологическое пространство ${ displaystyle T}$ подсчитывается вторым, если существует некоторая счетная коллекция ${ Displaystyle { mathcal {U}} = {U_ {я} } _ {я = 1} ^ { infty}}$ из открыто подмножества ${ displaystyle T}$ так что любое открытое подмножество ${ displaystyle T}$ можно записать как объединение элементов некоторого подсемейства ${ displaystyle { mathcal {U}}}$. Говорят, что пространство с подсчетом секунд удовлетворяет условию вторая аксиома счетности. Как и другие аксиомы счетности, свойство подсчета секунд ограничивает количество открытых множеств, которые может иметь пространство.

Много "хорошо воспитанный "места в математика второстепенные. Например, Евклидово пространство (р^п) с его обычной топологией счетно вторым. Хотя обычная база открытые шары является бесчисленный, можно ограничиться набором всех открытых шаров с рациональный радиусы и центры которых имеют рациональные координаты. Этот ограниченный набор исчисляем и по-прежнему составляет основу.

Характеристики

Счетность до второго - более сильное понятие, чем первосчетность. Пробел считается первым счетным, если каждая точка имеет счетный местная база. Учитывая базу для топологии и точку Икс, множество всех базисных наборов, содержащих Икс формирует местную базу в Икс. Таким образом, если у кого-то есть счетная база для топологии, то у него есть счетная локальная база в каждой точке, и, следовательно, каждое пространство, учитываемое вторым, также является пространством с первым счетом. Однако какие-то бесчисленные дискретное пространство имеет первый счет, но не второй.

Вторая счетность влечет некоторые другие топологические свойства. В частности, каждое подсчетное пространство равно отделяемый (имеет счетное плотный подмножество) и Линделёф (каждый открытая крышка имеет счетное дополнительное покрытие). Обратные выводы неверны. Например, топология нижнего предела на вещественной прямой является первым счетным, отделимым и Линделёфским, но не вторым счетом. За метрические пространства однако свойства счетчика второй, сепарабельности и линделёфа эквивалентны.^[1] Следовательно, топология нижнего предела на вещественной прямой не является метризуемой.

В пространствах с подсчетом секунд, как и в метрических пространствах,компактность, секвенциальная компактность и счетная компактность - все эквивалентные свойства.

Теорема Урысона о метризации утверждает, что каждая секунда счетна, Хаусдорф обычное пространство является метризуемый. Отсюда следует, что каждое такое пространство совершенно нормально а также паракомпакт. Таким образом, вторая счетность является довольно ограничивающим свойством топологического пространства, требующим только аксиомы отделимости, чтобы подразумевать метризуемость.

Другие свойства

• Непрерывный, открыто изображение пространства с подсчетом секунд является счетчиком секунд.
• Каждый подпространство пространства с подсчетом секунд счетно.
• Коэффициенты пространства с подсчетом секунд не обязательно должны подсчитывать секунды; тем не мение, открыто частные всегда есть.
• Любой счетный товар площади подсчитываемой секунды считается подсчетом секунд, хотя бесчисленные продукты не обязательно.
• Топология счетной ${ displaystyle T_ {1}}$ пространство имеет мощность меньше или равно c (в мощность континуума ).
• Любая база для второго счетного пространства имеет счетное подсемейство, которое все еще является базой.
• Всякая совокупность непересекающихся открытых множеств в пространстве с подсчетом секунд счетна.

Примеры и контрпримеры

• Рассмотрим непересекающееся счетное объединение ${ Displaystyle X = [0,1] чашка [2,3] чашка [4,5] чашка точки чашка [2k, 2k + 1] чашка dotsb}$. Определите отношение эквивалентности и фактор-топологию, идентифицируя левые концы интервалов, то есть идентифицируя 0 ~ 2 ~ 4 ~… ~ 2k и так далее. Икс является счетным до второго, как счетное объединение пространств, имеющих счет до второго. Тем не мение, Икс/ ~ не имеет первого счета в смежном классе отождествленных точек и, следовательно, также не является вторым счетом.
• Вышеупомянутое пространство не гомеоморфно тому же набору классов эквивалентности, наделенному очевидной метрикой: то есть регулярным евклидовым расстоянием для двух точек в одном интервале и суммой расстояний до левой точки для точек, не находящихся в одном интервале - - давая строго более слабую топологию, чем указанное выше пространство. Это сепарабельное метрическое пространство (рассмотрим множество рациональных точек) и, следовательно, имеет счетность во втором.
• В длинная линия не имеет второго счета, но он исчисляется первым.

Примечания

Рекомендации

• Стивен Уиллард, Общая топология(1970) издательство Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• Джон Г. Хокинг и Гейл С. Янг (1961). Топология. Исправленное переиздание, Дувр, 1988. ISBN  0-486-65676-4